2.5.4 三角形的內(nèi)切圓1.了解三角形的內(nèi)心；2.能用尺規(guī)作圖：作三角形的內(nèi)切圓；3.三角形內(nèi)切圓的有關(guān)概念及應(yīng)用.如圖, 已知△ABC, 請(qǐng)作出△ABC 的三條角平分線.所作的三條角平分線是否相交于一點(diǎn), 這一點(diǎn)到三角形三邊的距離是否相等, 為什么？三角形三條角平分線交點(diǎn)到三邊距離相等.想在一塊三角形硬紙板上剪下一個(gè)面積最大的圓形紙板，應(yīng)當(dāng)怎樣剪？為了使圓形紙板的面積最大，這個(gè)圓應(yīng)當(dāng)與三角形的三條邊都盡可能貼近.這使得我們猜測(cè)：這個(gè)圓應(yīng)當(dāng)與三角形的三條邊都相切．∟∟∟O畫一個(gè)圓關(guān)鍵是定圓心和半徑，如何畫一個(gè)圓與三角形的三條邊都相切？如果這個(gè)圓與△ABC的三條邊都相切，那么圓心 O 到三條邊的距離都等于半徑，從而這些距離相等.到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)一定在這個(gè)角的平分線上，因此圓心 O 是∠A 的平分線與∠B的平分線的交點(diǎn).已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.作法：1.分別作∠ABC 和∠ACB的平分線BM 和CN，兩直線交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.ABCO根據(jù)以上分析，我們可以按下面的畫法畫一個(gè)圓與三角形的三邊都相切.1.與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓.2.三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn) 一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的 三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)；三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等. IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等；2.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．例1 如圖，⊙O 是△ABC 的內(nèi)切圓，∠A = 70°，求∠BOC的度數(shù).解∵ ∠A = 70°，∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.∵ ⊙O 是△ABC 的內(nèi)切圓，∴ BO，CO 分別是∠ABC與∠ACB 的平分線，即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB.∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB） = 180°- × 110°= 125°.例2 △ABC 的內(nèi)切圓 ⊙O 與BC、CA、AB 分別相切于點(diǎn) D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的長(zhǎng).解:設(shè) AF = x cm，則 AE = x cm.∴CE = CD = AC - AE = (9 - x) cm， BF = BD = AB - AF = (13 - x) cm.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？ACB由 BD+CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14，∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.方法小結(jié)：關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.解得 x = 4.ACB例3 如圖，Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ a，AC ＝b， AB ＝ c，⊙O 為 Rt△ABC 的內(nèi)切圓. 求：Rt△ABC 的內(nèi)切圓的半徑 r.∵ ⊙O 與Rt△ABC 的三邊都相切∴AD ＝ AF，BE ＝ BF，CE ＝ CD解：設(shè) Rt△ABC 的內(nèi)切圓與三邊相切于 D、E、F，連接 OD、OE、OF，則OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO設(shè) AD = x ， BE = y ，CE ＝ r . B·ACEDFO設(shè) Rt△ABC 的直角邊為 a、b，斜邊為 c，則 Rt△ABC的內(nèi)切圓的半徑 r＝ 或 r＝ ·BDEFOCA1. 如圖，△ABC 的內(nèi)切圓的半徑為 r，△ABC 的周長(zhǎng)為 l，求△ABC 的面積 S .解：設(shè)△ABC 的內(nèi)切圓與三邊相切于 D、E、F，連接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，則 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC ＝ S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF＝ l·r知識(shí)拓展2. 如圖，已知 E 是△ABC 的內(nèi)心，∠A 的平分線交 BC于點(diǎn) F，且與 △ABC 的外接圓相交于點(diǎn) D.(1) 證明：∵E 是 △ABC 的內(nèi)心，∴∠ABE ＝ ∠CBE，∠BAD ＝ ∠CAD.又∵∠CBD ＝ ∠CAD，∴∠BAD ＝ ∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD ＝ ∠ABE＋∠BAD.即∠DBE ＝ ∠DEB，故 BD ＝ ED.(1) 求證：BD ＝ ED；(2) 若AD ＝ 8 cm，DF:FA ＝ 1:3.求 DE 的長(zhǎng)．(2) 解：∵AD ＝ 8 cm，DF∶FA ＝ 1∶3，∴DF ＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )．∵∠CBD ＝ ∠BAD，∠D ＝ ∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ， ∴BD2 ＝ AD·DF＝ 8×2 ＝ 16，∴BD ＝ 4 cm.又∵BD ＝ DE，∴DE ＝ 4 cm.3.直角三角形的兩直角邊分別是 3 cm ，4 cm，試問：(1) 它的外接圓半徑是 cm;內(nèi)切圓半徑是 cm.(2) 若移動(dòng)點(diǎn) O 的位置，使 ☉O 保持與△ABC 的邊 AC、BC 都相切，求 ☉O的半徑 r 的取值范圍.1 解：設(shè) BC = 3 cm，由題意可知與 BC、AC 相切的最大圓與 BC、AC 的切點(diǎn)分別為 B、D，連接 OB、OD，則四邊形 BODC 為正方形.∴OB ＝ BC ＝ 3 cm，∴半徑 r 的取值范圍為 0＜ r ≤ 3 cm.4. △ABC 的內(nèi)切圓 ☉O 與三邊分別切于 D、E、F三點(diǎn)，如圖，已知 AF = 3，BD + CE = 12，則 △ABC 的周長(zhǎng)是 .305.如圖，在△ABC中，I是內(nèi)心，∠BAC的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID．三角形內(nèi)切圓運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.有關(guān)概念內(nèi)切圓應(yīng)用重要結(jié)論內(nèi)心(三角形三條角平分線的交點(diǎn))外切三角形1.教材P75第6、7題，P76第8題. 2.完成同步練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)的練習(xí).

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