1. 了解平行投影、中心投影和正投影的含義，弄清平行投影，正投影和中心投影的區(qū)別；2. 掌握平行投影、中心投影和正投影的性質(zhì)3. 能利用投影能利用投影和的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計算.
物體在太陽光或燈光等光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，可見影子與物體有密切的關(guān)系.
如圖 （1）、（2）那樣，光線照射物體，會在平面上（如地面、墻壁）留下它的影子，把物體映成它的影子叫作投影.照射的光線叫投影線，投影所在的平面叫投影面.物體在投影下的像簡稱為物體的投影.
物體和它的影子如此密切，在數(shù)學(xué)中影子怎么定義，它是怎么形成呢？
請說一說下圖中的投影線、投影面、投影是什么？
投影線是太陽光，投影面是地面
投影線是燈光，投影面都是幕布
物體在太陽光下形成的影子與燈光下形成的影子有什么不同呢？產(chǎn)生這樣的原因是什么呢？
取三角形紙片，觀察它們在陽光下的影子. 固定紙片，隨著太陽光方向的改變，影子發(fā)生了什么變化？
二 平行投影與正投影
光線的方向不同，投影的形狀也不同
太陽光線可以看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影. 圖 （1 ）表示的都是平行投影，其中圖（ 2） 中的平行光線與投影面垂直，這種投影稱為正投影 .
平行投影的特征：同一物體在不同時刻太陽光下影子的方向和長短是不一樣的.一般上午的影子由西→西北→北變化，影子越來越短，中午的影子和物體本身的形狀一樣，下午的影子由東→東北→東變化，影子越來越長.
為什么中午的影子和物體本身的形狀一樣呢？我們一起來探究一下吧！
準(zhǔn)備素材：一支筆，矩形紙板，長方體紙盒
(1)用一束平行光垂直于水平桌面照射一支鉛筆，改變鉛筆的位置，觀察它在桌面上投影的形狀，你能發(fā)現(xiàn)線段正投影的規(guī)律嗎？
線段正投影規(guī)律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點(diǎn).
(2)用一束平行光垂直于水平桌面照射一張矩形紙板 ABCD，改變紙板的位置，觀察它在桌面上投影的形狀，你能發(fā)現(xiàn)矩形 ABCD 正投影的規(guī)律嗎？
四邊形 A'B'C'D' 在大小和形狀上發(fā)生改變
四邊形 A'B'C'D'變?yōu)榫€段 C'D' (或 A'B')
平面圖形的正投影：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.
(3)根據(jù)平面圖形正投影的規(guī)律，你能說出長方體ABCD-A1B1C1D1 在投影面 H 上的正投影是什么圖形？
長方體在投影面 H 上的正投影就是矩形 A'B'C'D'
想一想：若將長方體 ABCD-A1B1C1D1 傾斜放置，它在投影面 H 上的正投影是什么圖形？
長方體的兩個面 ABB1A1 與 DCC1D1 垂直于投影面，故這兩個面在投影面上的投影分別為一條直線.
長方體的另外四個面在投影面上的投影都是平面圖形.
幾何體的正投影： 一般地，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形.
例1 按照箭頭所指的投影方向，畫出長方體的正投影，并標(biāo)明尺寸：
日晷利用晷針投射在石盤面上的影子來顯示時刻
探照燈利用了平行光線不易發(fā)散，照射得更遠(yuǎn)的特性
平行投影在生活中有哪些應(yīng)用？
利用儀器發(fā)出平行光線，并照射產(chǎn)品的光潔面來檢測劃痕、微小氣泡等.
例2 下圖中的三幅圖是在我國北方某地某天上午不同時刻的同一位置拍攝的.
(1) 在三個不同時刻，同一棵樹的影子長度不同，請將它們按拍攝的先后順序進(jìn)行排列，并說明你的理由.
先后順序為 (丙)、(乙)、(甲) .
(2) 在同一時刻，兩棵樹影子的長度與它們的高度之間有什么關(guān)系？與同伴交流.
在同一時刻，大樹高度與其影長之比等于小樹高度與其影長之比.
例3某校墻邊有甲、乙兩根木桿，已知乙木桿的高度為 1.5 m.(1) 某一時刻甲木桿在陽光下的影子如圖所示. 你能畫出此時乙木桿的影子嗎？
解：如圖，連接 DD′，過點(diǎn) E 作 DD′ 平行線，交 AD′ 所在的直線于點(diǎn) E′. BE′ 就是乙木桿的影子.
(2) 在圖中，當(dāng)乙木桿移動到什么位置時，其影子剛好不落在墻上？
解：如圖，平移由乙木桿、乙木桿的影子和太陽光線所構(gòu)成的圖形 ( 即△BEE′ )，直到乙木桿影子的頂端 E′ 抵達(dá)墻根為止.
(1) 在(2)的情形下， 如果測得甲、乙木桿的影子長分別為 1.24m 和 1m，那么你能求出甲木桿的高度嗎？
解：∵ △ADD′∽△BEE′ ， ∴ = . 即 = . ∴ 甲木桿的高度為 AD = 1.86 (m) .
如果光線從一點(diǎn)發(fā)出(如燈泡、電影放映機(jī)、幻燈機(jī)的光線)，這樣的投影稱為中心投影( center prjectin)，如圖.
中心投影的特征：①中心投影會改變物體的形狀和大小.我們前面學(xué)過的位似圖就可以看作中心投影.②中心投影的點(diǎn)光源，物體邊緣上的點(diǎn)及它在影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩點(diǎn)，就可以求出第三個點(diǎn)位置.
中心投影在生活中有哪些應(yīng)用？
例1 確定圖中路燈燈泡所在的位置.
解：如圖，過一根木桿的頂端及其影子的頂端畫一條直線， 再過另一根木桿的頂端及其影子的頂端畫一條直線，兩線相交于點(diǎn) O. 點(diǎn) O 就是路燈燈泡所在的位置.
例2 如圖，一個廣場中央有一站路燈.
(1) 高矮相同的兩個人在這盞路燈下的影子一定一樣長嗎？如果不一定，那么什么情況下他們的影子一樣長？
不一定一樣長，只有在距離路燈的距離相等時候影子才會一樣長.
(2) 高矮不同的兩個人在這盞路燈下的影子有可能一樣長嗎？
在燈光下，垂直于地面的物體離點(diǎn)光源距離近時，影子短，離光源遠(yuǎn)時影子長.
小組討論：平行投影和中心投影有什么區(qū)別和聯(lián)系呢?
投影線互相平行， 形成平行投影
投影線發(fā)自一點(diǎn)，形成中心投影
都是物體在光線的照射下，在某個平面內(nèi)形成的影子. (即都是投影)
1.下列物體的影子中，不正確的是 ( )
太陽光線 太陽光線
2. 晚上，人在馬路上走過一盞路燈的過程中，其影子長度的變化情況是 ( )A. 先變短后變長 B. 先變長后變短 C. 逐漸變短 D. 逐漸變長
3.確定圖中路燈燈泡的位置，并畫出小趙在燈光下的影子．
因為燈泡為點(diǎn)光源，所以光線相交的位置即為燈泡所在的位置；小趙在燈下的影子即如圖所示.
3. 如圖，某同學(xué)身高1.6米，由路燈下向前步行4米，發(fā)現(xiàn)自己的影子長有2米，問此路燈有多高？
光線照射物體，會在平面上（如地面、墻壁）留下它的影子，把物體映成它的影子叫作投影.照射的光線叫投影線，投影所在的平面叫投影面.物體在投影下的像簡稱為物體的投影.
概念：平行光線所形成的投影
平行長不變，傾斜長變短，垂直成一點(diǎn)
平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段
概念：點(diǎn)光源的光線形成的投影.
變化規(guī)律：垂直于地面的物體離點(diǎn)光源距離近時，影子短，離光源遠(yuǎn)時影子長.
1.教材P99第2、3題. 2.教材P100第5、6題. 3.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

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初中數(shù)學(xué)湘教版（2024）九年級下冊電子課本

3.1 投影

版本： 湘教版（2024）

年級： 九年級下冊

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