1.經(jīng)歷探索弧長計(jì)算公式和扇形面積計(jì)算公式的過程.2.會運(yùn)用弧長計(jì)算公式和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.
問題1 半徑為r的圓，周長是多少？面積是多少？
問題2 什么是弧長？問題3 弧長和哪些量有關(guān)？
如圖所示是一把圓弧形狀的扇子的示意圖,你能求出做這把扇子用了多少紙嗎？
如圖是某城市摩天輪的示意圖. 點(diǎn) O 是圓心， 半徑 r 為 15 m， 點(diǎn) A，B 是圓上的兩點(diǎn)，圓心角∠AOB = 120 °. 你能想辦法求出 的長度嗎？說說你的理由.
一 與弧長相關(guān)的計(jì)算
如果∠AOB = n°，你能求出 的長嗎？
在同圓或等圓中,如果圓心角相等, 那么它們所對的弧長_______.
1°的圓心角所對的弧長 l =_____ .
n°的圓心角所對的弧長 l =______ .
用弧長公式進(jìn)行計(jì)算時，要注意公式中n的意義：n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.
例1 已知 ⊙O 的半徑為 30 cm，求 40°的圓心角所對的弧長（精確到 0.1 cm）．
例2 如圖，一個邊長為 10 cm 的等邊三角形木板 ABC 在水平桌面上繞頂點(diǎn) C 按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C 的位置，求頂點(diǎn) A 從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路程為多少.
∠A′CB′ = 60°
∠ACA′ = 120°
點(diǎn)A經(jīng)過的路程長等于 的長.
解：∵ 等邊三角形 ABC 的邊長為 10 cm，∴ 所在圓的半徑為10 cm.∴答：頂點(diǎn) A 從開始到結(jié)束時所經(jīng)過的路程為 cm.
圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.
藍(lán)色部分是一個扇形， 記作扇形 OAB．
我們可以發(fā)現(xiàn)，扇形面積與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)，在同一個圓中，圓心角越大， 扇形面積也越大.
二 與弧長相關(guān)的計(jì)算
如何求半徑為 r，圓心角為 n°的扇形的面積呢？
圓的面積可看作是_______的圓心角所在的扇形面積.
設(shè)圓的半徑為 r, 1°的圓心角所在的扇形面積為______.
n°的圓心角所在的扇形面積為______.
如果設(shè)圓心角為n°的扇形的面積為S，圓的半徑為r，那么扇形的面積為
公式中 n 的意義：n 表示 1° 圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；
比較扇形面積（ S ）公式和弧長（ l ）公式，你能用弧長來表示扇形的面積嗎？
扇形的面積與哪些因素有關(guān)？
大小不變時，對應(yīng)的扇形面積與 有關(guān)， 越長，面積越大.
圓的 不變時，扇形面積與 有關(guān)， 越大，面積越大.
總結(jié)：扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).
例1 如圖，⊙O 的半徑為 1.5 cm，圓心角∠AOB ＝ 58°，求扇形 OAB 的面積（精確到 0.1 cm2）．
解 ∵ r ＝ 1.5 cm ，n ＝ 58 ，
例2 如圖,是一條圓弧形彎道，已知 OA ＝20 m，OC ＝ 12 m， 的長度為 9π m，求圓弧形彎道的面積.
解設(shè)∠AOB = n°，∵ OC = 12 m， 的長度為 9π m，∴ 解得 n = 135，即圓心角∠COD = 135 ° .∴∴S扇形ACDB = S扇形OAB - S扇形OCD = 150π - 54π = 96π（m2）答：這條圓弧形彎道的面積為 96π m2.
例3 如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．
解：如解圖，連結(jié)OA，OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交弧AB于點(diǎn)C，連接AC.∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，∴OD=OC-DC=0.3（m）.∴OD=DC.又AD⊥DC，∴AD是線段OC的垂直平分線.∴AC=AO=OC.
從而∠AOD=60°，∠AOB=120°.有水部分的面積
弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
1.（2022浙江麗水）某仿古墻上原有一個矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2 m，高為2m，則改建后門洞的圓弧長是(　　)
A. m B. m C. m D. m
2. 如圖，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D 兩兩不相交，且半徑都是 2 cm，則圖中陰影部分的面積是 .
3. （山西中考）如圖是某商品的標(biāo)志圖案, AC 與 BD是☉O 的兩條直徑,首尾順次連接點(diǎn) A , B , C , D ,得到四邊形 ABCD ．若 AC ＝ 10 cm, ∠BAC ＝36°, 則圖中陰影部分的面積為（ ）A. 5π cm2 B. 10π cm2C. 15π cm2 D. 20π cm2
4.如圖是一個鬧鐘正面的內(nèi)、外輪廓線．內(nèi)輪廓線由一段圓弧和一條弦 AB 組成，圓心為 O，半徑為3.2 cm，圓心角∠AOB＝ 83°，求內(nèi)輪廓線的圓弧的長度．
n = 360°-83°= 277°
答：內(nèi)輪廓線的圓弧長為 15.5 cm.
5.（2022黑龍江齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB，且 CF＝CD，連接BF.(1)求證：BF是⊙O的切線；
(1)證明：如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
6.（2022山東泰安）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為(　　)
A. 6π－9B. 12π－9C. 6π－D. 12π－
S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形
1.教材P81第1、2、3題. 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí).

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初中數(shù)學(xué)湘教版（2024）九年級下冊電子課本

2.6 弧長與扇形面積

版本： 湘教版（2024）

年級： 九年級下冊

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