A．B．C．D．
2． (2023·河南駐馬店）如圖，已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·北京·101中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.自古有"洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓"之美譽(yù).小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
4． (2023·青海西寧·一模（理））某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測(cè)量，這塊三角形空地的兩邊長(zhǎng)分別為32m和68m，它們的夾角是.已知改造費(fèi)用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費(fèi)用為（ ）
A．元B．元C．元D．元
5． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米， ，，，則蜚英塔的高度是（ ）
A．30米B．米C．35米D．米
6． (2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫(huà)中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物，測(cè)得的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點(diǎn)共線）.該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h(yuǎn)約為（ ）米
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
7． (2023·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高AB，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為，則鐵塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
8． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米， ，，，則蜚英塔的高度是_______米．
9． (2023·廣西南寧·一模（理））2021年9月17日，搭載著3名英航天員的神舟十二號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十二號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙D是垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為，若間距離為10千米（其中向量與同向），試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離約為_(kāi)__________千米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.
10． (2023·四川省敘永第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____.
11． (2023·廣西廣西）從某建筑物的正南方向的處測(cè)得該建筑物的頂部的仰角是，從該建筑物的北偏東的處測(cè)得該建筑物的頂部的仰角是，，之間的距離是35米，則該建筑物的高為_(kāi)_____米.
12． (2023·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，某中學(xué)校園中央有一座鐘樓，某學(xué)生為了測(cè)量鐘樓高AB，該學(xué)生先在鐘樓的正西方點(diǎn)C處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為30°，則鐘樓AB的高度是___________.
題組二 正余弦定理的幾何應(yīng)用
1． (2023·山東·濰坊一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形ABCD中，，點(diǎn)E在邊CD上，，，．
(1)求BE，CE；
(2)若，求．
2． (2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，對(duì)角線平分，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若，的面積為2，求
3． (2023·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①O為的內(nèi)心；②O為的外心．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面積．
4． (2023·安徽合肥·二模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，滿足______．
從①是，的等差中項(xiàng)，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
(1)求的大??；
(2)若是的角平分線，且，，求的面積．
5． (2023·陜西渭南·二模（理））如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，
求：
(1)的值；
(2)邊的長(zhǎng).
6． (2023·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校一模（文））已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面積為，角B的平分線交AC于D，且，求b．
7． (2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．
(1)求；
(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．
8． (2023·江西·二模（理））如圖，在四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求．
9． (2023·安徽滁州·二模（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且， ．
在①；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，并作答．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
(1)求的面積S；
(2)求角A的平分線的長(zhǎng)．
10． (2023·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
題組三 三角函數(shù)與正余弦定理
1． (2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量，，.
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，求的面積的最大值.
2． (2023·北京石景山·一模）已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：
①函數(shù)的最大值為2；
②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到；
③函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)條件的序號(hào)，說(shuō)明理由，并求出的解析式；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，求面積的最大值．
3． (2023·四川雅安·二模）已知向量，，設(shè)函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______，求的取值范圍．
從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中作答．
①；②；③，，成等比數(shù)列．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分．
4． (2023·陜西寶雞·二模（理））函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，且相鄰對(duì)稱軸間的距離為．
(1)求的值；
(2)已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，且，求面積的最大值．
題組四 最值問(wèn)題
1． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求的大??；
(2)的面積等于，D為BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線AD長(zhǎng)最短時(shí)，求AB邊長(zhǎng).
2． (2023·新疆石河子一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知.
(1)求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
(2)在△中，，D為BC中點(diǎn)，，求△面積的最大值.
3． (2023·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
(1)求角A的大?。?br>(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
4． (2023·甘肅·二模（文））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.
(1)求邊AC的長(zhǎng)；
(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.
5． (2023·湖南益陽(yáng)·一模）在①；②；③，這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 .
(1)求角C的大??；
(2)若，求的中線長(zhǎng)度的最小值.
6． (2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一點(diǎn)，且，，則當(dāng)為多少時(shí)，平面四邊形的面積最大，并求的最大值．
7． (2023·山西·一模（理））如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，，.
(1)求；
(2)求面積的最大值.
8． (2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）已知四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，，，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．
9． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大小；
(2)若是銳角三角形，求面積的取值范圍．
10． (2023·江西）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且_．
(1)求B的大小；
(2)若，求的最大值．
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
11． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若M是AC的中點(diǎn)，且，在下面兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答．
①求△ABM面積的最大值；
②求BM的最大值．
（注：如果求解了兩個(gè)問(wèn)題，則按照第一個(gè)問(wèn)題解答給分）
12． (2023·遼寧·一模）在平面五邊形ABCDE中，已知，，，，，
(1)當(dāng)時(shí)，求DC；
(2)當(dāng)五邊形ABCDE的面積時(shí)，求BC的取值范圍．
3.6 三角函數(shù)的專題綜合運(yùn)用（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小，若，則的最大值是（ ）.（仰角為直線與平面所成的角）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
由勾股定理知，，
過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，則，
設(shè)，
若在線段上，則，
由，得，
在直角中，，
，
令，則函數(shù)在，單調(diào)遞減，
時(shí)，取得最大值為；
若在的延長(zhǎng)線上，，
在直角中，，
，
令，則可得時(shí)，函數(shù)取得最大值.
故答案為：．
2． (2023·河南駐馬店）如圖，已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：依題意知，
在中，由余弦定理知．
即燈塔與燈塔的距離為．故選：．
3． (2023·北京·101中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.自古有"洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓"之美譽(yù).小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【解析】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，
由AC-BC=AB得，約為米.故選：B
4． (2023·青海西寧·一模（理））某居民小區(qū)擬將一塊三角形空地改造成綠地.經(jīng)測(cè)量，這塊三角形空地的兩邊長(zhǎng)分別為32m和68m，它們的夾角是.已知改造費(fèi)用為50元/m2，那么，這塊三角形空地的改造費(fèi)用為（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【解析】由題意，三角形空地的面積為，
改造費(fèi)用為50元，這塊三角形空地的改造費(fèi)用為：元.故選：C.
5． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米， ，，，則蜚英塔的高度是（ ）
A．30米B．米C．35米D．米
【答案】C
【解析】設(shè)，在中，，則，
在中，，則，
因?yàn)?，所以由余弦定理得?br>整理得：，解得.故選：C
6． (2023·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫(huà)中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物，測(cè)得的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點(diǎn)共線）.該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h(yuǎn)約為（ ）米
（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
【答案】C
【解析】由題意可得，則，
在中，，在中，因?yàn)椋?br>所以，所以，
又，所以（米）.故選：C.
7． (2023·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））如圖，某市人民廣場(chǎng)正中央有一座鐵塔，為了測(cè)量塔高AB，某人先在塔的正西方點(diǎn)C處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得塔項(xiàng)的仰角為，則鐵塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【答案】B
【解析】設(shè)塔高的高度為，在中，因?yàn)?，所以?br>在中，因?yàn)?，所以?br>在中，，，，
根據(jù)余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故選：B.
8． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國(guó)傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測(cè)量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測(cè)得米， ，，，則蜚英塔的高度是_______米．
【答案】35
【解析】設(shè)米，因?yàn)?，，，所以?br>在中，，，則由余弦定理得,
，解得，
所以蜚英塔的高度是35米，故答案為：35
9． (2023·廣西南寧·一模（理））2021年9月17日，搭載著3名英航天員的神舟十二號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場(chǎng)，標(biāo)志著神舟十二號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙D是垂直下落于點(diǎn)C，某時(shí)刻地面上點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到點(diǎn)D的仰角分別為，若間距離為10千米（其中向量與同向），試估算該時(shí)刻返回艙距離地面的距離約為_(kāi)__________千米（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）.
【答案】
【解析】在三角形中，，
由正弦定理得，
，
所以千米.故答案為：
10． (2023·四川省敘永第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以，?br>所以，
又因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得：，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得.故答案為：
11． (2023·廣西廣西）從某建筑物的正南方向的處測(cè)得該建筑物的頂部的仰角是，從該建筑物的北偏東的處測(cè)得該建筑物的頂部的仰角是，，之間的距離是35米，則該建筑物的高為_(kāi)_____米.
【答案】
【解析】設(shè)該建筑物的高（為該建筑物的底部），由題意可得，，，，則，即，解得.
12． (2023·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，某中學(xué)校園中央有一座鐘樓，某學(xué)生為了測(cè)量鐘樓高AB，該學(xué)生先在鐘樓的正西方點(diǎn)C處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為30°，則鐘樓AB的高度是___________.
【答案】30
【解析】由題意知：，設(shè)，則，
，即，解得或（舍去）.
故答案為：30.
題組二 正余弦定理的幾何應(yīng)用
1． (2023·山東·濰坊一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形ABCD中，，點(diǎn)E在邊CD上，，，．
(1)求BE，CE；
(2)若，求．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)因?yàn)?，，，所以?br>在中，由正弦定理可得，
可得，．
(2)因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理可得
，所以．
因?yàn)椋裕?br>2． (2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，對(duì)角線平分，的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若，的面積為2，求
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以所以所?br>(2)解：因?yàn)榈拿娣e，所以，即，所以，
由余弦定理得，
所以，
因?yàn)槠椒?，所以?br>所以，
所以，所以，
所以
3． (2023·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．
①O為的內(nèi)心；②O為的外心．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
(1)求A；
(2)若，________，求的面積．
【答案】(1)(2)選①，；選②，．
【解析】(1)因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
，
，
三角形中，，所以，
，則，所以，；
(2)
選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，
，
，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，
所以；
選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，
由（1），所以，
又，
，，
．
4． (2023·安徽合肥·二模）在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，滿足______．
從①是，的等差中項(xiàng)，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．
(1)求的大?。?br>(2)若是的角平分線，且，，求的面積．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)
【解析】(1)
若選①：
是，的等差中項(xiàng)，，即．
由正弦定理得，
即
，
，
注意到，所以，即．
，，，即．
若選②；
由題設(shè)及正弦定理得．
，，①．
，，∴①可化為．
，，，，．
(2)
是的角平分線，．
，即，
即，，，
．
5． (2023·陜西渭南·二模（理））如圖，在中，角，D為邊AC上一點(diǎn)，且，，
求：
(1)的值；
(2)邊的長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中, 由余弦定理的推論得,
,,
,
(2),,
,
,
在中, 由正弦定理得,
6． (2023·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校一模（文））已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．
(1)求B；
(2)若△ABC的面積為，角B的平分線交AC于D，且，求b．
【答案】(1)；(2)﹒
【解析】(1)由正弦定理及，得，∴，
∵，∴；
(2)∵，∴，即．
又，∴．由余弦定理得：，∴．
7． (2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．
(1)求；
(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由題可知，所以，
由余弦定理，所以，可得，
因?yàn)?，所?
(2)解：不妨令，因?yàn)?，可得，?br>又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，得，
所以在中，由余弦定理可得，即，
在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，
在中，由余弦定理可得，得．
8． (2023·江西·二模（理））如圖，在四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)中，；
(2)，，
所以，所以．
9． (2023·安徽滁州·二模（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且， ．
在①；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，并作答．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
(1)求的面積S；
(2)求角A的平分線的長(zhǎng)．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)條件選擇見(jiàn)解析，
【解析】(1)選①：因?yàn)?，所以?br>又，，所以，所以，
所以．
選②：因?yàn)?，，所以由正弦定理可得?br>所以，，
由正弦定理可得，所以，
由余弦定理可得，，
由，所以，所以．
選③：因?yàn)椋裕?br>由，，所以，．
由余弦定理可得，，所以．
所以．
(2)
選①：
由余弦定理可得，，所以．
所以，由，所以．
因?yàn)?，所以可解得?
選②：
因?yàn)椋?br>所以可解得．
選③：
因?yàn)椋?br>所以可解得．
10． (2023·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】(1)證明：設(shè)，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
設(shè)，則，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，
因此的最大值為.
題組三 三角函數(shù)與正余弦定理
1． (2023·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量，，.
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，求的面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：，，
則其最小正周期；
(2)由，且，所以，
由余弦定理得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的面積，
所以該三角形面積的最大值為.
2． (2023·北京石景山·一模）已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：
①函數(shù)的最大值為2；
②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到；
③函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為．
(1)請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)條件的序號(hào)，說(shuō)明理由，并求出的解析式；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，求面積的最大值．
【答案】(1)滿足①③，(2)
【解析】(1)分析條件知①②矛盾，②③矛盾，故滿足的條件為①③，
由③知，則故
(2)，由，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
又，故面積最大值為
3． (2023·四川雅安·二模）已知向量，，設(shè)函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______，求的取值范圍．
從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中作答．
①；②；③，，成等比數(shù)列．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一解答計(jì)分．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因?yàn)?，?br>所以
由，得，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)若選①，
由正弦定理可得，
即，即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范圍是.
若選②，
由正弦定理可得，即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范圍是.
若選③，，成等比數(shù)列，即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，得，
即的取值范圍是.
4． (2023·陜西寶雞·二模（理））函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，且相鄰對(duì)稱軸間的距離為．
(1)求的值；
(2)已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，且，求面積的最大值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】(1)
由題意得：的最小正周期，由于，故，解得：，又，所以，即，又，所以，解得：，，故，此時(shí)，綜上：，；
(2)，所以，因?yàn)?，所以，則，解得：，又，所以由余弦定理得：
，則，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故面積最大值為.
題組四 最值問(wèn)題
1． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，角所對(duì)的邊分別為，已知.
(1)求的大小；
(2)的面積等于，D為BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線AD長(zhǎng)最短時(shí)，求AB邊長(zhǎng).
【答案】(1)；
【解析】(1)可得，
即，因?yàn)?br>從而，而，
所以.
(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，
故.
2． (2023·新疆石河子一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知.
(1)求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
(2)在△中，，D為BC中點(diǎn)，，求△面積的最大值.
【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，；(2).
【解析】(1)由，則，
令且，可得且，
所以單調(diào)減區(qū)間為，.
綜上，最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，.
(2)由題設(shè)，，即，
又，則，故，可得，
而，故，
令，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則△面積，
綜上，△面積的最大值為.
3． (2023·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)（理））在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若．
(1)求角A的大??；
(2)若，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1);(2)
【解析】(1)因?yàn)樗杂烧叶ɡ砜傻茫?br>即，由余弦定理知，，因?yàn)椋?所以.
(2)由和（1）可知，
則，
得，即，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)），
所以周長(zhǎng)的最大值為.
4． (2023·甘肅·二模（文））如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，且依次成等差數(shù)列.
(1)求邊AC的長(zhǎng)；
(2)求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)(2)10
【解析】(1)因?yàn)橐来纬傻炔顢?shù)列，
所以，又，所以,
又，則由余弦定理得:
，所以.
(2)由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及，知，
在中，由余弦定理得
，
又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立），
所以，即，
則四邊形ABCD周長(zhǎng)最大值.
5． (2023·湖南益陽(yáng)·一模）在①；②；③，這三個(gè)條作中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且 .
(1)求角C的大??；
(2)若，求的中線長(zhǎng)度的最小值.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)
【解析】(1)選擇條件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因?yàn)?，所以?br>選擇條件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)椋裕?br>選擇條件③：由及正弦定理，
得：，
因?yàn)?，所以.
在中，，則，
故.
因?yàn)椋?，則，
故；
(2)
因?yàn)?，所以?br>整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，即，
所以，即，
即長(zhǎng)度的最小值為.
6． (2023·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一點(diǎn)，且，，則當(dāng)為多少時(shí)，平面四邊形的面積最大，并求的最大值．
【答案】(1)(2)時(shí)，S最大值為
【解析】（1）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)，，是等邊三角形，設(shè)，，
，，，，
由余弦定理得，
，
，，當(dāng)，即時(shí)，
平面四邊形的面積取最大值．
7． (2023·山西·一模（理））如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，，.
(1)求；
(2)求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中，由正弦定理得，即.所以.
(2)因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)接于圓，故.
設(shè)，，在中，由余弦定理得：
.
因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以
所以面積的最大值是.
8． (2023·江蘇·金陵中學(xué)二模）已知四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，，，．
(1)若，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)5(2)
【解析】(1)在中，由余弦定理得
，得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以與角互補(bǔ)，
所以，，
在，由正弦定理得：，
所以.
(2)
因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L(zhǎng)為，
在中，由余弦定理得：，
即

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以四邊形周長(zhǎng)的最大值為.
9． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b=2，且．
(1)求角B的大??；
(2)若是銳角三角形，求面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由余弦定理可得，整理得，
又由，
因?yàn)?，所以?br>(2)解：由（1）可知：，所以，，
故，
，
因?yàn)槭卿J角三角形，，解得，
可得，所以，故，
又由的面積，所以．
10． (2023·江西）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且_．
(1)求B的大??；
(2)若，求的最大值．
注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)(2)8
【解析】(1)解：選①，因?yàn)?，所以，即，所以?br>又，所以；
選②，因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，所以，所以?br>選③，因?yàn)?，所以?br>則，
則有，
即，所以，
因?yàn)?，所以，所以，又，所以?br>(2)解：由（1）得，即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為8．
11． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若M是AC的中點(diǎn)，且，在下面兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)進(jìn)行解答．
①求△ABM面積的最大值；
②求BM的最大值．
（注：如果求解了兩個(gè)問(wèn)題，則按照第一個(gè)問(wèn)題解答給分）
【答案】(1)(2)①；②
【解析】(1)在△ABC中，．
又因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得，所以．又因?yàn)椋裕?br>(2)若選①．因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以．
在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以△ABM的面積的最大值是．
若選②．在△ABC中，由余弦定理，得，
所以，
所以．
因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以，
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以BM的最大值是．
12． (2023·遼寧·一模）在平面五邊形ABCDE中，已知，，，，，
(1)當(dāng)時(shí)，求DC；
(2)當(dāng)五邊形ABCDE的面積時(shí)，求BC的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)連結(jié)EB，在中，，
由余弦定理可得，
，所以
同時(shí)可得，,又由五邊形內(nèi)角和可求得
所以，進(jìn)而四邊形BCDE為等腰梯形
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BE于M，可求得
進(jìn)而
(2)，
又，所以，
設(shè)邊長(zhǎng)為x，則
化簡(jiǎn)整理得，解得或
又，
所以BC的取值范圍是.

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