例題剖析
考點(diǎn)一 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
【例1】 (2023·甘肅平?jīng)觥ざ＃╇蹰w，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點(diǎn)A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點(diǎn)B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）
A．49米B．51米C．54米D．57米
【一隅三反】
1． (2023·四川瀘州·二模）如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000，速度為50.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為（，）（ ）
A．7350B．2650C．3650D．4650
2． (2023·四川）某課外活動小組，為測量山高，如圖，他們在山腳A處測得山頂B的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，則此山的高度BC約為（ ）
A．B．
C．D．
3 (2023·河南·鶴壁）魏晉南北朝時期，中國數(shù)學(xué)的測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，因其第一題為測量海島的高度和距離，故題為《海島算經(jīng)》.受此題啟發(fā)，某同學(xué)依照此法測量鄭州市二七紀(jì)念塔的高度.如圖，點(diǎn)D，G，F(xiàn)在水平線DH上，CD和EF是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”測得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1，表高CD=EF=2，后表卻行FH=3，表距DF=61.則塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
考點(diǎn)二 正余弦定理的幾何應(yīng)用
【例2】 (2023·湖南·高考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在BC邊上，且，，
（1）求AC的長；
（2）求的值.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
2． (2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室三模（理））已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，.
(1)若角為銳角，求的取值范圍；
(2)在中，分別是角的對邊，若，的面積為，求的值.
3． (2023·黑龍江·哈九中三模（理））在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)設(shè)b＝c，N是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且與A點(diǎn)分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN＝6，CN＝3，求四邊形ABNC面積的最大值．
考點(diǎn)三 三角函數(shù)與正余弦定理
【例3】 (2023·浙江省義烏中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的周期及對稱軸:
(2)在銳角中，分別是角的對邊.若，求的面積.
【一隅三反】
1． (2023·天津市寧河區(qū)蘆臺）在中，角 所對邊分別為 ,且.
(1)求角的大小;
(2)若.
(i) 求 的值;
(ii) 求的值.
2． (2023·重慶·二模）已知角，（，）的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，分別在角，的終邊上.
(1)設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域；
(2)若點(diǎn)在角的終邊上，且線段的長度為，求的面積.
3． (2023·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，．
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)在中，角、、的對邊分別為、、，若，，求的值．
考點(diǎn)四 最值問題
【例4-1】 (2023·寧夏·銀川二中一模（理））在中，分別為內(nèi)角的對邊，若.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍.
【例4-2】 (2023·江西九江·二模）在 ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角B；
(2)若D為AC的中點(diǎn)，且，求 ABC面積的最大值.
【一隅三反】
1． (2023·四川·仁壽一中二模（理））在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.問題：在△中，角的對邊分別為，且___________
(1)求角B的大??；
(2)，求△周長的取值范圍.
2． (2023·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若，A為的最小角，求周長的取值范圍．
3． (2023·江西·二模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知①，②，③，從這三個條件中任選一個，回答下列問題，
(1)求角C；
(2)若，求面積的取值范圍．
3.6 三角函數(shù)的專題綜合運(yùn)用（精講）（基礎(chǔ)版）
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
【例1】 (2023·甘肅平?jīng)觥ざ＃╇蹰w，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點(diǎn)A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點(diǎn)B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）
A．49米B．51米C．54米D．57米
【答案】D
【解析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，
所以，則，又，可得米.
故選：D
【一隅三反】
1． (2023·四川瀘州·二模）如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000，速度為50.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為（，）（ ）
A．7350B．2650C．3650D．4650
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)，經(jīng)過420s后的位置為點(diǎn)，山頂為點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，所以，
在中，，由正弦定理得，
則，
因?yàn)樗裕?br>所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為.故選：B.
2． (2023·四川）某課外活動小組，為測量山高，如圖，他們在山腳A處測得山頂B的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，則此山的高度BC約為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】過點(diǎn)D作，交BC于E，
因?yàn)?，所以，則．
又因?yàn)椋裕?br>在中，由正弦定理，得，
在中，，故山高度約為．
故選：B.
3 (2023·河南·鶴壁）魏晉南北朝時期，中國數(shù)學(xué)的測量學(xué)取得了長足進(jìn)展.劉徽提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補(bǔ)原理，因其第一題為測量海島的高度和距離，故題為《海島算經(jīng)》.受此題啟發(fā)，某同學(xué)依照此法測量鄭州市二七紀(jì)念塔的高度.如圖，點(diǎn)D，G，F(xiàn)在水平線DH上，CD和EF是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”測得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：前表卻行DG=1，表高CD=EF=2，后表卻行FH=3，表距DF=61.則塔高AB=（ ）
A．60米B．61米C．62米D．63米
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，，，所以，解得．
故選：D.
考點(diǎn)二 正余弦定理的幾何應(yīng)用
【例2】 (2023·湖南·高考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在BC邊上，且，，
（1）求AC的長；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由題意可得，
【一隅三反】
1． (2023·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)椋?，即?br>又因?yàn)椋裕?br>（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①
在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br>當(dāng)時，（舍去）．
當(dāng)時，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，
而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．
由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br>所以，
整理得．
又因?yàn)椋裕?br>即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br>以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br>由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，
長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．
由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2． (2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室三模（理））已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，.
(1)若角為銳角，求的取值范圍；
(2)在中，分別是角的對邊，若，的面積為，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由三角函數(shù)定義知，
由角為銳角知， ∴
∴ ∴的取值范圍是
(2)由得∵ ∴
由 得，由余弦定理得：.
3． (2023·黑龍江·哈九中三模（理））在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)設(shè)b＝c，N是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且與A點(diǎn)分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN＝6，CN＝3，求四邊形ABNC面積的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，
∴，
即．∴，即．
∵0

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