1.理解二面角及其平面角的概念并初步理解二面角的平面角的一般作法.2.理解兩個(gè)平面互相垂直的定義,并能用符號語言進(jìn)行描述.
3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理,并能利用定理解決相關(guān)證明問題.
兩個(gè)平面除了平行還有相交的情況 .為了討論兩個(gè)平面相交的情況，需要引入有關(guān)的概念. 一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為半平面.
從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.如圖,以直線AB(l) 為棱、半平面α,β為面的二面角，記作二面角α-AB-β或α-l-β.
以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角，如圖中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角稱為直二面角.
兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與β垂直，記作：α⊥β. 兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成如圖的樣子，此時(shí)，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.
例5：如圖,山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是60°,山坡上有 一條直道CD, 它和坡腳的水平線AB的夾角是30°,沿這條路上山，行走100m后升高多少米?(精確到0.1m)
1. 在教室里，黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?
2. 如圖,長方體ABCD-A?B?C?D?中，平面A?ADD?與平面ABCD垂直，直線A?A垂直于其交線AD, 那么直線A?A與平面ABCD垂直嗎?平面A?ADD?內(nèi)還有哪些直線與平面ABCD垂直?
事實(shí)上，如圖，在平面α內(nèi)作直線BC⊥MN，則 ∠ABC是二面角α-MN-β的平面角.
平面與平面垂直的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直. 平面與平面垂直的性質(zhì)定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直.
例6：如圖，長方體ABCD-A?B?C?D?中，MN在平面B?BCC?內(nèi)，MN⊥BC于點(diǎn)M，判斷MN與AB的位置關(guān)系，并說明理由.
建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線，來檢查所砌的墻面是否與 水平平面垂直(如圖).系有鉛錘的線是垂直于水平面的.如果系有鉛錘的線緊貼墻面，就說明墻面垂直于水平面.
例8：如圖，在四棱柱ABCD-A?B?C?D?中，四個(gè)側(cè)面都是矩形 .求證：平面BB?C?C⊥平面ABCD.
證明 由四邊形BB?C?C是矩形，得CC?⊥BC.同理可得CC?⊥CD.
例9：如圖，在四面體A?-ABC中，A?A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA?=AB.(1)四面體A?-ABC中有幾組互相垂直的平面?(2)求二面角A-A?B-C和A?-BC-A的大小 .
(2)由(1)知，平面A?BC⊥平面A?AB，所以二面角A-A?B-C為90°.由BC⊥平面A?AB，得 A?B⊥BC；又 AB⊥BC，所以∠A?BA是二面角A?-BC-A的平面角.在Rt△A?AB中，A?A=AB，則∠A?BA=45°，即二面角A?-BC-A為45°.
我們知道，可以通過直線與直線垂直判定直線與平面垂直；可以通過直線與平面垂直的定義得到直線與直線垂直；可以通過直線與平面垂直判定平面與平面垂直；同時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)定理說明，由平面與平面垂直可以得到直線與平面垂直.
這種直線、平面之間的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，是解決空間圖形問題的一種重要的思想方法.

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.2 平面與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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