1.借助常見幾何體了解直線與平面垂直的定義,了解直線與平面所成角的概念.2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理,并會用定理證明相關(guān)問題.
3.掌握直線與平面垂直的判定定理,并會用定理判定線面垂直.4.會求簡單的空間距離問題(點面距離、線面距離、面面距離).
天安門廣場上豎立的國旗桿與地面，直立在水平桌面上打開書的書脊與桌面(如圖)等都展示了直線與平面垂直的形象.那么，什么是直線與平面垂直呢?
觀察立在水平桌面上打開的書，書脊可以抽象成一條直線，書脊與桌面上每一頁的下底邊所在直線都垂直，就說書脊與桌面垂直.
一般地，如圖,如果直線l 與平面α內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直，記作l⊥α. 直線l 稱為平面α的垂線，平面α稱為直線l 的垂面，它們唯一的公共點 P 稱為垂足.
過一點有且只有一條直線與一個平面垂直，過一點有且只有一個平面與一條直線垂直. 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
我們知道，在平面內(nèi)，如果兩條直線同垂直于另一條直線，那么這兩條直線平行，這個性質(zhì)能推廣到空間嗎?
觀察如圖的長方體，可以看到：直線a 與直線b 都垂直于平面α，這時，a//b.
一般地，如果a⊥α,b⊥α,這時，a和b平行嗎?如圖,設(shè)a⊥α,b⊥α,垂足分別為A,B.假定a和b不平行，則過點B作a的平行線b',b'與b不重合.因b∩b'=B, 故直線b與b'確定一個平面，記為β,且記α∩β=l.
因為b⊥α,a⊥α,所以b⊥l,a⊥l.又因為b'//a,所 以b'⊥l.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線l 上同 一 點B 就有兩條直線b 與 b'都與 l垂直，這與“平面內(nèi)，過直線上的一點只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.因此a//b.
這樣就得到了直線與平面垂直的性質(zhì)定理. 直線與平面垂直的性質(zhì)定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行. 這個定理揭示了“平行”與“垂直”之間的一種聯(lián)系.利用這個定理可以判定兩條直線平行.
思考： 兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？說明理由.
例1：本章1.2節(jié)已提到從平面外一點作一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離.請證明：如果一條直線平行一個平面，那么這條直線上各點到這個平面的距離都相等.
證明：如圖,直線與平面分別用l 與α表示，且l//α.要證明直線l上各點到平面α的距離相等，只要證明直線l上任意兩點到平面α的距離相等.而點到平面α的距離也就是點到平面α垂線段的長.
過直線l上任意兩點A,B分別作平面α的垂線，垂足分別為E,F. 因為AE⊥α,BF⊥α,所以AE//BF. 設(shè)過直線AE和BF的平面為β,則β∩α=EF. 由l∥α, 得l//EF. 所以四邊形AEFB是平行四邊形. 所以AE=BF,即直線l上各點到平面α的距離相等.
因此，如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線 到這個平面的距離.
前面我們討論了直線與平面垂直的情況，在處理問題中，很多時候直線與平面的位置關(guān)系不是垂直關(guān)系. 如圖,一條直線與一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線稱為這個平面的斜線，斜線與平面的交點A 稱為斜足.
過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂線，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影.平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角； 一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)， 就說它們所成的角是0°的角.
例2：如圖,已知正方體ABCD-A?B?C?D?.(1)求D?A與底面ABCD所成的角；(2)設(shè)正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為a, 求D?B與 底面ABCD所成的角的余弦值.
解：(1)因為DD?⊥底面ABCD, 所以∠D?AD是D?A與底面ABCD所成的角. 因為側(cè)面A?ADD?是正方形，所以∠D?AD=45°. 即D?A與底面ABCD所成的角為45°.
怎樣判定一條直線和一個平面垂直呢? 先觀察如圖的長方體，可以知道：b,c是平面α內(nèi)的兩條相交直線，a⊥b,a⊥c,這時，a⊥α.
再觀察如圖的長方體，可以知道：平面α內(nèi)的兩條平行直線b,c雖然都與直線a垂直，但a與α不垂直 . 一般地，有下面的判定定理. 直線與平面垂直的判定定理 如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
思考： 1. 若三條共點的直線兩兩垂直，那么其中的任意一條直線與另外兩條直線確定的平面是什么關(guān)系? 2. 過平面外一點可以作幾條直線與已知平面垂直?
例3：證明：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.已知：如圖, l?//l?, l?⊥α.求證：l?⊥α.
證明 要證明l?⊥α,只需證明l?與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直.
例4： 如圖,長桿l與地面α相交于點O, 在桿子上距地面2m的點P處掛一根長2.5m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的點A或點B(A,B,O三點不在同一條直線上).如果A,B兩點和點O的距離都是1.5m, 那么長桿l和地面是否垂直?為什么?
解：在△POA和△POB中 ，因為PO=2m,AO=BO=1.5m,PA=PB=2.5m,所以PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2,PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2 .根據(jù)勾股定理的逆定理得PO⊥AO,PO⊥BO.又A,B,O三點不共線，因此PO⊥平面α,即長桿與地面垂直.

相關(guān)課件

人教A版 (2019)8.6 空間直線、平面的垂直課堂教學(xué)ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)8.6 空間直線、平面的垂直課堂教學(xué)ppt課件，共19頁。PPT課件主要包含了導(dǎo)入新課，精彩課堂，圖2中a∥b，課堂練習(xí)，課堂總結(jié)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直背景圖ppt課件：

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直背景圖ppt課件，共28頁。PPT課件主要包含了導(dǎo)入新課，精彩課堂，課堂練習(xí)，課堂總結(jié)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊5.1 直線與平面垂直評課課件ppt：

這是一份高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊5.1 直線與平面垂直評課課件ppt，共44頁。PPT課件主要包含了§5垂直關(guān)系，必備知識?探新知，知識點1，直線與平面垂直，基礎(chǔ)知識，知識點2，任意一點，知識點3，直線到平面的距離，知識點4等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

高中北師大版 (2019)5.1 直線與平面垂直集體備課課件ppt

高中北師大版 (2019)5.1 直線與平面垂直集體備課課件ppt
高中北師大版 (2019)5.1 直線與平面垂直教課ppt課件

高中北師大版 (2019)5.1 直線與平面垂直教課ppt課件
人教A版 (2019)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直背景圖課件ppt

人教A版 (2019)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直背景圖課件ppt
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直備課ppt課件

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊8.6 空間直線、平面的垂直備課ppt課件
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

5.1 直線與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部