
1.理解平面與平面平行的性質(zhì)定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言進(jìn)行描述.2.理解平面與平面平行的判定定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言進(jìn)行描述.
3.能運(yùn)用平面與平面平行的性質(zhì)定理和平面與平面平行的判定定理證明一些空間中相關(guān)的平行問題.
由兩個(gè)平面平行的定義可知,兩個(gè)平行平面沒有公共點(diǎn),因此其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)平面也沒有公共點(diǎn),即平行,于是,這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線平行或異面.那么,如何找到平行的直線呢?
觀察圖中的長方體,上、下兩底面ABCD和 A?B?C?D?平行,上底面A?B?C?D?的對(duì)角線B?D?僅和與它共面的下底面ABCD的對(duì)角線BD平行,而和棱AB,BC,CD,DA都是異面直線. 由此得到:
平面與平面平行的性質(zhì)定理 兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與 這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行.
例5:如圖,已知α//β, 點(diǎn)M,C,F和N,D,E分別是直線AB,AD,BF與α和β的交點(diǎn).設(shè)AM=m,BN=n,MN=p, 求△END 與△FMC的面積之比.
因?yàn)椤螮ND與∠FMC的兩邊分別平行且方向相同,所以∠END=∠FMC.于是△END 與△FMC的面積之比為
如果對(duì)于平面α和平面β,在α內(nèi)取一條直線l,且 l//β,能說α//β嗎? 如圖, 平面A?BCD?中的A?D?//平面ABCD, 但平面A?BCD?與平面ABCD不平行.
我們?cè)谏钪锌吹?,工人師傅將水平尺在桌面上交叉放置兩次,如果水平尺的氣泡兩次都在中央,就能判斷桌面是水平?這是為什么呢?
這種判斷方法的理論依據(jù)是: 平面與平面平行的判定定理 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行.
例6:如圖,已知長方體ABCD-A?B?C?D?, 求證:平面AB?D?//平面C?BD.
例7:如圖, 點(diǎn)P在SA上,從點(diǎn)P處將三棱錐形木塊S-ABC鋸開,使得截面與底面ABC平行,怎么在側(cè)面上畫線?
解:如圖, 過點(diǎn)P在側(cè)面SAB上作AB的平行線,交SB于點(diǎn)E; 再過點(diǎn)P在側(cè)面SAC上作AC的平行線,交SC于點(diǎn)F, 連接EF. 截面PEF就是所求.
思考: “平面α內(nèi)存在著不共線的三點(diǎn)到平面β的距離均相等”是“α∥β”的什么條件?
我們知道,可以通過直線與直線平行判定直線與平面平行;可以通過直線與平面平行的 性質(zhì)得到直線與直線平行;可以通過直線與平面平行判定平面與平面平行;可以通過平面與平面平行的定義及性質(zhì)得到直線與平面平行、直線與直線平行.這種直線、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法 .
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