5.5.2　平面與平面垂直新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助生活中的實(shí)物之間的位置關(guān)系，理解空間中平面與平面垂直的位置關(guān)系．2．掌握用幾何圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表示空間平面與平面垂直的位置關(guān)系.1.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角的平面角的大?。?/span>(直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．了解面面垂直的定義，理解并掌握面面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)4．掌握線(xiàn)面、面面垂直的性質(zhì)與判定定理，學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用定理證明垂直關(guān)系．(直觀(guān)想象、邏輯推理) 課前篇·自主學(xué)習(xí)預(yù)案1.半平面一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都稱(chēng)為半平面．2．二面角(1)定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角．(2)相關(guān)概念：①這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的棱，②這兩個(gè)半平面稱(chēng)為二面角的面．(3)畫(huà)法：(4)記法：二面角α－AB－β或α－l－β.(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作________于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角稱(chēng)為二面角的平面角．如圖：則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(6)二面角的平面角θ的取值范圍：0°≤θ≤180°.3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的________，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直．(2)圖形表示：(3)符號(hào)表示：α⊥β，a?α，α∩β＝l，a⊥l?a⊥β.(4)作用：證明直線(xiàn)和平面垂直．4．平面與平面垂直的判定定理(1)語(yǔ)言敘述：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的________，那么這兩個(gè)平面垂直．(2)圖形表示：(3)符號(hào)表示：l?α，l⊥β?α⊥β.答案：2.(5)垂直3．(1)交線(xiàn)4．(1)垂線(xiàn)課堂篇·研習(xí)討論導(dǎo)案研習(xí)1  平面與平面垂直性質(zhì)定理及應(yīng)用(直觀(guān)想象、邏輯推理)[題組訓(xùn)練][典例1]　1.已知平面α、β和直線(xiàn)m、l，則下列命題中正確的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，則l⊥βB．若α∩β＝m，l?α，l?m，則l⊥βC．若α⊥β，l?α，則l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，則l⊥β2．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是________三角形．3．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．G為AD邊的中點(diǎn)．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[自主記]1．[答案]　D2．[答案]　直角　[解析]　設(shè)P在平面ABC上的射影為O，因?yàn)槠矫?/span>PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB．因?yàn)?/span>PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中點(diǎn)，所以△ABC是直角三角形．3．[解]　(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，所以PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，所以PG⊥BG.又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD．又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，所以BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB．[巧歸納]　對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面互相垂直；②直線(xiàn)在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線(xiàn)與兩平面的交線(xiàn)垂直．(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線(xiàn)面垂直，故可用來(lái)證明線(xiàn)面垂直．(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，再轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直. 研習(xí)2  平面與平面垂直的判定(邏輯推理)[典例2]　如圖所示，在四面體A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求證：平面ABC⊥平面SBC．四步內(nèi)容理解題意條件：在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．結(jié)論：平面ABC⊥平面SBC．思路探求求證平面ABC⊥平面SBC，可證明二面角A－BC－S為直二面角，也可以證明AD⊥平面SBC，其中D為斜邊BC的中點(diǎn).續(xù)表四步內(nèi)容書(shū)寫(xiě)表達(dá)【證明】方法一：(利用定義證明)因?yàn)?/span>∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC均是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，因?yàn)?/span>SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因?yàn)?/span>SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．方法二：(利用判定定理)因?yàn)?/span>SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以△ASB和△ASC均是等邊三角形，所以SA＝AB＝AC，所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因?yàn)?/span>△SBC為直角三角形，所以點(diǎn)A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn)，所以AD⊥平面SBC．又因?yàn)?/span>AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性：在立體幾何中的證明問(wèn)題，需要特別注意符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范性，證明面面垂直，條件一定要寫(xiě)全，不能有遺漏，特別是“垂線(xiàn)在平面內(nèi)”這個(gè)條件． 題后反思證明面面垂直的關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線(xiàn). [巧歸納]　證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線(xiàn)面垂直”；(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．[練習(xí)1]　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面AEC；(2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AD，求證：平面AEC⊥平面PCD．證明：(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)?/span>O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，所以EO∥PB，又EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，所以CD⊥AE.因?yàn)?/span>PA＝AD，E為PD中點(diǎn)，所以AE⊥PD．又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PDC，又AE?平面AEC，所以平面AEC⊥平面PDC． 研習(xí)3  平面與平面相交的綜合問(wèn)題(直觀(guān)想象、邏輯推理)角度1　求二面角[典例3]　如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。?/span>[自主記][解]　由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．因?yàn)?/span>AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，所以AC⊥BC．又因?yàn)?/span>PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又PC?平面PAC，所以PC⊥BC．又因?yàn)?/span>BC是二面角P－BC－A的棱，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．又因?yàn)?/span>PA＝AC，所以△PAC是等腰直角三角形，所以∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.[變式探究]將本例變?yōu)椋核倪呅?/span>ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，求二面角B－PA－C的大?。?/span>解：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的大小為45°.角度2　平面與平面相交的平行和垂直問(wèn)題[典例4]　在四面體D－ABC中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：(1)直線(xiàn)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD．[自主記][證明]　(1)因?yàn)?/span>E，F分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以EF是△ABD的中位線(xiàn)，所以EF∥AD，因?yàn)?/span>EF?平面ACD，AD?平面ACD，所以直線(xiàn)EF∥平面ACD．(2)因?yàn)?/span>AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD．因?yàn)?/span>CB＝CD，F是BD的中點(diǎn)，所以CF⊥BD．又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC．因?yàn)?/span>BD?平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD．[解題策略]　解決二面角問(wèn)題的策略(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)．(2)求二面角的大小的方法：一作：即先作出二面角的平面角；二證：即說(shuō)明所作角是二面角的平面角；三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作”．[練習(xí)2]　1.如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則(　　)A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC答案：B2．如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.答案：　解析：因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC，交線(xiàn)為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.3．如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點(diǎn)D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大?。?/span>解：因?yàn)?/span>SA⊥平面ABC，所以SA⊥BD．由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC．所以SC⊥BE，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BED，所以SC⊥BD．又因?yàn)?/span>BD⊥SA，SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC．因?yàn)?/span>AC?平面SAC，所以BD⊥AC，所以BD?CD．同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，設(shè)SA＝1，則SA＝AB＝1，因?yàn)?/span>AB⊥BC，所以SB＝BC＝，可證得CB⊥SB，所以SC＝2，所以在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°.即二面角E－BD－C的大小為60°.達(dá)標(biāo)篇·課堂速測(cè)演習(xí)1．下列命題中錯(cuò)誤的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線(xiàn)都垂直于平面β答案：D　2．已知直線(xiàn)l⊥平面α，則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面(　　)A．有一個(gè)   B．有兩個(gè)C．有無(wú)數(shù)個(gè)   D．不存在答案：C　3．(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－BC－D的平面角的大小為(　　)A．30°   B．45°  C．60°   D．90°答案：B4．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如圖，則在三棱錐P－ABC的四個(gè)面中，互相垂直的面有________對(duì)．答案：3　解析：平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB，AD⊥CD，E為棱PD的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥AE；(2)試判斷PB與平面AEC是否平行？并說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)?/span>PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以CD⊥AE.(2)PB與平面AEC不平行．假設(shè)PB∥平面AEC，設(shè)BD∩AC＝O，連接OE，則平面EAC∩平面PDB＝OE，又PB?平面PDB，所以PB∥OE.所以在△PDB中有＝，由E是PD中點(diǎn)可得＝＝1，即OB＝OD．因?yàn)?/span>AB∥DC，所以＝＝，這與OB＝OD矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，PB與平面AEC不平行． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[方法技巧]　化歸思想的運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想貫穿立體幾何的始終，是處理立體幾何問(wèn)題的最基本的數(shù)學(xué)思想．[示例]　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論，[思路分析]　(1)尋找AD垂直于包含PB的平面．(2)分析時(shí)結(jié)合(1)及所給圖形的特征，尋找與平面DEF平行且與平面ABCD垂直的平面，進(jìn)而確定F的確切位置．[解析]　(1)證明：如圖所示，設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接PG，BG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD．又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．(2)解：當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平面DEF⊥平面ABCD．證明如下：設(shè)F為PC的中點(diǎn)，則在△PBC中，FE∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE.∵FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝ B．∴平面DEF∥平面PGB．由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．[題后反思]　空間問(wèn)題化成平面問(wèn)題是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本原則，解題時(shí)要抓住幾何圖形自身的特點(diǎn)，如等邊三角形的三線(xiàn)合一、中位線(xiàn)定理、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直等．對(duì)于一些較復(fù)雜的問(wèn)題，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

5.2 平面與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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