問題1　兩平面相交也是生產(chǎn)和生活中常見的現(xiàn)象，如發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，要使衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面形成一定的角度．筆記本電腦使用時(shí)，也需要展開一定的角度等等，那么我們?nèi)绾蝸砜坍嬤@種兩個(gè)平面所成的角呢？
用我們即將要學(xué)的二面角的平面角刻畫．
問題2　平面是無限延展的，一條直線把平面分成幾部分？每一部分如何定義？
一條直線把平面2部分，
其中每一部分稱為半平面．
追問2：如圖所示，如何表示以直線AB為棱，半平面α、β為面的二面角？
以直線AB為棱，以α、β為半平面的二面角記為二面角α－AB－β．
追問1：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫什么？
從一條直線引出的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；這條直線叫做二面角的棱；
這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．
問題3　如何度量二面角？
二面角是用它的平面角來度量的，一個(gè)二面角的平面角多大，就說這個(gè)二面角是多少度的二面角．
以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線
所成的角就是二面角的平面角．
問題5　當(dāng)二面角是直角時(shí)，兩個(gè)平面是什么位置關(guān)系？
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
問題6　二面角的范圍是什么？二面角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎？
二面角的范圍是［0，π］．
二面角的平面角與點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)．
問題7　已知黑板面與地面垂直，你能在黑板面內(nèi)找到一條直線與地面平行、相交或垂直嗎？這樣的直線分別有什么性質(zhì)？試說明理由！
在黑板面內(nèi)找一條直線與黑板邊緣平行，即可得直線與地面平行，
依據(jù)是線面平行的性質(zhì)；
在黑板面內(nèi)找一條直線黑板邊緣相交，即可得直線與地面相交，
依據(jù)是平面與直線的無限延展性；
黑板面內(nèi)找一條直線與黑板邊緣垂直，因?yàn)楹诎迕媾c地面垂直．
問題8　若兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面有何位置關(guān)系？一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？
一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．
問題9　如何符號(hào)、圖形語言表示兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理？
符號(hào)語言： α⊥β，α∩β＝m，l?β，l⊥m?l⊥α．
問題10　已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，可以得到那些垂直關(guān)系？
已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，
故二面角 ?－ l－ ? 的大小為60 °
解析：因?yàn)椤螦DO 就是二面角 ?－ l － ? 的平面角
例2　如圖，山坡傾斜度是60度，山坡上一條路CD和坡底線AB成30度角．沿這條路向上走100米，升高了多少？
解析：如圖所示，要求升高了多少米，即需要求點(diǎn)D到水平面α的距離DH．已知二面角α-AB-β是60度，只要過D點(diǎn)在平面內(nèi)作DG⊥AB，G點(diǎn)是垂足，連結(jié)HG，則HG⊥AB，∠DGH就是該二面角的平面角，即∠DGH=60°．根據(jù)∠DCH=60°及直角三角形DGH和DCG的邊角關(guān)系，得
練習(xí)：教科書第230頁練習(xí)1，2，3．
（1）平面與平面垂直的性質(zhì)定理的作用是什么？
（2）如何求二面角的大小？
問題11　本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二面角、平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用，請(qǐng)你通過下列問題，歸納所學(xué)知識(shí)．
（1）作用：證明直線與平面垂直．
（2）求二面角的三種方法：
①定義法：在二面角的棱上找一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)過該點(diǎn)分別作垂直于棱的射線．
所成的角，即為二面角的平面角．
②垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面形成交線，這兩條射線（交線）
③垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法．
作業(yè)：教科書第230頁練習(xí)4．
設(shè)平面α⊥平面β，在平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b，則（　?。?br/>A．直線a必垂直于平面β
C．直線a不一定垂直于平面β
B．直線b必垂直于平面α
D．過a的平面與過b的平面垂直
解析：如果α∩β＝b，則a⊥β．
如果b不是平面α和β的交線，則a不一定垂直于β．
如果α∩β＝a，則b⊥α．
如果a不是平面α與β的交線，則b不一定垂直于α．
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BD與CC1的位置關(guān)系為（　　）
解析：如圖所示，在四邊形ABCD中，
∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面AA1C1C．
又CC1?平面AA1C1C，
∵AB＝BC，AD＝CD．
如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)（不同于A，B）且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為（　?。?br/>解析：∵AB是圓的直徑，
∴PA⊥BC，即BC⊥PA．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．

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5.2 平面與平面垂直

版本： 北師大版 (2019)

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