典例1．（2022秋·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谀┤鐖D，O是上一點(diǎn)，于點(diǎn)O，直線經(jīng)過O點(diǎn)，，則的度數(shù)為（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
變式1-1．（2022秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，于點(diǎn)O，c為經(jīng)過點(diǎn)O的任意一條直線，那么與的關(guān)系是（ ）
A．互余B．互補(bǔ)C．互為對(duì)頂角D．相等
變式1-2．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，直線BD經(jīng)過點(diǎn)O，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
變式1-3．（2022秋·遼寧本溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，垂足為點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)O，則等于（ ）
A．24°B．42°C．48°D．64°
考查題型二 作已知直線的垂線
典例2．（2021秋·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）過點(diǎn)C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2-1．（2022秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列選項(xiàng)中，過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角尺放法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2-2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列各圖中，過直線外的點(diǎn)畫直線的垂線，三角尺操作正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式2-3．（2020秋·廣西·七年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列用三角板過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，正確的是（ ）
A．B．C．D．
考查題型三 垂線的性質(zhì)的應(yīng)用
典例3．（2022秋·重慶云陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）春節(jié)過后，某村計(jì)劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點(diǎn)O），以便對(duì)農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計(jì)了四條路段，，，，如圖所示，其中最短的一條路線是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
變式3-1．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，是測(cè)量學(xué)生跳遠(yuǎn)成績(jī)的示意圖，即的長(zhǎng)為某同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是（ ）
A．兩點(diǎn)之間線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．垂線段最短D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
變式3-2．（2022秋·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處．他們的做法是：過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間，直線最短
C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．垂線段最短
變式3-3．（2022秋·河南安陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從位置O到直線公路l有四條小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
考查題型四 點(diǎn)到直線的距離
典例4．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直角三角形中，，，垂足是點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離B．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離
C．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離D．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離
變式4-1．如圖，P為直線l外一點(diǎn)，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①PA，PB，PC三條線段中，PB最短；②線段PB叫做點(diǎn)P到直線l的距離；③線段AB的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PB的距離；④線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PC的距離．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
變式4-2．（2022春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則表示點(diǎn)A到直線CD距離的是（ ）
A．線段CD的長(zhǎng)度B．線段AC的長(zhǎng)度C．線段AD的長(zhǎng)度D．線段BC的長(zhǎng)度
變式4-3．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2于點(diǎn)B，AC⊥11于點(diǎn)A，AB＝4，AC＝5，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)B到直線l1的距離等于4
B．點(diǎn)A到直線l2的距離等于5
C．點(diǎn)B到直線l1的距離等于5
D．點(diǎn)C到直線l1的距離等于5
5.1.2《垂線》
重難點(diǎn)題型專項(xiàng)練習(xí)
考查題型一 垂線的定義
典例1．（2022秋·北京·七年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谀┤鐖D，O是上一點(diǎn)，于點(diǎn)O，直線經(jīng)過O點(diǎn)，，則的度數(shù)為（ ）
A．100°B．105°C．115°D．125°
【答案】C
【分析】由，可得，由對(duì)頂角相等可得，根據(jù)角的和差即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查垂直的定義以及對(duì)頂角，題目很簡(jiǎn)單，解題時(shí)要仔細(xì)識(shí)圖．
變式1-1．（2022秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，于點(diǎn)O，c為經(jīng)過點(diǎn)O的任意一條直線，那么與的關(guān)系是（ ）
A．互余B．互補(bǔ)C．互為對(duì)頂角D．相等
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等得到，利用，得到，即可推出．
【詳解】解：由題意得，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)頂角相等，垂直的定義，余角的定義，熟記各定義是解題的關(guān)鍵．
變式1-2．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，，直線BD經(jīng)過點(diǎn)O，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用垂直的含義求解 再利用鄰補(bǔ)角的含義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴
∵直線BD經(jīng)過點(diǎn)O，
∴
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的含義，鄰補(bǔ)角的含義，熟練的利用垂直與鄰補(bǔ)角的定義求解角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
變式1-3．（2022秋·遼寧本溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，垂足為點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)O，則等于（ ）
A．24°B．42°C．48°D．64°
【答案】B
【分析】根據(jù)，，可得∠BOD=∠AOC=90°，再由，可得∠AOB=48°，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴∠BOD=∠AOC=90°，
∵，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=48°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=42°．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角與角間的和與差，垂直的性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考查題型二 作已知直線的垂線
典例2．（2021秋·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）過點(diǎn)C向AB邊作垂線段，下列畫法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個(gè)判斷即可得出正確結(jié)論．
【詳解】解：A．此選項(xiàng)是過點(diǎn)A作BC邊的垂線段，故錯(cuò)誤；
B．此選項(xiàng)是過點(diǎn)B作AB邊的垂線段，故錯(cuò)誤；
C．此選項(xiàng)是過點(diǎn)C作AB邊的垂線段，故此項(xiàng)正確；
D．此選項(xiàng)是過點(diǎn)B作CA邊的垂線段，故錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的定義及作法，是一道基礎(chǔ)題，解題時(shí)要善于觀察，準(zhǔn)確理解垂線段的定義是解題的關(guān)鍵．
變式2-1．（2022秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列選項(xiàng)中，過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，三角尺放法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)P點(diǎn)在CD上，CD⊥AB進(jìn)行判斷．
【詳解】解：過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，則P點(diǎn)在CD上，CD⊥AB，所以三角尺放法正確的為
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（過一點(diǎn)畫已知直線的垂線）是解決問題的關(guān)鍵．
變式2-2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列各圖中，過直線外的點(diǎn)畫直線的垂線，三角尺操作正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點(diǎn)P后沿直角邊畫直線即可；
【詳解】根據(jù)分析可得C的畫法正確；
故答案選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的作法，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．
變式2-3．（2020秋·廣西·七年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列用三角板過點(diǎn)P畫AB的垂線CD，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)垂線的作法，用直角三角板的一條直角邊與重合，另一條直角邊過點(diǎn)后沿直角邊畫直線即可．
【詳解】解：根據(jù)分析可得，用直角三角板的一條直角邊與重合，另一條直角邊過點(diǎn)后沿直角邊畫直線，
選項(xiàng)的畫法正確，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線的畫法，在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．
考查題型三 垂線的性質(zhì)的應(yīng)用
典例3．（2022秋·重慶云陽·七年級(jí)校考階段練習(xí)）春節(jié)過后，某村計(jì)劃挖一條水渠將不遠(yuǎn)處的河水引到農(nóng)田（記作點(diǎn)O），以便對(duì)農(nóng)田的小麥進(jìn)行灌溉，現(xiàn)設(shè)計(jì)了四條路段，，，，如圖所示，其中最短的一條路線是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】B
【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，可得答案．
【詳解】由垂線段最短，得
四條線段，，，，如圖所示，
其中最短的一條路線是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式3-1．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，是測(cè)量學(xué)生跳遠(yuǎn)成績(jī)的示意圖，即的長(zhǎng)為某同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是（ ）
A．兩點(diǎn)之間線段最短B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．垂線段最短D．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】C
【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出判斷．
【詳解】解：能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則．
變式3-2．（2022秋·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某單位要在河岸l上建一個(gè)水泵房引水到C處．他們的做法是：過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是（ ）
A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間，直線最短
C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．垂線段最短
【答案】D
【分析】根據(jù)垂線段最短解答即可．
【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是：垂線段最短．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的性質(zhì)，熟練掌握垂線段性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短．
變式3-3．（2022秋·河南安陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，從位置O到直線公路l有四條小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)垂線段最短得，能最快到達(dá)公路l的小道是OC，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，熟記垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考查題型四 點(diǎn)到直線的距離
典例4．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，直角三角形中，，，垂足是點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離B．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離
C．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離D．線段的長(zhǎng)表示點(diǎn)到的距離
【答案】C
【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)，到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度是這點(diǎn)到直線的距離判斷即可．
【詳解】解：A．線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A到的距離，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
B．線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)C到的距離，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
C．線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)B到的距離，說法正確，符合題意；
D．線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)B到的距離，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，正確進(jìn)行判斷．
變式4-1．如圖，P為直線l外一點(diǎn)，A，B，C在l上，且PB⊥l，下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①PA，PB，PC三條線段中，PB最短；②線段PB叫做點(diǎn)P到直線l的距離；③線段AB的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PB的距離；④線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PC的距離．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離；從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短．逐一判斷．
【詳解】解：①線段BP是點(diǎn)P到直線l的垂線段，根據(jù)垂線段最短可知，PA，PB，PC三條線段中，PB最短；故原說法正確；
②線段BP是點(diǎn)P到直線l的垂線段，故線段BP的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)P到直線l的距離，故原說法錯(cuò)誤；
③線段AB是點(diǎn)A到直線PB的垂線段，故線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)P到直線l的距離，故故原說法正確；
④由題意及圖形無法判斷線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PC的距離，故原說法錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的說法有①③；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離的概念．垂線的兩條性質(zhì)：①從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．②從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短．
變式4-2．（2022春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則表示點(diǎn)A到直線CD距離的是（ ）
A．線段CD的長(zhǎng)度B．線段AC的長(zhǎng)度C．線段AD的長(zhǎng)度D．線段BC的長(zhǎng)度
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答即可．
【詳解】解：點(diǎn)A到CD的距離是線段AD的長(zhǎng)度．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并理解點(diǎn)到直線的距離的概念．
變式4-3．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B，C在直線l2上，AB⊥l2于點(diǎn)B，AC⊥11于點(diǎn)A，AB＝4，AC＝5，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)B到直線l1的距離等于4B．點(diǎn)A到直線l2的距離等于5
C．點(diǎn)B到直線l1的距離等于5D．點(diǎn)C到直線l1的距離等于5
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義求解即可．
【詳解】解：∵AB⊥于點(diǎn)B，AC⊥于點(diǎn)A，AB=4，AC=5，
∴點(diǎn)A到直線的距離等于4，點(diǎn)C到直線的距離等于5，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離定義是解題關(guān)鍵．

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