第18章 勾股定理義務(wù)教育滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊小結(jié)與復(fù)習(xí)內(nèi)容整理勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理主要知識回顧一、勾股定理1. 如果直角三角形兩直角邊分別為 a，b，斜邊為 c， 那么a2 ＋ b2 ＝ c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運用2. 勾股定理的應(yīng)用條件3. 勾股定理表達式的常見變形： a2 ＝ c2 － b2，b2 ＝ c2 － a2， ???二、勾股定理的逆定理1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a，b，c 滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2. 勾股數(shù)復(fù)習(xí)題 A組???????4. 如圖，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0，2)，B(4，0)， C(6，4)，求△ABC 的周長與面積.???5. 立在地上的旗桿，有一根繩子從桿頂垂下，繩碰到地 面后還余 3 m，把繩的著地端沿地面移動到離桿 9m 遠的一點，恰好把繩子拉直，問這根旗桿有多高?設(shè)旗桿高 x m，則繩子長為(x ＋ 3) m，∵旗桿垂直于地面，∴旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，由題意列式為 x2＋92 ＝ (x ＋ 3)2解得 x ＝ 12.∴ 旗桿的高為12m.6. 一艘輪船以 16 n mile/h 的速度離開港口向東南方向航 行，另一艘輪船在同時同地以12 n mile/h的速度向西 南方向航行. 它們離開港口 1.5h 后相距多遠?如圖，由已知得，OB＝16×1.5＝24 (海里)，OA ＝12 × 1.5＝18 (海里)，在△OAB中，?7. 關(guān)于勾股定理，數(shù)學(xué)史上還有一段佳話：美國第 20 屆總統(tǒng)加菲爾德于 1876 年公開發(fā)表了一個簡明證法. 他利用兩個全等直角三角形構(gòu)造了一個如圖所示的圖 形來得出證明.你能寫出這個證明嗎????略復(fù)習(xí)題 B組1.(1)已知：△ABC的三個角度數(shù)的比 ∠A∶∠B∶∠C ＝ 1∶2∶3，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b. 求證∶b2 ＝ 3a2.設(shè)∠A、∠B、∠C分別為x、2x、3x ，由三角形內(nèi)角和定理得，x＋2x＋3x ＝ 180°，解得，x ＝ 30°，∴ ∠A＝30°， ∠B＝60°，∠C＝90°.∴ c ＝ 2a，由勾股定理得，a2 ＋ b2 ＝ c2，∴ a2 ＋ b2 ＝ 4a2∴ b2 ＝ 3a2(2) 已知：△ABC的三個角度數(shù)的比 ∠A∶∠B∶∠C ＝ 1∶1∶2，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b. 求證∶c2 ＝ 2a2. 設(shè)∠A、 ∠B、 ∠C分別為x、x、2x，由三角形內(nèi)角和定理得， x＋x＋2x ＝ 180°，解得，x ＝ 45°，∵∠A＝45°， ∠B＝45°， ∠C＝90°，∴ a ＝ b，由勾股定理得，a2＋b2＝c2?！?c2 ＝ 2a2.2. 如圖，將AB ＝10 cm，AD ＝8 cm 的長方形紙片ABCD， 沿過頂點 A 的直線 AP 為折痕折疊 時，頂點 B 與邊 CD 上的點 Q 重 合，試分別求出 DQ，PQ 的長.?∵ DQ＝6，∴ CQ＝DC－DQ＝4，設(shè)PQ＝x，則PB＝PQ＝x，∴ CP＝BC－BP＝8－x，∴ x2＝42＋ (8－x)2解得：x＝5.∴線段PQ的長度是5.3. 利用勾股定理討論以下問題：(S1，S2，分別表示直角 三角形中直角邊上的圖形的面積，S3表示斜邊上的圖 形的面積) (1) 以直角三角形的三邊為邊分別向形外作等邊三角 形，則 S1＋S2與 S3是什么關(guān)系??在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90°.∴ AC2 ＋ BC2 ＝ AB2，∴ S1 ＋ S2 ＝ S3.(2) 以直角三角形的三邊為直徑分別向形外作半圓，則 S1 ＋S2與 S3是什么關(guān)系???(3) 做過上面的兩小題后，你有什么發(fā)現(xiàn)? 由(1)、(2)可知，以直角三角形的兩直角邊所作的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊所作等邊三角形的面積； 以直角三角形的兩直角邊為直徑所作的半圓的面積和等于以斜邊為直徑所作半圓的面積.4. △ABC中，∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝b. 證明：當(dāng) a，b，c 為勾股數(shù)時ka，kb，kc(k 為正整數(shù)) 也是勾股數(shù).∵△ABC中，∠CAB ＝ 90°， AB ＝ c，BO ＝ a，AC ＝ b.∴ a2 ＋ b2 ＝ c2， ∴ (ka)2 ＋(kb)2 ＝ k2a2 ＋ k2b2 ＝ k(a2＋b2) ＝ k2c2 ＝(kc)2.∴ ka，kb，kc也是勾股數(shù).5. 如果 m，n 是任意給定的正整數(shù)(m＞n)，證明：m2＋n2， 2mn，m2－n2 是勾股數(shù)(又稱畢達哥拉斯數(shù)).∵ (m2－n2) ＋(2mn)2＝ m4 －2m2n2＋n4 ＋ 4m2n2＝ m4＋n4＋2m2n2＝ (m2＋n2)2∴ m2＋n2，2mn，m2－n2是勾股數(shù)6. 如圖，點 P是等邊三角形 ABC 內(nèi)的一 點，且 PA ＝ 6， PB ＝8，PC＝10. 若將△PAC 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到 △P′AB，求 PP′的長和∠APB的度數(shù).∵△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，∴∠PAP′ ＝ 60°，P′A＝ PA＝6，∴△APP′是等邊三角形∴PP′＝ PA＝6.∵△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，∴P′B＝PC ＝10，∵△APP′是等邊三角形，∴∠APP′＝ 60°，∵PB2 ＋PP′2 ＝ 82＋62 ＝100， P′B2＝102＝100，∴ PB2 ＋ PP′ 2 ＝ P′B2，∴△P′PB是直角三角形， ∠BPP′＝ 90°.∴ ∠APB ＝ ∠APP′ ＋ ∠BPP′ ＝ 60°＋ 90° ＝150°7. 在行距、列距都是1的 n × n 方格網(wǎng)中，連接任意兩 個格點，若把得到的長度相同的線段看作一類，則 (1) 當(dāng)n ＝1，2，3，4 時，在下表中分別寫出不同長度線段的種類和種類數(shù).1×12×23×34×4???22＋3??2＋3＋42＋3＋4＋5(2) 根據(jù)表格內(nèi)容，猜想 S與n 的關(guān)系；?(3)當(dāng) n ＝ 5 時，驗證你猜想的結(jié)論是否成立.5×5?復(fù)習(xí)題 C組1. 在下列表格中，已知△ABC 的三邊長分別為a，b，c.(1) 計算并填寫下表：3664100100a2＋b2＝c23681144117a2＋b2＜c225364961a2＋b2＞c225144169169a2＋b2＝c2166410080a2＋b2＜c225368161a2＋b2＜c2 (2) 用尺規(guī)作出上面各個三角形，觀察圖形，看看三角形中最長邊所對的角是銳角、直角還是鈍角，對照上表最后一列關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?7鈍角10直角12鈍角7銳角13直角10鈍角9鈍角 發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：最大邊的平方大于另兩邊的平方和時，最大邊所對的角是鈍角；最大邊的平方等于另兩邊的平方和時，最大邊所對的角是直角；最大邊的平方小于另兩邊的平方和時，最大邊所對的角是銳角.2.如圖.圖中曲線是地形圖中等高線(同一條曲線上點的海 拔是一樣的)，如果線段 AB 在圖中被量得的長是2.5 cm， 那么兩個地點 A，B間的水平距離和實際直線距離各約 多少米?(圖中表示等高線數(shù) 據(jù)的單位為 m)?∴ x ＝12500，∵ 在直角三角形AOB中，AO ＝ 800， AB ＝ 12500.∴ OB2 ＝ AB2 － AO2. OB ≈ 12474(m) 答：兩個地點A，B間的水平距離和實際直線距離分別為12474m和12500m 3. 如圖，有兩艘船在海上航行，測得兩船的位置分別為P(30，50)，Q(105，150). 求兩船之間的距離.?4. 在平面直角坐標(biāo)系中，下列兩點關(guān)于直線 y ＝x 有怎 樣的位置關(guān)系?你能說明道理嗎? (1) A(5，2)，A′ (2，5)； (2) A(2，－4)，A′(－4，2)； (3) A(a，b)，A′(b，a).關(guān)于直線 y ＝x 對稱. 5. 在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點 A(2，－3)，O為原點，在軸上找 一點 B，使以 O，A，B為頂點的三角形為等腰三角形， 寫出點 B的坐標(biāo).???本課結(jié)束

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