19 . 3 矩形、菱形、正方形
19 . 3 . 1 矩 形
電腦、電視機(jī)的顯示屏是什么形狀?本書(shū)的封面是什么形狀?
思考 長(zhǎng)方形跟我們前面學(xué)習(xí)的平行四邊形有什么關(guān)系？
觀察下面圖形,長(zhǎng)方形在生活中無(wú)處不在.
活動(dòng)1：利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示，使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化，請(qǐng)同學(xué)們注意觀察.
定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.
平行四邊形不一定是矩形.
思考 因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？
可以從邊，角，對(duì)角線(xiàn)等方面來(lái)考慮.
畫(huà)一個(gè)矩形，度量一下它的四條邊長(zhǎng)、兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)以及四個(gè)角的度數(shù)，你能從中得出矩形特有的性質(zhì)嗎?
矩形的四個(gè)角都是直角.
求證：∠A ＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°.
證明 由定義，矩形必有一個(gè)角是直角，設(shè) ∠A ＝90°.
∵ AB∥DC、AD∥BC，
∴ ∠B ＝ ∠C ＝ ∠D ＝ 90° (兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))
即矩形ABCD的四個(gè)角都是直角.
由此，可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：
直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.
例1 如圖 19－31，已知：矩形 ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∠AOB ＝120°，AD ＝4cm. 求矩形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).
解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以
∴ AC ＝ BD.
∵ ∠AOB ＝ 120°.
BD ＝ 2AD ＝ 2 × 4 ＝ 8 (cm).
1. 證明矩形的性質(zhì) 2.
解：已知：如圖，AC和BD是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn). 求證：AC ＝ BD.
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ AD ＝ BC， ∠DAB ＝ ∠CBA ＝90° 又∵ AB＝BA， ∴ △ABD≌△BAC. ∴ BD＝AC.
2. 已知矩形的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)8 cm，兩條對(duì)角線(xiàn)的夾角為 60°，矩形相鄰兩邊的長(zhǎng)各為多少?
矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)的夾角為：∠1＝60°，∵ 四邊形ABCD是矩形.∴ OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD.∴ OA ＝ OB.∴ △AOB為等邊三角形，
3. 已知直角三角形一條直角邊長(zhǎng)為3 cm，斜邊上的中線(xiàn) 長(zhǎng)2.5 cm，求另一條直角邊長(zhǎng).
如圖19－32，工人師傅在做門(mén)窗框架、桌面等包含矩形的物體時(shí)，不僅要測(cè)量矩形兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度是否分別相等，還要測(cè)量它們的兩條對(duì)角線(xiàn)是否相等.你能說(shuō)出其中的道理嗎?
證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形所以
又∵ DC ＝ CD，AC ＝ BD，
∴ △ADC ≌ △BCD .
∴ ∠ADC ＝ ∠ BCD .
又∵ ∠ADC ＋∠BCD＝180° ，
∴ ∠ADC ＝ ∠BCD ＝ 90° .
由此，我們得到矩形的判定方法：
定理1 對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.
例3 已知：如圖19－34，在△ABC 中，AB ＝AC點(diǎn)D是AC 的中點(diǎn),直線(xiàn) AE ∥ BC，過(guò)點(diǎn) D作直線(xiàn) EF ∥ AB，分別交 AE，BC 于點(diǎn) E，F(xiàn). 求證：四邊形AECF 是矩形.
證明：∵ AE∥BC ∴ ∠1 ＝ ∠2. 在△ADE和△CDF 中， ∴ ∠1 ＝∠2， ∠ADE＝∠ CDF、 AD ＝ CD， ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴ AE ＝ CF.
所以四邊形 AECF 是平行四邊形.又因?yàn)樗倪呅?ABFE 是平行四邊形，所以 EF ＝ AB. ∵ AC ＝ AB， ∴ EF ＝ AC.所以四邊形AECF 是矩形.
例4 已知：如圖19 － 35，在四邊形ABCD中，∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 90°. 求證：四邊形ABCD是矩形.
證明 ∵ ∠A＝ ∠B＝∠C＝90°，
∴ ∠B＋∠C ＝180°， ∠A＋∠B＝180°.
∴ AB∥CD、AD∥BC.
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.
所以四邊形 ABCD 是矩形.
定理2 三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.
1. 如圖，在矩形ABCD中，AB ＝3，BC ＝2，點(diǎn)E為BC 中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB 上且BF ＝2AF. 求四邊形AFEC 的面積.
∵ 四邊形ABCD是矩形.∴ ∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝2，∵ BC＝2，E為BC的中點(diǎn).∴ BE＝1，∵ AB＝3，BF＝2AF，∴ BF＝2，
證明：∵ 四邊形BCDA是平行四邊形，∴ BA＝CD.∵ M是BC的中點(diǎn)，∴ BM＝CM.∵∠MAD＝∠MDA，
∴ DM＝AM.∵ DM＝AM，BM＝CM、BA＝CD，∴ △BAM ≌ △CDM∴ ∠MBA ＝ ∠DCM.∵ 四邊形BCDA是平行四邊形，∴ BA ∥ CD，∴ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°.
∵ ∠MBA ＋ ∠DCM ＝ 180°， ∠MBA ＝ ∠DCM，∴ ∠MBA ＝ ∠DCM ＝ 90°.∵ ∠MBA ＝ 90°， 四邊形BCDA是平行四邊形∴ 平行四邊形BCDA是矩形
19 . 3 . 2 菱 形
本章圖19－9中的鐵柵欄門(mén)能活動(dòng)是由于它拉開(kāi)時(shí)出現(xiàn)的是四邊形，這種四邊形有什么特點(diǎn)?
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí)，就變成矩形.
思考 如果從邊的角度，將平行四邊形特殊化，內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度讓它有一組鄰邊相等，這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.
平行四邊形不一定是菱形.
菱形在生活中隨處可見(jiàn).圖 19 －36 中的升降機(jī)采用菱形部件，就是利用菱形既具有可變性，又具有相對(duì)穩(wěn)定性的性質(zhì).
菱形除了具有一般平行四邊形的性質(zhì)外，它的邊、角、對(duì)角線(xiàn)還具有哪些特殊的性質(zhì)呢?
由于菱形是平行四邊形，所以它的對(duì)邊相等，又因?yàn)榱庑蔚泥忂呉蚕嗟?，所以菱形的四條邊都相等. 于是，我們得到：
性質(zhì)1 四邊都相等的四邊形是菱形.
如圖19－37，連接菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)AC和BD設(shè)它們相交于點(diǎn) O.
∵ AB ＝AD、BO＝OD，
∴ AC ⊥ BD.(為什么?)
性質(zhì)2 菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直.
由性質(zhì) 2可知，菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸.
例5 已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為 a，b，求菱形的 面積.
解 設(shè)菱形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O(圖19－38). AC＝a，BD＝b.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD 是菱形,所以AC⊥BD. (菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直)
1. 如圖19－39，以點(diǎn)A為端點(diǎn)任意畫(huà)兩條相等的線(xiàn)段AB和AD，再分別以點(diǎn) B，D為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn) C，連接 BC，DC，四邊形ABCD是菱形嗎?為什么?
2. 如圖 19－40，畫(huà)兩條互相垂直的直線(xiàn)l1和l2，兩直線(xiàn)相交于點(diǎn) O，在l1上取兩點(diǎn)A，C，使OA ＝OC，在 l2 上取兩點(diǎn) B，D，使OB ＝OD，順次連接點(diǎn)A，B，C，D，四邊形ABCD 是菱形嗎?為什么?
由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，判定四邊形為菱形的方法：
定理1 四邊都相等的四邊形是菱形.
定理2 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.
證明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形. 又∵ AB = BC， ∴ 四邊形 ABCD 是菱形.
已知：如圖，四邊形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝AD.求證：四邊形 ABCD 是菱形.
證明 如圖19－40 ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形 ∴ AO＝CO. 又∵ DO⊥AC， ∴ DA＝DC. ∴ 四邊形ABCD 是菱形.
解 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，所以
又∵ AB ＝ 5，滿(mǎn)足AB2 ＝OA2＋OB2，
∴ △AOB 為直角三角形， 即 OA ⊥ OB.
1. 在菱形 ABCD中，AB ＝ 4 cm，∠ABC＝60°，求菱 形的面積.
如圖，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O.
2. 菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為13 cm，它的一條對(duì)角線(xiàn) BD ＝ 10 cm，求對(duì)角線(xiàn) AC的長(zhǎng).
3. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形嗎? 說(shuō)明理由.
對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形;理由如下：∵ 對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形， 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.∴ 對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的四邊形是菱形.
4. 畫(huà)一個(gè)菱形，使它的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6cm 和8 cm.
作法：1.畫(huà)線(xiàn)段AC＝6cm， 2. 取AC的中點(diǎn)O， 3.過(guò)點(diǎn)O畫(huà)線(xiàn)段BD，使OB＝OD＝4cm， 4. 連結(jié)AB、BC、CD、DA. 則四邊形ABCD就是所要畫(huà)的菱形。
19 . 3 . 3 正 方 形
正方形是我們所熟悉的圖形，如圖19 －42 是魔方的一個(gè)面.你認(rèn)為正方形是本節(jié)所學(xué)的哪種圖形的特例，為什么?
問(wèn)題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢? 你有什么發(fā)現(xiàn)？
矩 形
問(wèn)題 2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢？你有什么 發(fā)現(xiàn)？
有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：
正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四邊形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì).
性質(zhì)1 正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角.
性質(zhì)2 正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分.
以上性質(zhì),請(qǐng)同學(xué)自己證明.
怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢?
例7 如圖 19－43，點(diǎn)A′，B′ ，C′ ，D′分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA′ ＝ BB′ ＝ CC′ ＝ DD′. 求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.
證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD 是正方形所以
AB＝BC＝CD＝DA.
又∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴ D′A＝A′B＝B′C＝C′D.
∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∴ △AA′D′ ≌ △BB′A′ ≌ △CC′B′ ≌ △DD′C′.
又∵ ∠1＝∠3， ∠1＋∠2 ＝ 90°
∴ ∠2 ＋ ∠3 ＝ 90°
∴ ∠D′A′B′ ＝ 90°
所以四邊形 A′B′C′D′是正方形.
∴ A′B′＝B′C′＝CD′＝D′A'.
∴ 四邊形A′B′C′D′是菱形.
1. 判斷滿(mǎn)足下列條件的四邊形是否是正方形，并說(shuō)明 理由：
(1) 對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的平行四邊形；
是 若平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形； 若這個(gè)菱形的對(duì)角線(xiàn)相等，則這個(gè)菱形是正方形.
(2) 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形；
對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形 若矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則這個(gè)矩形是正方形。
(3) 對(duì)角線(xiàn)相等的菱形；
對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形，若這個(gè)菱形的對(duì)角線(xiàn)相等，則這個(gè)菱形是正方形。
(4) 對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形.
對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形是正方形， 若一個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形； 若這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等，則這個(gè)平行四邊形是矩形； 若這個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，則這個(gè)矩形是正方形。
2. 如圖是2002年8 月在北京召開(kāi)的第24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大 會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形 ABCD 和EFGH 都是正方形. 求證： △ABF≌△DAE.
證明：∵ 四邊形ABCD是正方形， ∴ AB ＝ DA，∠BAF ＋∠DAE ＝90°， ∵ ∠ADE＋∠DAE ＝90°，
∵ ∠BAF ＝∠ADE，在△ABF與△DAE中 ∠BAF ＝∠ADE ∠AFB＝∠AED AB ＝AD∴ △ABF≌△DAE.
圖 19－44 是由5個(gè)全等的小正方形組成的十字形的十二邊形紙片. 如何用幾條直線(xiàn)形切痕，把這個(gè)十字形紙片切割成幾塊，使這幾塊能重新組拼成一個(gè)正方形?
(1) 你是怎樣切割的?在圖上畫(huà)出切痕.
(2) 最少需幾條切痕?畫(huà)出這種切法.
如圖 19－45 (1)，一個(gè)矩形是由6個(gè)正方形組成的，如果知道中間最小正方形的面積是 1. 你能求出矩形的面積嗎?
容易看出，圖 19 － 45(1)中的正方形有兩個(gè)是一樣大的.如果一個(gè)矩形的內(nèi)部能用一些大小各不相同的正方形鋪滿(mǎn)(既不重疊也無(wú)縫隙)，就稱(chēng)它為完美矩形.
1936 年，英國(guó)劍橋大學(xué)的4 名學(xué)生把一個(gè)矩形分成大小各不相同的9個(gè)正方形(可以證明完美矩形最少由9個(gè)大小各不相同的正方形鋪成)，如圖 19－45(2)，圖中數(shù)字表示相應(yīng)正方形的邊長(zhǎng).
那么如何尋求矩形的正方形分割呢? 辦法是先作一個(gè)矩形的正方形分割的草圖，然后用盡可能少的未知數(shù)標(biāo)出每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再寫(xiě)出這些邊長(zhǎng)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式，最后通過(guò)解方程組而得到.
如圖 19－46 先標(biāo)出相鄰三個(gè)正方形邊長(zhǎng) x，y，z，然后，不難按下列順序標(biāo)出其余正方形的邊長(zhǎng) x＋y，2x＋y，y－z，y－2z，y－3z，2y－5z，由矩形對(duì)邊相等條件，可得出
(2y－5z) ＋(y－2z) ＋(y－z)＝(2x＋y)＋(x＋y)，(2x＋y)＋(2y－5z)＝(x＋y)＋y＋(y－z)，
3x － 2y ＋ 8z ＝ 0，
x － 4z ＝ 0.
令z ＝ 1，得x ＝ 4，y ＝ 10.代入圖中即可，這就是圖19 － 45(2).
如果一個(gè)大正方形能由邊長(zhǎng)為互不相等的整數(shù)的小正方形鋪滿(mǎn)，我們就稱(chēng)這個(gè)大正方形是完美正方形.
如圖 19－45(3)是1978 年被荷蘭數(shù)學(xué)家用大型計(jì)算機(jī)算出的一個(gè)完美正方形，這個(gè)完美正方形含有小正方形的個(gè)數(shù)為21，說(shuō)成是 21 階(圖中最小的正方形邊長(zhǎng)沒(méi)有填寫(xiě)，你知道它的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少).其后，荷蘭、蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家證明小于等于 20 階的完美正方形不存在.
四邊形中，我們研究了其中一類(lèi)特殊四邊形—兩組對(duì)邊分別平行的四邊形. 但還有另一類(lèi)四邊形，許多建筑都有涉及，圖 19－47 是座古代瑪雅神廟，其中就含有這類(lèi)四邊形.即只有一組對(duì)邊平行，而另一組對(duì)邊不平行的四邊形，像這樣的四邊形叫做梯形.
我們身邊，有很多物體的形狀(如圖 19－48中堤壩和水渠的橫截面)都是梯形.
如圖19－49，在梯形ABCD中，DC ∥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為兩腰AD，BC的中點(diǎn)，連接 EF(EF 就是梯形中位線(xiàn)).則有：
(1) EF ∥ DC ∥ AB；
在梯形ABCD中，當(dāng)不平行的兩腰 AD ＝BC 時(shí)，這樣的梯形就稱(chēng)為等腰梯形.
等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形. 經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸. 那么，等腰梯形還有哪些性質(zhì)呢? 你能得出嗎?
如圖，在矩形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于O，∠AOD ＝120°∵ ∠AOD ＝120°∴ ∠AOB ＝60°
1. 已知矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)所成的鈍角是 120°， 求證: 矩形較短邊長(zhǎng)等于對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半.
2. 已知：如圖，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于點(diǎn) E. (1) 若 ∠DAE ＝ 2∠BAE，求∠EAC；
∵ 四邊形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90° (矩形的四個(gè)角都是直角) ∵ ∠DAE＝2∠BAE.∴ ∠BAE＝30°，∠DAE＝60°.
∴ ∠ADE＝30°.∵ 四邊形ABCD是矩形.∴ OA＝OD.∴ ∠OAD＝∠ADE＝30°∴ ∠EAC＝60°－30°＝30°.
(2) 若 BE∶ED ＝ 1∶3，AB ＝ 1，求AD.
3. (1) 求證：平行四邊形四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)圍成的四邊 形是矩形；
已知：四邊形ABCD是平行四邊形，AE、BF、CG、 DH分別為四邊形內(nèi)角的平分線(xiàn)，AE與BF和DH 分別交于點(diǎn)E、H，CG與BF、 DH分別交于點(diǎn)F、G，求證：四邊形EFGH是矩形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴ ∠DAB＋∠ADC＝180°∵ AH、DH平分∠DAB、∠ADC.∴ ∠HAD＋∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可證得： ∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°故四邊形EFGH是矩形
(2)求證：矩形四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)圍成的四邊形是正方形.
如圖，在矩形ABCD中，AE、BE、CF、DF分別是矩形的四個(gè)角的角平分線(xiàn)，E、M、F、N是其交點(diǎn)，求證：四邊形EMFN是正方形.
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形， ∴ 四個(gè)內(nèi)角均為90°，
∵ AE，BE，CF，DF分別是四個(gè)內(nèi)角的平線(xiàn).∴ ∠NBC＝∠NCB＝45°∴△NBC為等腰直角三角形，∴ ∠N＝90°，同理：∠M＝∠NEM＝∠NFM＝90°，∴四邊形MFNE為矩形，
∵AD ＝ BC，∠M ＝ ∠N ＝ 90°， ∠DAM ＝ ∠NBC ＝ 45°，∴△DAM≌△CBN (AAS)∴AM＝BN，∵AE ＝ BE，∴AM－AE＝BN－BF，即FM＝EM.∴四邊形MFNE是正方形.
∴AE ＝ DF，AE ∥ DF，∴四邊形ADFD是平行四邊形，∵AF ＝ DE，∴平行四邊形AEFD是矩形，∴∠BAD ＝ 90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ 平行四邊形ABCD是矩形.
5. 以3 cm 和4 cm 為兩條鄰邊畫(huà)一個(gè)矩形，并求它的對(duì) 角線(xiàn)長(zhǎng).
如圖所示，矩形ABCD即為所求，連接AC，∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ ∠ABC ＝ 90°∵ 在Rt△ABC中，AB ＝ 3cm，BC ＝ 4cm.
如圖所示，連接BD，∵ BE⊥CD，CE＝DE.∴ BC＝BD，∵ 四邊形ABCD是菱形.∴ CD＝BC，∠A＝∠C. ∠ABC＝∠ADC，
6. 從菱形的鐘角頂點(diǎn)向?qū)呉咕€(xiàn)，如果垂線(xiàn)平分對(duì)邊， 求菱形的鈍角度數(shù).
∴ BC＝BD＝CD，∴ △BCD是等邊三角形.∴∠C＝60°.∴∠A＝∠C＝60°， ∠ABC＝∠ADC＝180°－∠C＝120°即菱形的鈍角度數(shù)為120°.
7. 在菱形 ABCD中AC ＝6cm，BD ＝8cm，求平行線(xiàn)AB 與 CD 之間的距離.
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，在菱形ABCD中，∵AC ＝ 6，BD ＝ 8，∴OA ＝ 3，OD ＝ 4，∴由勾股定理可知：AD ＝ 5，
8. 求證： 依次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.
如圖：E，F(xiàn)，G，H為矩形的中點(diǎn)，則AH＝HD＝BF＝CF，AE ＝ BE ＝CG ＝DG，在Rt△AEH與Rt△DGH中， AH＝DH ∠A＝∠D AE ＝DG
∴△AEH≌△DGH(SAS)∴EH ＝HG同理，△AEH≌△DGH≌BEF≌△CGF≌△DGH，∴EH＝HE＝GF ＝EF， ∠EHG ＝∠EFG，∴四邊形EFGH為菱形.
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形. ∴ AD∥BC ∴ ∠ACB ＝ ∠DAC. ∵ ∠BAC ＝∠DAC. ∴ ∠BAC ＝ ∠ACB.
∴ AB ＝ BC∴ □ABCD是菱形
10. 以3cm 為邊畫(huà)菱形，使菱形的一個(gè)內(nèi)角為 60°.
作法：作等邊三角形ABC使邊長(zhǎng)為3 cm，分別以A、C為圓心以3cm為半徑畫(huà)弧在AC的另一側(cè)相交于點(diǎn)D，連接AD、CD則四邊形ABCD就是所求作的萎形。
11. 已知：如圖，兩條等寬的長(zhǎng)紙條傾斜地重疊著， 求證：重疊部分為菱形.
證明：根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.如圖，分別作CD，BC邊上的高為AE，AF，
∵ 兩紙條寬度相同，∴ AE＝AF?！?平行四邊形ABCD的面積為 AE×CD＝BC×AF.∴ CD＝BC.∴ 平行四邊形ABCD為菱形.
12. 已知：如圖，點(diǎn)D是Rt△ABC 的斜邊 BC的中點(diǎn)， DE ⊥AC，DF ⊥AB垂足分別是點(diǎn) E，F(xiàn)，且 BF ＝CE. 求證：四邊形 AEDF 為正方形.
∵ △ABC是直角三角形∴ ∠A＝90°∵ DE⊥AC，DF⊥AB.∴ ∠AFD＝90°，∠AED ＝90°∴ 四邊形ADDF是矩形又∵ 點(diǎn)D是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)∴ BD＝CD
在Rt△BDF與Rt△CDE中：∵ BD＝CD BF＝CE∴ Rt△BDF≌ Rt△CDE (HL)∴ DF=DE∴ 矩形ADDF是正方形.

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初中數(shù)學(xué)滬科版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

19.3 矩形 菱形 正方形

版本： 滬科版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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