小結(jié)與復(fù)習(xí)第18章 勾股定理1. 如果直角三角形兩直角邊分別為 a，b，斜邊為 c， 那么a2 + b2 = c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運用2. 勾股定理的應(yīng)用條件一、勾股定理3. 勾股定理表達式的常見變形： a2 = c2 - b2，b2 = c2 - a2， 二、勾股定理的逆定理1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a，b，c 滿足a2 + b2 = c2，那么這個三角形是直角三角形.滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2. 勾股數(shù)1. Rt△ABC 中，斜邊 BC = 2，則 AB2 + AC2 + BC2 的值為 　 （　 ）A. 8 B. 4 C. 6 D. 無法計算A3. 一直角三角形的三邊長分別為 2、3、x，那么以 x 為邊長的正方形的面積為________.2. 如圖，∠C =∠ABD = 90°，AC = 4，BC = 3，BD = 12，則 AD 的長為____．13 或 5 13 4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面積.解：∵ a + b = 14， ∴ (a + b)2 = 196. 又∵ a2 + b2 = c2 = 100， ∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96． ∴ △ABC 的面積為 ab = 24．例2 我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面 1 尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？解：如圖，設(shè)水池的水深 AC 為 x 尺， 則這根蘆葦長 AD = AB = (x + 1) 尺．在 Rt△ABC 中，BC = 5 尺，由勾股定理得 BC2 + AC2 = AB2,即 52 + x2 = (x + 1)2，25 + x2 = x2 + 2x + 1，2x = 24，∴ x = 12，x + 1 = 13.答：水池的水深 12 尺，這根蘆葦長 13 尺.DBCA例3 如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點 A 出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點 C1 處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？解析：螞蟻由 A 點沿長方體的表面爬行到 C1 點，有三種方式：①沿 ABB1A1 和 A1 B1C1D1 面；②沿 ABB1A1 和 BCC1B1 面；③沿 AA1D1D 和 A1B1C1D1 面，把三種方式分別展開成平面圖形如下：解：? 在 Rt△ABC1 中，? 在 Rt△ACC1 中，? 在 Rt△AB1C1 中，∴沿路徑?走路線最短，最短路線長為5.化折為直：長方體中求表面上兩點之間的最短路徑，展開方法有多種，一般沿最長棱展開，路徑最短.5. 現(xiàn)有一長 5 米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是 3 米，則梯子可以到達建筑物的高度是____米．4在 Rt△AOB 中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，∴ AB2＝22－1.42＝2.04，解得 AB ≈ 1.43.∴ AC＝AB + BC ≈ 1.43 + 2.6＝4.03＞4．答：卡車可以通過，但要小心．解：過半圓的圓心 O，作直徑的垂線交地面于點 D，在地面取點 C，使 CD＝1.4 米，過 C 作 OD 的平行線交半圓直徑于點 B ，交半圓于點 A，連接 OA.6. 如圖，某住宅小區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高 4 米，寬 2.8 米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？ 7. 在 O 處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東 60° 方向相距 1000 米的 A 處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的 B 處.（1）此時快艇航行了多少米(即 AB 的長)？解：根據(jù)題意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米，∴ AC = 500 米，BC = OC. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得∴ BC = OC =AB60°45°C（2）此時快艇距離哨所多少米 (即 OB 的長) ？解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得AB60°45°C例4 在 △ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b， ，2c - b = 12，求 △ABC 的面積．解：由題意可設(shè) a = 3k，則 b = 4k，c = 5k．∵ 2c - b = 12，∴ 10k - 4k = 12．∴k = 2．∴ a = 6，b = 8，c = 10．∵ 62 + 82 = 102，∴ a2 + b2 = c2．∴ △ABC 為直角三角形．∴ △ABC 的面積為 ×6×8 = 24．例5 B 港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東 60° 方向以每小時 8 n mile 的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時 15 n mile 的速度前進，2 h 后，甲船到 M 島，乙船到 P 島，兩島相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？解：甲船航行的路程為 BM = 16 n mile， 乙船航行的路程為 BP = 30 n mile． ∵ 162 + 302 = 1156，342 =1156， ∴ BM2 + BP2 = MP2． ∴ △MBP為直角三角形，且∠MBP = 90°． ∴ 乙船是沿著南偏東 30° 方向航行的．8. 下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為 （ ）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99. 已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________． (2)(4) C10. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 與∠BCD 的關(guān)系，并加以證明．解：猜想∠BAD + ∠BCD = 180°．證明如下：連接AC. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 ∴ AD2 + DC2 = 625 = 252 = AC2．∴△ADC是直角三角形，且∠D = 90°．∵∠DAB +∠B +∠BCD +∠D = 360°，∴∠BAD +∠BCD = 180°．例6 如圖，在長方形 ABCD 中，AB = 3 cm，AD = 9 cm，將此長方形折疊，使點 D 與點 B 重合，折痕為 EF，求 △ABE 的面積.解：由折疊可知 ED = BE.設(shè) AE = x cm，則 ED = BE = (9 - x) cm．在 Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2，∴ 32 + x2 = (9 - x)2，解得 x = 4.∴△ABE 的面積為 ×3×4 = 6 (cm2). 勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，往往要通過勾股定理列方程去求解．11. 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，將 △ABC 折疊，使點 B 與點 A 重合，折痕是 DE，則 CD 的長為 ． 1.75 cm考點四 本章解題思想方法方程思想 例7 如圖，在 △ABC 中，AB = 17，BC = 9，AC = 10，AD⊥BC 于 D. 試求 △ABC 的面積．解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，AB2 - BD2 = AD2，AC2 - CD2 = AD2．設(shè) DC = x，則 BD = 9 + x．故 172 - (9+x)2 = 102 - x2，解得 x = 6.∴AD2 = AC2 ? CD2 = 64．∴ AD = 8.∴S△ABC = ×9×8 = 36．解：當(dāng)高 AD 在 △ABC 內(nèi)部時，如圖①.在 Rt△ABD 中，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴ BD＝16.在 Rt△ACD 中，由勾股定理得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴ CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25．∴ △ABC 的周長為 25＋20＋15＝60．例8 在 △ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 為 BC 邊上的高，且 AD＝12，求 △ABC 的周長．分類討論思想 題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如本題中，易忽視高 AD 在△ABC 外的情形．當(dāng)高 AD 在 △ABC 外部時，如圖②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴ BC＝BD－CD＝7，∴△ABC 的周長為 7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC 的周長為 60 或 42. 例9 有一圓柱體高為 8 cm，底面圓的半徑為 2 cm，如圖. 在 AA1 上的點 Q 處有一只蜘蛛，QA1 = 3 cm，在 BB1 上的點 P 處有粘住了一只蒼蠅，PB = 2 cm. 求蜘蛛爬到蒼蠅處的最短路徑長 (π 取 3).解：如圖，沿AA1剪開，過Q作QM⊥BB1于M，連接QP.則 PM = 8 - 3 - 2 = 3 (cm)，QM = A1B1 = ×2×π×2= 6 (cm)．在 Rt△QMP 中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路徑長是 cm．轉(zhuǎn)化思想

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