考查題型一 比例的性質(zhì)
1．（2023上·甘肅酒泉·九年級統(tǒng)考期中）如果，那么等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，然后再代入計算即可；掌握比和除法的關系以及分式的約分是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，即．
故選C．
2．（2023上·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？计谥校┮阎?，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，熟練的利用比例的基本性質(zhì)逐一分析即可判斷．
【詳解】解：∵，
則，故C符合題意；
故設，則，
∴，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故D不符合題意；
故選C
3．（2021上·河北石家莊·九年級石家莊市第九中學?？计谥校┤绻敲吹闹禐椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)得到，然后代入計算是解題的關鍵.
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，
故選.
4．（2023上·廣西·九年級?？计谥校┤?，下列比例式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)分別對每一項進行判斷即可得出答案，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：A、變成等積式是：，故不符合題意；
B、變成等積式是：，故符合題意；
C、變成等積式是：，故不符合題意；
D、變成等積式是：，故不符合題意．
故選：B．
考查題型二 成比例線段
1．（2016上·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）線段a、b、c、d是成比例線段，，，，則d的長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】此題考查了成比例線段的定義．由、、、四條線段是成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義，可得，又由，，，即可求得的值．
【詳解】解：∵、、、是成比例線段，，，，
∴，
即，
∴．
故選：A．
2．（2023上·四川巴中·九年級統(tǒng)考期中）下列線段能成比例線段的是（ ）
A．1，2，3，4B．1，，，4
C．，，，1D．2，5，3，4
【答案】B
【分析】本題考查了比例線段，在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．選項一一分析，排除錯誤答案．
【詳解】A、，故本選項錯誤；
B、，故本選項正確；
C、，故本選項錯誤；
D、，故本選項錯誤．
故選：B．
3．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）下列各組線段中，成比例線段的是（ ）
A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，
【答案】A
【分析】本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的定義是解答本題的關鍵．
根據(jù)比例線段的定義：對四條線段，，，，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，則這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．選項中只有是比例線段，由此選出答案．
【詳解】解：選項中，，所以，，，成比例線段，故此選項符合題意；
選項中，，所以，，，不成比例線段，故此選項不符合題意；
選項中，，所以，，，不成比例線段，故此選項不符合題意；
選項中，，所以，，，不成比例線段，故此選項不符合題意；
故選：．
4．（2023上·陜西西安·九年級西安市東方中學校聯(lián)考期中）已知線段，，，是成比例線段，其中，，，則的值是（ ）
A．6B．4C．8D．10
【答案】B
【分析】本題主要考查了成比例線段．根據(jù)題意可得，再把，，代入，即可．
【詳解】解：∵線段，，，是成比例線段，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故選：B
考查題型三 相似圖形
1．（2023上·廣東佛山·九年級校考期中）下列各組圖形相似的是（ ）
A．任意兩個直角三角形B．任意兩個菱形
C．任意兩個矩形D．任意兩個正方形
【答案】D
【分析】本題考查圖形的相似，如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．根據(jù)定義逐一分析解答即可
【詳解】解：A、任意兩個直角三角形，兩組直角邊的比不一定相等，兩三角形不一定相似，故選項不符合題意；
B、任意兩個菱形對應角不一定相等，故不一定相似，故選項不符合題意；
C、任意兩個矩形，對應邊的比不一定相等，故不一定相似，故選項不符合題意；
D、任意兩個正方形，對應角相等，對應邊的比相等，故一定相似，故選項符合題意．
故選：D．
2．（2023上·安徽合肥·九年級校聯(lián)考期中）下面各組圖形中，不是相似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是相似圖形的識別，根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，依據(jù)定義即可解決．
【詳解】解：A、兩個圖形相似，故不符合題意；
B、兩個圖形相似，故不符合題意;
C、五角星和六角星不相似，故符合題意；
D、所有的圓都相似，故不符合題意，
故選：C．
3．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽彩虹學校?？计谥校┫铝兴慕M圖形中，不是相似圖形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案；
【詳解】解：A、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
B、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
C、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
D、形狀不相同，不符合相似形的定義，故符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是相似形的定義，是基礎題．
4．（2022上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）下列每組圖形是相似圖形的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)相似圖形的定義一一判斷即可．
【詳解】解：選項B中兩個五角星是相似圖形．
故選：B．
【點睛】本題考查相似圖形，解題的關鍵是理解相似圖形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個邊數(shù)相同的多邊形相似．
考查題型四 相似多邊形
1．（2023上·福建漳州·九年級福建省漳州第一中學?？计谥校┤鐖D，有甲、乙、丙三個矩形，其中相似的是（ ）

A．三個矩形都不相似B．乙與丙C．甲與乙D．甲與丙
【答案】D
【分析】本題主要考查相似多邊形的判定，根據(jù)圖形得到對應邊的比值，進而問題可求解．
【詳解】解：甲圖矩形的長寬之比為，乙圖矩形的長寬之比為，丙圖矩形的長寬之比為，
∴甲與丙是相似矩形；
故選D．
2．（2023上·河北石家莊·九年級校聯(lián)考階段練習）已知矩形中，，下面四個矩形中與矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】驗證對應邊是否成比例即可判斷．
【詳解】解：A：，符合題意；
B：，不符合題意；
C：，不符合題意；
D：，不符合題意；
故選：A
【點睛】本題考查了相似多邊形的判定．熟記定理內(nèi)容即可．
3．（2022上·河北保定·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，有甲、乙、丙三個矩形，其中相似的是（ ）

A．甲與丙B．乙與丙C．甲與乙D．三個矩形都不相似
【答案】A
【分析】如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．
【詳解】解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為，，，
∴甲與丙相似，
故選：A．
【點睛】本題考查相似多邊形的概念與判定，解題的關鍵是要考慮對應角相等，對應邊成比例．
4．（2023上·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）兩個大小不一的五邊形和五邊形如圖所示放置，點F在線段上，點H在線段上，對應連接并延長剛好交于一點O，則這兩個五邊形的關系是（ ）
A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)相似多邊形的定義即可解答．
【詳解】解：∵兩個大小不一的五邊形和五邊形對應邊不成比例
∴五邊形和五邊形一定不相似．
故選B．
【點睛】本題考查了相似多邊形的定義，掌握對應邊成比例的多邊形是相似三角形成為解答本題的關鍵．
考查題型五 相似多邊形的性質(zhì)
1．（2023上·廣西來賓·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形四邊形，若，則 ．
【答案】/度
【分析】此題考查相似多邊形的性質(zhì)：對應角相等，由四邊形相似得到，由四邊形內(nèi)角和即可求出答案，正確理解相似多邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形四邊形，
∴，
又∵，
∴，
故答案為：．
2．（2023上·四川成都·九年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的對應角相等求解即可．
【詳解】∵四邊形四邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
3．（2023上·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形矩形，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，再求出，最后根據(jù)相似多邊形對應邊成比例得到，據(jù)此代值計算即可．
【詳解】解∵四邊形和四邊形都是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（負值舍去），
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
故答案為：．
4．（2023上·江西鷹潭·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長均為1，四邊形的面積是．若四邊形與四邊形相似，則四邊形的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)．熟練掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
由相似多邊形的性質(zhì)可知，，計算求解即可．
【詳解】解：由相似多邊形的性質(zhì)可知，，
∴，解得，，
故答案為：．
考查題型六 由平行線判定成比例的線段
1．（2023上·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點A、B、C和點D、E、F分別位于同一條直線上，如果，且，，那么 .
【答案】6
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例得比值是解題的關鍵．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
故答案為：6．
2．（2023上·上海普陀·九年級校考階段練習）如圖，已知直線、、分別交直線于點、、，交直線于點、、，且，如果，，那么 ．

【答案】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，設，則，利用求出的值，即可得出的值．
【詳解】解：，，
，
設，則，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關鍵．
3．（2022上·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，已知直線，直線m與直線、、分別交于點A、D、F，直線n與直線、、分別交于點B、C、E．若，則 ．

【答案】
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，解答即可．
【詳解】解：直線，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)定理得出比例式，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的線段對應成比例．
4．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）如圖，，則的長為 ．

【答案】4.5/
【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結果．
【詳解】
即
解得
故答案為：4.5．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
考查題型七 由平行截線求相關線段的長或比值
1．（2023上·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，且直線分別截直線于點，，，截直線于點，．

(1)若，求的長；
(2)若，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．
（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入已知線段長度即可得到的長；
（2）由平行線分線段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的長．
【詳解】（1）解：如圖，

∵，
∴，
∵，，，
∴，
即的長為；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（2023上·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，分別是，上的點，且，，，，求和的長．

【答案】，
【分析】此題考查平行線分線段成比例，利用得到，求出，，根據(jù)得到，由此求出．
【詳解】∵
∴
∵
∴，，
∵
∴
∴．
3．（2023上·江西萍鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）（1）解方程：；
（2）如圖，已知，與相交于點O．如果，，，求的長．

【答案】（1），；（2）
【分析】本題考查解一元二次方程，平行線分線段成比例．
（1）將方程整理為，再利用配方法即可求解；
（2）由平行線分線段成比例得，可求得，由即可求解．
掌握解一元二次方程的方法，理解平行線分線段成比例是解決問題的關鍵．
【詳解】解：（1），
，
，
，
，
解得，；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，解得：，
∴
4．（2023上·陜西咸陽·九年級?？计谥校┤鐖D，點、分別在的邊、上，連接，，若，，求的長．
【答案】．
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，首先根據(jù)平行線分線段成比例得到，然后代數(shù)求出，進而求解即可．熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
【詳解】，
，
，，
，
．
1．（2023上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┤鐖D，在正方形中，點在射線上(不與點，重合)，連接，將繞點順時針旋轉得，連接，連接交的延長線于點，過點作，垂足為，連結，．

(1)求證：；
(2)________，并說明理由；
(3)若，，直接寫出的值．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，即可求得．
（2）由可知點四點共圓，從而得到．
（3）根據(jù)，先證明，再利用平行線截線段成比例得到．
【詳解】（1）解：∵繞點A順時針旋轉得，
∴，
∴為等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴點四點共圓，
∵，
∴

（3）解：如圖所示：

∵,
∴,
在和中，
∴，
∴，
故三點共線，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、四點共圓、平行線截線段成比例，掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和判定和平行線截線段成比例是解題的關鍵．
2．（2023上·上海奉賢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形中，點為的中點，點在上，，延長交于點，延長交于點．

(1)求證：；
(2)連接，若點為的中點，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）過點作交的延長線于點，連接，根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行線的性質(zhì)可得，，證明，可得，結合得到四邊形是矩形，得到，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推出，得到，即可得證；
（2）連接，證明四邊形是平行四邊形，得到，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)即可得證．
【詳解】（1）證明：如圖，過點作交的延長線于點，連接，
，
，
，，
∵點為的中點，
，
，
，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∴四邊形是矩形，
，
在中，點為的中點，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
；
（2）證明：如圖，連接，
，
在平行四邊形中，點為的中點，點為的中點，
，
∴四邊形是平行四邊形，
，
，
，
由（1）可得：，
，
∴是的垂直平分線，
．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活應用，添加適當?shù)妮o助線，是解此題的關鍵．
3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖（1），矩形中，，，點、是對角線上的兩個點，，連接、．

(1)求證：；
(2)如圖（2），點與關于對稱，點與關于對稱，連接、、、，試四邊形的形狀，并說明理由；
(3)已知當四邊形是矩形時，，試求的值．
【答案】(1)見解析
(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，從而得到，通過證明，即可得證；
（2）連接交于，由矩形和對稱的性質(zhì)可以得到，，，，由（1）可得，，從而即可得證；
（3）延長交于，通過證明，得到，，再通過勾股定理和正切以及平行線的性質(zhì)，進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，，
，
在與中，
，
，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
理由如下：
連接交于，
，
四邊形是矩形，
，
，
點與關于對稱，點與關于對稱，
，，，，
由①知，
，，
，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形；
（3）解：延長交于，
，
四邊形是矩形，
，
在與中，
，
，
，，
，
在中，，
即，
解得，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
4．（2023上·四川內(nèi)江·九年級統(tǒng)考期中）閱讀與計算，請閱讀以下材料，完成相應的任務．
材料：三角形的內(nèi)角平分線定理：
如圖1，在中，平分，交于點，則．
下面是這個定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過作，交的延長線于點．
(1)【思路說明】請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
(2)【直接應用】如圖3，中，是中點，是的平分線，交于．若，，求線段的長；
(3)【拓展延伸】如圖4，中，平分，的延長線交外角角平分線于點．
①找出、、、這四條線段的比例關系，并證明；
②若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)①、、、這四條線段的比例關系：，理由見解析；②
【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例得出，進而根據(jù)等角對等邊得出，等量代換，即可得證；
（2）根據(jù)角平分線分線段成比例定理得出，得出根據(jù)E是BC的中點，得到，根據(jù)，由平行線分線段成比例，即可求解；
（3）①作交于點，則，進而證明，即可得出；
②根據(jù)角平分線分線段成比例可得，由①知，則，代入數(shù)據(jù)，即可得出，即可求解．
【詳解】（1）證明：，
，，，
平分，
，
，
，
，
即．
（2）解：平分，，，
，
，
，
，
是的中點，
，
，
，
．
（3）①、、、這四條線段的比例關系：，理由如下：
如圖：作交于點，
，，，
平分，
，
，
，
．
②平分，
，
由①知
，
，，
，
解得，
不符合題意，舍去，
．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．

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