【知識梳理】
知識點1 直線的傾斜角
1．傾斜角的定義
當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.
2．傾斜角的范圍
直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.
注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角
②已知直線上一點和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線
知識點2 直線的斜率
1．斜率的定義
一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tanα.
2．斜率公式
經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).當x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率．
知識點3 斜率與傾斜角的聯(lián)系
知識點4 兩條直線平行和垂直
1．對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
注：（1）l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②l1與l2不重合．
（2）當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
（3）兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.
2．如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
（3）判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．
3．利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略
已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時兩直線與y軸的交點不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
4．若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個條件．
5．利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
6．與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫方程．
（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；
②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2.
知識點5 直線的五種方程
知識點6 兩直線的交點坐標
1、已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設(shè)這兩條直線的交點為P，則點P既在直線l1上，也在直線l2上．所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標就是方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2、直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系如表所示：
知識點7 兩點間的距離公式
1．公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．文字敘述：平面內(nèi)兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術(shù)平方根．
知識點8 直線系過定點問題
1．平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
2．垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0.
3．過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．
知識點9 點到直線的距離與兩條平行線間的距離
知識點10 圓的標準方程
1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。鐖D所示．
3．圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．
知識點11 點與圓的位置關(guān)系
(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r?點在圓外；d＝r?點在圓上；d＜r?點在圓內(nèi)．
(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)．
知識點12 圓的一般方程
1．圓的一般方程的概念
當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
注：將方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
2．圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長為eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數(shù)運算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點：
(1)x2，y2項的系數(shù)均為1；
(2)沒有xy項；
(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常見圓的方程的設(shè)法
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
知識點13 直線與圓的三種位置關(guān)系
注：直線與圓的位置關(guān)系及判斷
知識點14 直線與圓相交
1．解決圓的弦長問題的方法
2．當直線與圓相交時，半徑、半弦、弦心距所構(gòu)成的直角三角形(如圖中的Rt△ADC)，在解題時要注意把它和點到直線的距離公式結(jié)合起來使用．
知識點15 直線與圓相切
1．求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意切線斜率不存在的情況．（注：過圓內(nèi)一點，不能作圓的切線）
2．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq \f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．
3．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的方法
4.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
5.切線長公式
記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；
知識點16 圓上點到直線的最大（?。┚嚯x
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為
①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為，最小距離為；
知識點17 圓與圓的位置關(guān)系
1．種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．
2．判定方法
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：
(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \\al(2,1)＋Eeq \\al(2,1)－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \\al(2,2)＋Eeq \\al(2,2)－4F2>0)，
聯(lián)立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：
注：(1)圓和圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內(nèi)含；
(2)圓和圓相交，兩圓有兩個公共點；
(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內(nèi)切和外切．
(4)圓與圓的位置關(guān)系不能簡單仿照直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法將兩個方程聯(lián)立起來消元后用判別式判斷，因為當方程組有一組解時，兩圓只有一個交點，兩圓可能外切，也可能內(nèi)切；當方程組無解時，兩圓沒有交點，兩圓可能外離，也可能內(nèi)含．
知識點18 圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用
設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．
(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．
(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．
(3)求公共弦長時，幾何法比代數(shù)法簡單易求．
(4)兩圓公共弦長的求法
兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq \f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．
知識點19 圓與圓的公切線
1、公切線的條數(shù)
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．
2、公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離求解
知識點20 圓系方程
(1) 以為圓心的同心圓圓系方程：；
(2) 與圓同心圓的圓系方程為；
(3) 過直線 EMBED Equatin.DSMT4 與圓交點的圓系方程為

4 過兩圓，圓：交點的圓系方程為
（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.
兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.
【考點剖析】
考點一 直線的傾斜角與斜率
1．（2023·福建師大附中高二期末）已知直線的方程為：，則直線的傾斜角為__________.
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0°B．1°C．2°D．3°
3．（2023·江西撫州·高二期末（理））已知動直線的傾斜角的取值范圍是，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江蘇連云港·高二期末）若，，三點共線，則實數(shù)m的值為 （ ）
A．B．2C．D．3
5．（2023·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
考點二 兩條直線的平行和垂直
6．（2023·廣東汕頭·高二期末）是直線和平行的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．（2023·上海市向明中學(xué)高二期末）已知兩直線，，若，則實數(shù)______．
8．（2023·北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二期末）設(shè)，則“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．重要條件D．既不充分也不必要條件
9．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知直線l與直線平行，且與坐標軸圍成的三角形的面積為6，則直線l的方程是________．
10．【多選】（2023·云南普洱·高二期末）已知直線，則（ ）
A．恒過點B．若，則
C．若，則D．當時，不經(jīng)過第三象限
考點三 求直線的方程
11．（2023·貴州貴陽·高二期末（理））過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末）過點且與直線垂直的直線l的方程是________．
13．（2023·福建師大附中高二期末）若直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的方程為_________．
14．（2023·江蘇南通·高二期末）如果且，那么直線不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
15．（2023·江蘇·蘇州中學(xué)高二期末）在平行四邊形ABCD中，，，，點E是線段BC的中點．
(1)求直線CD的方程；
(2)求四邊形ABED的面積．
16．（2023·廣東汕尾·高二期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，，則歐拉線的方程為______．
考點四 直線的交點坐標和距離問題
相交直線的交點坐標
17．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知點，直線，且點在直線上，，則點的坐標是_____________．
18．（2023·上海市行知中學(xué)高二期末）已知直線過直線和的交點，且與直線垂直，則直線在軸上的截距為________.
19．（2023·浙江寧波·高二期末）已知三條直線：，：，：（是常數(shù)），.
(1)若，，相交于一點，求的值；
(2)若，，不能圍成一個三角形，求的值：
(3)若，，能圍成一個直角三角形，求的值.
兩點間的距離公式
20．（2023·廣東汕尾·高二期末）點為軸上的點，，，以，，為頂點的三角形的面積為8，則點的坐標為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
21．（2023春·吉林長春·高二校考期中）已知直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩個點，點是直線上的動點，則的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023春·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，點在直線上移動，則的最小值為______.
23．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)校考期中）已知直線l過點，且分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點.O為坐標原點.
(1)當面積最小時，求直線l的方程；
(2)當值最小時，求直線l的方程.
24．【多選】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線 l 過點且與點，等距離，則直線 l 的方程為（ ）
A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0D．2x＋3y－18＝0
點到直線的距離公式
25．（2023·北京·101中學(xué)高二期末）已知定點，點在直線上運動，則，兩點的最短距離為________．
26．【多選】（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．直線l的方程為
B．過點O且與直線l平行的直線方程為
C．若點到直線l的距離為，則
D．點O關(guān)于直線l對稱的點為
27．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，
(1)求邊所在直線的方程；
(2)直線過定點，設(shè)該定點為，求的面積.
兩平行線間的距離公式
28．（2023·湖北·沙市中學(xué)高二期末）兩條平行直線與之間的距離（ ）
A．B．C．D．7
29．（2023·全國·高二假期作業(yè)）若直線與直線平行，則直線與之間的距離為______.
30．【多選】（2023春·廣東東莞·高二?？计谥校﹥善叫兄本€和間的距離為， 若直線的方程為， 則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
31．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知直線和直線，直線與的距離分別為，若，則直線方程的方程為__________.
考點五 直線的對稱問題
32．（2023春·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）點關(guān)于直線的對稱點Q的坐標為（ ）．
A．B．C．D．
33．（2023春·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習(xí)）已知點， 直線，關(guān)于直線的對稱點為點， 則的取值范圍是___________.
34．（2023春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎饩€經(jīng)過已知直線和的交點M，且射到x軸上一點后被x軸反射．
(1)求反射光線所在的直線的方程．
(2)求與距離為的直線方程．
35．（2023·高二單元測試）已知直線，，．
（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；
（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．
36．（2023春·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的頂點，AB邊上的高所在的直線的方程為，角A的平分線所在直線的方程為．
(1)求直線AB的方程；
(2)求點A的坐標；求直線的方程．
考點六 直線的綜合問題
37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點到直線的距離的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
38．（2020春·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谥校┤魟狱cA、B分別在直線和上移動，則中點到原點的距離的最小值為________.
39．（2023春·山東青島·高二?？计谥校┮阎本€方程為．
（1）證明：直線恒過定點；
（2）為何值時，點到直線的距離最大，最大值為多少？
40．（2023春·湖北·高二宜城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線
(1)若直線的傾斜角，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，O是坐標原點，求面積的最小值及此時直線l的方程．
41．（2023春·河南鄭州·高二鄭州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過點：
(1)若原點到的距離為2，求直線的方程；
(2)設(shè)，且不過第二象限，當與兩坐標圍成的三角形面積最小時，，與兩坐標軸圍成的四邊形對角互補，求實數(shù)的值.
考點七 求圓的方程
42．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知為圓O上的點，則圓O的方程為____________．
43．（2023春·浙江·高二慈溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點，且與軸相切.
(1)求圓的方程；
(2)若直線過點且與圓相交于兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程.
44．（2023春·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在直線上，且過點，，則圓C的一般方程為__________．
45．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？计谀┮阎獔A的圓心坐標為，且與軸相切，直線過與圓交于、兩點，且．
(1)求圓的標準方程；
(2)求直線的方程．
46．（2021春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？计谥校┚匦蜛BCD的兩條對角線相交于點，AB邊所在直線的方程為，點在AD邊所在直線上．
(1)求AD邊所在直線的方程；
(2)求矩形ABCD外接圓E的方程．
47．（2023春·四川廣安·高二廣安二中?？茧A段練習(xí)）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是______.
考點八 點和圓的位置關(guān)系
48．（2023·高二課時練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓外B．在圓內(nèi)C．在圓上D．不確定
49．（2023春·四川遂寧·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，且，則坐標原點O與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點O在圓內(nèi)B．點O在圓上C．點O在圓外D．不能確定
50．（2023·高二課時練習(xí)）已知點A(1，2)和圓C：，試分別求滿足下列條件的實數(shù)a的取值范圍.
(1)點A在圓的內(nèi)部；
(2)點A在圓上；
(3)點A在圓的外部.
51．（2021春·安徽滁州·高二?？计谀┤酎c在圓上，則實數(shù)m＝______.
52．（2023春·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）若點在圓內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為________.
考點九 直線和圓的位置關(guān)系
53．【多選】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（ ）
A．若點在圓上，則直線與圓相切
B．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相交
C．若點在圓外，則直線與圓相離
D．若點在直線上，則直線與圓相切
54．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）直線與曲線的交點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
55．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的范圍______.
56．（2023春·重慶·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與圓相交于兩點，若圓與軸的交點為，則直線與交點的橫坐標為（ ）
A．2B．3C．4D．6
57．（2020春·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的方程:.
(1)滿足什么條件時，方程表示的曲線是圓；
(2)圓與直線有兩個交點，若，求的值.
考點十 圓的切線問題
58．（2023·高二課時練習(xí)）過圓上一點的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
59．（2021春·安徽滁州·高二?？计谀┻^點引圓的切線，其方程是（ ）
A．B．
C．D．和
60．（2023·全國·高二假期作業(yè)）一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在的直線方程為（ ）
A．或B．或
C．或D．
61．（2023春·江蘇連云港·高二期末）從圓外一點向圓引切線，則此切線的長為（ ）
A．1B．C．2D．3
62．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是________.
考點十一 圓的弦長問題
63．（2023春·山東菏澤·高二菏澤一中?？茧A段練習(xí)）直線被圓截得的弦長____________
64．（2023·全國·高二假期作業(yè)）圓截直線：所得的弦長最短為（ ）
A．B．1C．D．
65．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知直線l經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為4，則直線l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
66．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
67．（2023春·山東濟南·高二校考期中）已知圓和點．
(1)過點M向圓O引切線，求切線的方程；
(2)求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；
考點十二 圓與圓的位置關(guān)系
68．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切
69．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓：與圓：相交，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
70．（2023春·貴州遵義·高二遵義一中校考階段練習(xí)）圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB的垂直平分線的方程是______.
71．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點，則_________.
72．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
73．（2023春·河南商丘·高二校聯(lián)考期中）若圓與圓有且僅有一條公切線，則（ ）
A．16B．25C．36D．16或36
74．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考期中）寫出與圓和圓都相切的一條直線方程________．（寫出一條即可）
75．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則（ ）
A．B．C．D．
考點十三 與圓有關(guān)的軌跡問題
76．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）在平面內(nèi)，，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
77．（2023春·浙江·高二慈溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點的距離的比為常數(shù)的點的軌跡為圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，圓上有且只有一個點滿足，則的值為（ ）
A．1B．3C．1或5D．2或3
78．（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，點的坐標為，動點滿足
(1)求動點的軌跡的方程
(2)若直線過點且與軌跡相切，求直線的方程
79．（2023春·福建泉州·高二?？计谥校┮阎獔A:，點坐標為，為圓上動點，中點為.
(1)當點在圓上動時，求點的軌跡方程；
(2)過點的直線與的軌跡相交于兩點，且，求直線的方程.
考點十四 與圓有關(guān)的最值問題
80．（2023春·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）已知為圓上任意一點，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)若，求的最大值和最小值；
(3)若，求的最大值和最小值．
81．（2023春·安徽合肥·高二?？计谥校┮阎獙崝?shù)滿足方程，則的最小值為__________.
82．（2023春·廣東清遠·高二校聯(lián)考期中）已知圓上一動點和定點，點為軸上一動點，則的最小值為___________．
83．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點P在直線上運動，點E是圓上的動點，點F是圓上的動點，則的最大值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
84．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線與圓，則圓C上的點到直線l的距離的最小值為（ ）
A．B．C．1D．3
85．（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是圓內(nèi)過點的最短弦，則（ ）
A．B．C．D．
86．（2023春·北京·高二北京市師達中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若為圓上任意兩點，為直線上一個動點，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
87．（2023春·福建莆田·高二莆田第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過直線上一動點，向圓引兩條切線，為切點，線段的最小值為（ ）
A．B．C．D．
88．（2023春·山東菏澤·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過軸上的點分別向圓和圓引切線，記切線長分別為、.則的最小值為__________.
考點十五 直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的綜合問題
89．【多選】（2023春·浙江杭州·高二?？计谥校┮阎獔A，則下列說法正確的是（ ）
A．點在圓內(nèi)B．圓M關(guān)于對稱
C．直線與截圓M的弦長為D．直線與圓M相切
90．【多選】（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點作圓：的切線，切點分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．四邊形的外接圓方程為
C．直線方程為
D．三角形的面積為
91．【多選】（2023春·重慶江津·高二校考期中）已知圓：和圓：相交于，兩點，下列說法正確的是（ ）
A．圓與圓有兩條公切線；
B．圓與圓的相交弦所在的直線方程；
C．線段的長為；
D．，分別是圓和圓上的點，則的最大值為.
92．（2023春·重慶江北·高二重慶十八中校考階段練習(xí)）已知直線：和圓：，則（ ）
A．直線恒過定點B．存在使得直線與直線：垂直
C．直線與圓相離D．若，直線被圓截得的弦長為
93．【多選】（2023春·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┮阎獎狱c在圓上，直線過點，則（ ）
A．當直線與圓相切時，l的方程為
B．當直線過點時，點到直線的距離的最大值為
C．當直線的斜率為時，直線被圓所截得的弦長為
D．若圓上恰有4個點到直線的距離為1，則直線斜率
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．（2023春·江蘇宿遷·高二沭陽如東中學(xué)?？计谀┮阎獔A，點是圓內(nèi)一點，過點P的圓O的最短弦所在的直線為，直線的方程為，那么（ ）
A．B．C．或重合D．與相交
2．（2023春·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)m的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·江蘇連云港·高二校考期末）圓被直線所截得的弦長為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·江蘇連云港·高二期末）設(shè)，為實數(shù)，若直線與圓相交，則點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．不能確定
5．（2023春·江蘇連云港·高二期末）設(shè)為實數(shù),若圓上恰有三個點到直線的距離都等于1,則的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知直線l：，其中，下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線l與直線垂直
B．若直線l與直線平行，則
C．直線l過定點
D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等
7．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┤粢粋€圓的圓心在直線上，此圓與軸相切，且被直線截得的弦長為，則此圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第十一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知圓 ，直線，則（ ）
A．直線恒過定點
B．當時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1
C．直線與圓有一個交點
D．若圓與圓 恰有三條公切線，則
三、填空題
9．（2023秋·上海閔行·高二?？计谀┲本€與圓交于兩點，則______．
10．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎獔A，直線，若當?shù)闹蛋l(fā)生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為2，則值為_____．
11．（2023春·黑龍江綏化·高二?？计谀┻^點作與圓相切的直線，則直線的方程為______．
四、解答題
12．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線：，圓C：．
(1)若直線與圓C相切，求k的值．
(2)若直線與圓C交于A，B兩點，是否存在過點的直線垂直平分弦AB？若存在，求出直線與直線的交點坐標；若不存在，請說明理由．
13．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎本€和的交點為P．
(1)若直線l經(jīng)過點P且與直線平行，求直線l的方程；
(2)若直線m經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，為線段的中點，求△OAB的面積．（其中O為坐標原點）．
14．（2023春·黑龍江綏化·高二校考期末）直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于，試求和的值．
傾斜角
（范圍）
斜率
（范圍）
不存在
名稱
條件
方程
圖形
適用范圍
點斜式
直線l過定點P(x0，y0)，斜率為k
y－y0＝k(x－x0)
不表示垂直于軸的直線
斜截式
直線l的斜率為k，且與y軸的交點為(0，b)(直線l與y軸的交點(0，b)的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距)
y＝kx＋b
不表示垂直于軸的直線
兩點式
P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不表示垂直于坐標軸的直線
截距式
在x軸上截距a，在y軸上截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不表示垂直于坐標軸的直線及過原點的直線
一般式
A，B，C為系數(shù)
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
任何位置的直線
方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一組
無數(shù)組
無解
直線l1與l2的公共點個數(shù)
一個
無數(shù)個
零個
直線l1與l2的位置關(guān)系
相交
重合
平行
點到直線的距離
兩條平行直線間的距離
定義
點到直線的垂線段的長度
夾在兩條平行直線間公垂線段的長度
公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之間的距離
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
標準方程的設(shè)法
一般方程的設(shè)法
圓心在原點
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
過原點
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圓心在y軸上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
與x軸相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)D2＝0
與y軸相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq \f(1,4)E2＝0
位置關(guān)系
交點個數(shù)
圖示
相交
有兩個公共點
相切
只有一個公共點
相離
沒有公共點
位置關(guān)系
相交
相切
相離
判定方法
幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
d＝r
d＞r
代數(shù)法：
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,（x－a）2＋（y－b）2＝r2))
消元得到一元二次方程的判別式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
幾何法
（常用）
如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代數(shù)法
若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點，則|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?xA＋xB?2－4xAxB)＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特別地，當k＝0時，|AB|＝|xA－xB|；當斜率不存在時，|AB|＝|yA－yB|
注：直線：；圓
聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)，結(jié)合韋達定理可得到
幾何法
當斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程
代數(shù)法
當斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出
位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖示
d與r1，r2的關(guān)系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
方程組解的個數(shù)
2組
1組
0組
兩圓的公共點個數(shù)
2個
1個
0個
兩圓的位置關(guān)系
相交
內(nèi)切或外切
外離或內(nèi)含
兩圓外離
兩圓外切
兩圓相交
兩圓內(nèi)切
兩圓內(nèi)含
有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條
有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；
只有2條外公切線
只有1條外公切線
無公切線

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