第01講空間向量與立體幾何(學(xué)生卷)-【寒假講義】高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B版選擇性必修一）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【易錯點(diǎn)總結(jié)】
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理
(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法：如果A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.
3.空間向量的數(shù)量積
(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.
(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交換律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用
設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.
7.空間位置關(guān)系的向量表示
1.在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
2.在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點(diǎn).
【重難點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：空間向量及其運(yùn)算
1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）．
A．4B．C．2D．
【答案】A
【詳解】解：因?yàn)?，，且?br>所以，解得.
故選：A
2．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：，
，
．
故選：B．
3．已知向量，，且與互相平行，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，，
則，解得，
故選：D
4．如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)镋、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，
所以，
.
故選：C
5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【詳解】過B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，
∵AB＝1，BC，
∴AC＝2，
∵，
∴BE＝DF，
則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，
∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，
∴，
∵，
∴
，
則||，
即B與D之間距離為，
故選：C．
考點(diǎn)二：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用
6．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，而，
故到l的距離為.
故選：C
7．若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系是（）
A．垂直B．平行
C．相交但不垂直D．平行或線在面內(nèi)
【答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以與共線，直線與平面垂直.
故選：A.
8．正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且，則直線BC與平面PAC的夾角是( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】C
【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則，
則，，,
設(shè)平面PAC的一個法向量為，
則即，令，則，所以，
∴，
設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，
∴直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，
∴直線BC與平面PAC的夾角為
故選：C
9．正方體中，二面角的平面角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
連接，取中點(diǎn)O連接.
由，則且 ,則，故即為二面角的平面角.
不妨設(shè)正方體的邊長為1，則在中，在中，則.又，故可得：.
故選：D.
10．如圖，圓臺的軸截面ABCD為等腰梯形，，E為弧AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為母線BC的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成角的正切值為（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【詳解】設(shè)圓臺的上底面圓心為，下底面圓心為，則，連接，
因?yàn)槭腔B的中點(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，
分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
，
設(shè)異面直線AC和EF所成角為，
所以，可得.
故選：C.
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解析：
故選:.
2．若向量，，則（）
A．B．4C．5D．
【答案】D
【詳解】解析：由題意，得，
.
故選：D.
3．已知空間向量，，且與垂直，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由已知可得，解得.
故選：A.
4．已知，，且，則的值是（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)椋?，且?br>所以，
解得；
故選：B
5．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知，
故選：C.
6．向量，，若，則（）
A．B．，
C．，D．，
【答案】C
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且?br>則設(shè)，即，
則有，則，，解得，，
故選：C
7．已知正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)該正面體的棱長為，因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，
所以有，
，
根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，
故選：B
8．正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且，則直線BC與平面PAC的夾角是( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
【答案】C
【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則，
則，，,
設(shè)平面PAC的一個法向量為，
則即，令，則，所以，
∴，
設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，
∴直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，
∴直線BC與平面PAC的夾角為
故選：C
二、多選題
9．已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．在上的投影向量為
【答案】ABD
【詳解】因?yàn)?br>所以，
所以，A正確；
因?yàn)?，，所以B正確；
，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯誤；
在上的投影，與同向的單位向量為，
所以在上的投影向量為，D正確.
故選：ABD
10．如圖，在棱長為1的正方體中（）
A．與的夾角為B．二面角的平面角的正切值為
C．與平面所成角的正切值D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BCD
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
∴，，即，與的夾角為，故A錯誤；
設(shè)平面的法向量為，，
所以，令，則，
平面的法向量可取，二面角的平面角為，
則，所以，故B正確；
因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，
則，故C正確；
因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則
，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
11．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則____________．
【答案】
【詳解】如圖，因?yàn)?，?br>所以，，
又因?yàn)椋?，?br>所以.
故答案為：.
12．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)椋?
因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.
故答案為：
四、解答題
13．已知空間三點(diǎn)，，．設(shè)，．
(1)求，；
(2)求與的夾角；
(3)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所?
所以；
因?yàn)?，，所以?br>所以；
（2）解：由（1）可知，
又，所以，
即與的夾角為.
（3）解：由（1）可知，，
又向量與互相垂直，
所以，所以，
即，解得.
14．如圖在邊長是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF與所成角的大?。?br>（2）證明：平面．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【詳解】據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴異面直線EF和所成的角為．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
15．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求平面和平面的夾角大小.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）如圖，過作于.由題意可知，在直角梯形中，，，，所以，.
又，，所以，所以.
因?yàn)?，又，面?br>所以面.
因?yàn)槊妫悦婷妫?br>（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，故可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
易知，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，即，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，即，
所以，即平面和平面的夾角為.
【能力提升】
一、單選題
1．已知，則的最小值（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題可知，，
故，
即的最小值.
故選：B.
2．在正四面體中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】依題意，結(jié)合圖形可得，
．
故選：A.
3．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：因?yàn)榭臻g，，，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，
則可設(shè)，
又點(diǎn)在平面外，則
，
即，
則，
又，
所以，解得，，
故選：C．
4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）
A．B．C．D．6
【答案】C
【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.
故選：C.
5．已知空間向量，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，空間向量，，，
可得，
則.
故選：A.
二、填空題
6．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______．
【答案】
【詳解】如圖所示，設(shè)分別為和的中點(diǎn)，
可得，，且，
所以異面直線與所成角即為直線與所成的角，
作的中點(diǎn)為，則為直角三角形，
因?yàn)椋?br>在中，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，，
在中，
可得，
又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，
所以與所成的角的余弦值為.
故答案為：.
7．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如下圖，四面體P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，則二面角A-PC-B的余弦值為__________．
【答案】##
【詳解】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，，，，
所以，，，.
設(shè)平面APC的法向量為
，∴
不妨設(shè)，則，
設(shè)平面PBC的法向量為
，∴
不妨設(shè)，則，，
設(shè)為，則.
故答案為：
三、解答題
8．四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．
(1)求證：；
(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析(2)
（1）
證明：因?yàn)?，，?br>由余弦定理，
所以，則，所以，即，
又平面平面，平面平面，平面
所以平面，又平面，所以；
（2）
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為；
9．如圖，三棱柱中，，，平面.
(1)求證：；
(2)若，直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）∵平面，平面
∴，
∵，四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形.
∴，
∵，平面，平面
∴平面，
∵平面
∴.
（2）∵與平面所成角為，平面，
∴，
若，則是正三角形.
令，則，，，
以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
，，
，令，解得，
設(shè)平面的一個法向量為，
，即，令，解得，
設(shè)二面角的大小為，由圖知非鈍角，
∴.
∴二面角的余弦值為.
10．如圖，直三棱柱中，是邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若直線與平面所成的角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）是正三角形，為的中點(diǎn)，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）連接，由（1）知平面，
∴直線與平面所成的角為，
．
是邊長為2的正三角形，則，
．
在直角中，，，
．
建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，．
，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．
，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得平面的法向量為．
設(shè)平面與平面夾角為，則
．
平面與平面夾角的余弦值為．
名稱
定義
空間向量
空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共線向量
(或平行向量)
如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行(或共線)
共面向量
空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面
向量表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共線
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夾角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2
l1∥l2
v1∥v2?v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2?v1·v2＝0
直線l的方向向量為v，平面α的法向量為n
l∥α
v⊥n?v·n＝0
l⊥α
v∥n?n＝λv
平面α，β的法向量分別為n1，n2
α∥β
n1∥n2?n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2?n1·n2＝0

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