第01講空間向量與立體幾何-【寒假講義】高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

【考點目錄】
【知識梳理】
知識點1 空間向量的有關(guān)概念
1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．
注：數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。
2. 表示法：
（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
3．幾類特殊的空間向量
知識點2 空間向量的線性運算
（一）空間向量的加減運算
（二）空間向量的數(shù)乘運算
知識點3 共線向量與共面向量
1．共線向量與共面向量的區(qū)別
2.直線l的方向向量
如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設P為l上的任意一點，則?λ∈R使得eq \(OP,\s\up7(―→))＝λa.
定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
知識點4 空間向量的夾角
知識點5 空間向量的數(shù)量積運算
1．(1)空間向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
注：等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
(2)運算律
2.投影向量及直線與平面所成的角
(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．
(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
知識點6 空間向量數(shù)量積運算律及性質(zhì)
1、數(shù)量乘積的運算律：
；；．
2、若，為非零向量，為單位向量，則有
；；
，，；；．
知識點7 空間向量基本定理
1．定理
如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.
2．空間向量的正交分解
(1)單位正交基底：空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．
知識點8 空間向量基本定理應用
1、證明平行、共面問題
(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.
(2) 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)直線平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．
2、求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|). (2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.
3、求距離(長度)問題
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
知識點9 空間直角坐標系
1．空間直角坐標系
(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.
(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．
注意點：
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.
(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系．在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．
2．空間一點的坐標、向量的坐標
（1）空間點的坐標
在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq \(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq \(OA,\s\up6(→))對應的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．
注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點
（2）空間點的對稱問題
①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．
②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結(jié)論．
（3）空間向量的坐標
向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝(x，y，z)．
知識點10 空間向量的坐標運算
1．空間向量的坐標運算法則
設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
注意點：
(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．
(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．
(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．
2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
(1)平行關(guān)系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(3)|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)).
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))).
3．空間兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．
(1)eq \(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).
(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
知識點11 空間中點、直線和平面的向量表示
1．空間直線的向量表示式
設A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq \(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→)).
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t.使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta.
(3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).
2．空間平面的向量表示式
①如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq \(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.
②如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．
③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．
如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq \(AP,\s\up6(→))＝0}．
知識點12 空間平行、垂直關(guān)系的向量表示
知識點13 空間距離及向量求法
知識點14 空間角及向量求法
【考點剖析】
考點一空間向量及其線性運算
1．（2023·重慶·高二期末）在長方體中，（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，帶入化簡得到答案.
【詳解】在長方體中，易知，
所以.
故選：D.
2．（2023·湖南益陽·高二期末）在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空間向量加法運算，減法運算，數(shù)乘運算即可得到答案.
【詳解】如圖
故選：A
3．（2023·陜西商洛·高二期末（理））在平行六面體中，點在上，且，若，則（）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算即可求解.
【詳解】
如圖，
,
所以，
所以，
故選:C.
4．（2023·福建師大附中高二期末）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量線性運算的定義進行求解即可.
【詳解】，
故選：A
考點二共線問題
5．（2023·全國·高二期末）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．
【詳解】解：
，
又與過同一點B，
∴ A、B、D三點共線．
故選：C．
6．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點P在上，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進行求解即可.
【詳解】因為，
，
所以有，因此，
故選：C
7．（2023·上海松江·高二期末）設是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如圖所示,連接AG1交BC于點M，則M為BC中點,利用空間向量的運算法則求得，即得.
【詳解】如圖所示,連接AG1交BC于點M,則M為BC中點，
)=,
.
因為
所以=3(),
∴ .
則，
∴ ，，，
故選：A.
考點三共面問題
8．【多選】（2023·廣東江門·高二期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)空間向量的共面定理判斷即可.
【詳解】A：，A是；
B: ，B是；
C：構(gòu)成空間的一個基底，故無法用表示，C不是；
D：，D是；
故選：ABD
9．（2023·山東·巨野縣第一中學高二期末）對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（）
A．O，A，B，C四點共面B．P，A，B，C四點共面
C．O，P，B，C四點共面D．O，P，A，B，C五點共面
【答案】B
【分析】利用向量加減法，根據(jù)空間向量的加減法，可得三個向量共面，可得答案.
【詳解】由，得，
即，故共面.
又因為三個向量有同一公共點，所以共面.
故選：B.
10．（2023·上海市建平中學高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個點，其中點A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共面的判定定理即可得出答案.
【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x?y，使得.
若存在實數(shù)x?y，使得，則，，共面
則平面ABC或平面ABC.
所以“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的充分而不必要條件.
故選：A.
11．（2023·福建廈門·高二期末）已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由共面定理列式得，再根據(jù)對應系數(shù)相等計算.
【詳解】因為四點共面，設存在有序數(shù)對使得，則，即，所以得.
故選：A
12．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）
A．－1B．0C．1D．－6
【答案】D
【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.
【詳解】，所以不共線，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故選：D
13．（2023·全國·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ=___________.
【答案】
【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.
【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得共面，
，
，解得.
故答案為：
考點四空間向量基本定理
14．（2023·重慶長壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點為點M，，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算用表示出即可得．
【詳解】-＝，
.
故選：A．
15．（2023·天津市第九十五中學益中學校高二期末）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可.
【詳解】
．
故選：C．
16．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空間向量基本定理進行計算.
【詳解】.
故選：A
17．（2023·江蘇無錫·高二期末）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為．
(1)求向量在基底下的坐標；
(2)求向量在基底下的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標為，得出向量在基底下的坐標；
（2）根據(jù)向量在基底下的坐標直接計算模即可．
(1)
因為向量在基底下的坐標為，
則，
所以向量在基底下的坐標為.
(2)
因為向量在基底下的坐標為，
所以向量在基底下的模為.
考點五空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)的應用
18．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數(shù)（）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】用空間直角坐標系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進行計算即可.
【詳解】建立空間直角坐標系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和軸，
如右圖示
，，設，
則AB??APi?=0,0,1·xpi,ypi,zpi=zpi=1
所以集合，元素個數(shù)為1.
故選：A.
19．（2023·福建省華安縣第一中學高二期末）三棱錐中，，，，則______．
【答案】-2
【分析】根據(jù)向量的減法運算，結(jié)合數(shù)量積的運算，可求得答案.
【詳解】由題意得，故，

,
故答案為：-2
20．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．
【答案】24
【分析】由線段的空間關(guān)系有，應用向量數(shù)量積的運算律及已知條件即可求.
【詳解】由題設，可得如下四面體示意圖，
則，
又，，
所以.
故答案為：24
21．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知空間向量，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由題意，空間向量，，，
可得，
則.
故選：A.
22．（2023·北京昌平·高二期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.
【詳解】解：設中點為,連接,設中點為,則
,
當與重合時，取最小值0.此時有最小值，
故選：A
23．（2023·江蘇省揚州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算律求解.
【詳解】解：，
，
，
，
所以，
故選：B
24．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；
【詳解】解：因為，，所以
所以，
所以，又，所以，
所以，因為，所以；
故選：C
25．（2023·福建廈門·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【分析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.
【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，
依題意，，
設與AC所成角的大小為，則，而，解得，
所以與AC所成角的大小為.
故選：B
26．（2023·全國·高二期末）已知，，，，點在直線上運動，當取最小值時，點的坐標是______
【答案】
【分析】先利用向量共線定理設出Q點坐標，再利用向量的數(shù)量積運算得到關(guān)于的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值即可得到答案.
【詳解】因為點在直線上運動，所以存在，使得，
因為，所以，所以點的坐標為.
所以，，
所以，
所以當時，取最小值，此時點的坐標為.
故答案為：.
27．【多選】（2023·湖北黃岡·高二期末）棱長為2的正方體的側(cè)面(含邊界)內(nèi)有一動點，則（）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則存在非零向量使
【答案】BCD
【分析】對于每一個選項中所出現(xiàn)的向量用基底表示，然后通過分析或計算數(shù)量積就可以對每一個選項進行判斷.
【詳解】對于A，，
則
，
從而可知點在線段上，由于不垂直側(cè)面，故不成立，所以A錯誤；
對于B，易證，，從而可知平面，
由，可知點在線段上，因此，所以，B正確；
對于C，
，故C正確；
對于D，設，
所以
，得，從而可知不會是零向量，故D正確.
故選：BCD
考點六空間向量的運算的坐標表示
空間向量坐標的基本運算
28．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量加減法運算的坐標表示即可得到結(jié)果
【詳解】
故選：B.
29．（2023·重慶九龍坡·高二期末）在空間直角坐標系中，若，，則點B的坐標為（）
A．（3，1，﹣2）B．（-3，1，2）C．（-3，1，-2）D．（3，-1，2）
【答案】C
【分析】利用點的坐標表示向量坐標，即可求解.
【詳解】設，，
，
所以，，，解得：，，，
即.
故選：C
30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標為______．
【答案】
【分析】由向量的坐標表示可得，再根據(jù)向量坐標的線性運算求的坐標.
【詳解】由題設，，
所以.
故答案為：
31．（2023·陜西·綏德中學高二期末（理））若, ,則與同方向的單位向量是_______.
【答案】
【分析】先由已知求出的坐標，再除以可得答案
【詳解】因為,，
所以
所以與同方向的單位向量為，
故答案為：
32．【多選】（2023·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（）
A．點的坐標為（2，0，2） B．
C．的中點坐標為（1，1，1） D．點關(guān)于y軸的對稱點為（－2，2，－2）
【答案】BCD
【分析】根據(jù)空間直角坐標系，可求點的坐標，由此判斷A;求出的坐標，可判斷B;
利用中點坐標公式求得的中點坐標，可判斷C;根據(jù)空間點關(guān)于坐標軸的對稱點的特點可判斷D.
【詳解】根據(jù)題意可知點的坐標為，故A錯誤；
由空間直角坐標系可知： ,故B正確；
由空間直角坐標系可知：,故的中點坐標為（1，1，1），故C正確；
點坐標為，關(guān)于于y軸的對稱點為（－2，2，－2），故D正確，
故選：BCD
空間向量平行的坐標運算
33．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，則的值為（）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)得，代入數(shù)值解方程組即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，解得或.
故選：C.
34．（2023·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且與互相平行，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由空間向量共線的坐標表示求解
【詳解】，，
則，解得，
故選：D
35．（2023·北京昌平·高二期末）已知是直線的方向向量，是直線的方向向量．若直線，則________．
【答案】
【分析】由，則，從而可得出的值，得出答案.
【詳解】由，則
由，
則，解得
所以
故答案為：
36．（2023·重慶長壽·高二期末）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（）
A．B．
C．D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)得，計算得解.
【詳解】因為，所以，所以，計算得.
故選：D.
空間向量垂直的坐標運算
37．（2023·廣東廣州·高二期末）已知向量，，若，則實數(shù)m的值是___________.
【答案】
【分析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標公式即可求解.
【詳解】因為，
所以，解得.
故答案為：.
38．【多選】（2023·福建福州·高二期末）已知空間向量，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)空間向量，可由，解得答案.
【詳解】由可得：，
即，解得，
又|b?|=(?2)2+1+22=3，
故選：AC.
39．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實數(shù)______．
【答案】2
【分析】由向量垂直的坐標公式得出實數(shù).
【詳解】解析：∵，，∴=，
∵，
故答案為：
40．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(?1，0，?1)，c→=(0，2，1)，且向量與互相垂直，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量垂直數(shù)量積為0可解.
【詳解】解：根據(jù)題意，易得a→?2b→=(1， 1， k)?2(?1， 0， ?1)=(3， 1， k+2)，
∵ 與兩向量互相垂直，∴ 0+2+k+2=0，解得.
故選：D
空間向量模長的坐標運算
41．（2023·湖北·黃石市有色第一中學高二期末）若點，，點在軸上，且則______.
【答案】
【解析】設出D的坐標，求出的坐標，根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出答案即可.
【詳解】因為點在軸上，可設D（0,0，m）
故
因為，所以，解得：m=6.
故.
故答案為：
42．（2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學高二期末）已知向量，，若與垂直，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算可求出的值，結(jié)合向量坐標求向量模的求法，即可得出結(jié)果.
【詳解】解：與垂直，，
則，解得：，
，
則，
.
故答案為：.
43．（2023·江蘇·南京市大廠高級中學高二期末）向量，，，且，，則______.
【答案】
【分析】利用向量平行、垂直的坐標表示求出x，y，再利用坐標求出向量的模作答.
【詳解】因，，而，則有，解得，即
又，且，則有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案為：
44．（2023·江蘇·沭陽如東中學高二期末）已知，則的最小值（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量模長的坐標求解，結(jié)合二次函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題可知，，
故，
即的最小值.
故選：B.
空間向量夾角的坐標運算
45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為______.
【答案】
【分析】根據(jù)空間向量的幾何意義求出向量的模，利用數(shù)量積的定義計算即可得出夾角.
【詳解】，，
因為，
所以，
所以，
由，得向量與的夾角為.
故答案為：
46．（2023·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】根據(jù)向量與的夾角為鈍角，則·

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