第05講統(tǒng)計(jì)與概率-【復(fù)習(xí)】高一數(shù)學(xué)寒假銜接講義練習(xí)（人教B版必修第二冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】
一、數(shù)據(jù)的收集與直觀表示
1.總體、個(gè)體、樣本與樣本容量
考察問(wèn)題涉及的對(duì)象全體是總體，總體中每個(gè)對(duì)象是個(gè)體，抽取的部分對(duì)象組成總體的一個(gè)樣本，一個(gè)樣本中包含的個(gè)體數(shù)目是樣本容量.
2.普查與抽樣調(diào)查
(1)普查：一般地，對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行考察的方法稱為普查(也稱為全面調(diào)查).
(2)抽樣調(diào)查：只抽取樣本進(jìn)行考察的方法稱為抽樣調(diào)查.
3.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
(1)定義：一般地，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(也稱為純隨機(jī)抽樣)就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取個(gè)體.
(2)兩種常用方法：抽簽法，隨機(jī)數(shù)表法.
4.分層抽樣
一般地，如果相對(duì)于要考察的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時(shí)，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法稱為分層隨機(jī)抽樣(簡(jiǎn)稱為分層抽樣).
5.數(shù)據(jù)的直觀表示
(1)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖表有柱形圖、折線圖、扇形圖、莖葉圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.
(2)頻率分布直方圖
①作頻率分布直方圖的步驟
(ⅰ)找出最值，計(jì)算極差：即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；
(ⅱ)合理分組，確定區(qū)間：根據(jù)數(shù)據(jù)的多少，一般分5～9組；
(ⅲ)整理數(shù)據(jù)：
逐個(gè)檢查原始數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)(稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻數(shù))，并求出頻數(shù)與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比值(稱為區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率)，各組均為左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間；
(ⅳ)作出有關(guān)圖示：
根據(jù)上述整理后的數(shù)據(jù)，可以作出頻率分布直方圖，如圖所示.頻率分布直圖的縱坐標(biāo)是eq \f(頻率,組距)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，從而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1.
②頻率分布折線圖
作圖的方法都是：把每個(gè)矩形上面一邊的中點(diǎn)用線段連接起來(lái).為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)是沒(méi)有實(shí)際意義的.
不難看出，雖然作頻率分布直方圖過(guò)程中，原有數(shù)據(jù)被“壓縮”了，從這兩種圖中也得不到所有原始數(shù)據(jù).但是，由這兩種圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)，而且也可以得出有關(guān)數(shù)字特征的大致情況.比如，估計(jì)出平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、方差.當(dāng)然，利用直方圖估計(jì)出的這些數(shù)字特征與利用原始數(shù)據(jù)求出的數(shù)字特征一般會(huì)有差異.
二、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
1.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征
(1)最值
一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況.
(2)平均數(shù)
①定義：如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).
這一公式在數(shù)學(xué)中常簡(jiǎn)記為eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xi，
②性質(zhì)：一般地，利用平均數(shù)的計(jì)算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq \(x,\s\up6(－))＋b.
(3)中位數(shù)
有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq \f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù).
(4)百分位數(shù)
①定義：一組數(shù)的p%(p∈(0，100))分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有p%的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)不小于該值.
②確定方法：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計(jì)算i＝np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取eq \f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù).
(5)眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
(6)極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
①極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差，描述了這組數(shù)的離散程度.
②方差
定義：如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則方差可用求和符號(hào)表示為s2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－eq \(x,\s\up6(－))2.
性質(zhì)：如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
③標(biāo)準(zhǔn)差
定義：方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差.一般用s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－x）2).
性質(zhì)：如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.
2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
一般情況下，如果樣本容量恰當(dāng)，抽樣方法合理，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需直接算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可.
三、隨機(jī)事件、評(píng)率與概率
1.事件的關(guān)系
2.事件的運(yùn)算
3.用頻率估計(jì)概率
一般地，如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為eq \f(m,n)，其中，m是n次重復(fù)試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計(jì)值為eq \f(m,n).
古典概型
1.古典概型
一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的(簡(jiǎn)稱為有限性)，而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡(jiǎn)稱為等可能性)，則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱為古典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假設(shè)樣本空間含有n個(gè)樣本點(diǎn)，如果事件C包含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則P(C)＝eq \f(m,n).
3.概率的性質(zhì)
性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：統(tǒng)計(jì)
1．某校高一年級(jí)25個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為（）
A．91B．92C．93D．93.5
【答案】D
【詳解】數(shù)據(jù)從小到大為，而，
所以第80百分位數(shù)為.
故選：D
2．北京冬奧會(huì)已于2022年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)，南京青奧會(huì)后，第三次舉辦的奧運(yùn)賽事．之前，為助力冬奧，提高群眾奧運(yùn)法律知識(shí)水平和文明素質(zhì)，某市有關(guān)部門開(kāi)展冬奧法律知識(shí)普及類線上答題，共計(jì)30個(gè)題目，每個(gè)題目2分滿分60分，現(xiàn)從參與線上答題的市民中隨機(jī)抽取1000名，將他們的作答成績(jī)分成6組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表，可估計(jì)這次線上答題成績(jī)的平均數(shù)為（）
A．33B．34C．35D．36
【答案】B
【詳解】由題圖，.
故選：B
3．是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值（單位：）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）
A．這天中有天空氣質(zhì)量為一級(jí)B．這天中日均值最高的是11月5日
C．從日到日，日均值逐漸降低D．這天的日均值的中位數(shù)是
【答案】D
【詳解】由圖易知：第3,8,9,10天空氣質(zhì)量為一級(jí)，故A正確，11月5日日均值為82，顯然最大，故B正確，從日到日，日均值分別為：82,73,58,34,30，逐漸降到，故C正確，中位數(shù)是，所以D不正確，故選D.
考點(diǎn)二：概率
4．下列事件是必然事件的是（）
A．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時(shí)會(huì)沸騰
B．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于零
C．某彩票中獎(jiǎng)的概率為，則買10000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)
D．連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)向上
【答案】B
【詳解】因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到才會(huì)沸騰，所以A不是必然事件；
因?yàn)閷?shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于零，所以B是必然事件；
因?yàn)槟巢势敝歇?jiǎng)的概率為，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎(jiǎng)，即C不是必然事件；
拋擲骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機(jī)的，所以D是隨機(jī)事件．
故選：B．
5．由于夏季某小區(qū)用電量過(guò)大，據(jù)統(tǒng)計(jì)一般一天停電的概率為0.2，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0，9表示停電；用1、2、3、4、5、6、7、8表示當(dāng)天不停電，（那么使用隨機(jī)模擬方法得到以下30個(gè)數(shù)據(jù)），
38 21 79 14 56 74 06 89 53 90 14 57 62 30 93
78 63 44 71 28 67 03 53 82 47 63 10 94 29 43
那連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為（）
A．0.260B．0.300C．0.320D．0.333
【答案】B
【詳解】連續(xù)兩天中恰好有一天停電的情況有：
79 06 89 30 93 03 10 94 29
共9種，
所以連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為，
故選：B
6．孿生素?cái)?shù)猜想是數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè)：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù)．那么在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè)，則能組成孿生素?cái)?shù)的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】不超過(guò)12的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,11共5個(gè)，
任意取出不同的兩個(gè)素?cái)?shù)有：共10對(duì)，
又素?cái)?shù)對(duì)為孿生素?cái)?shù)，所以不超過(guò)12的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)有：共2對(duì)，
所以能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率為.
故選：B
考點(diǎn)三：統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用
7．已知與滿足，若的中位數(shù)為6，則的中位數(shù)為（）
A．6B．12C．15D．24
【答案】C
【詳解】解：記為的中位數(shù)，為中對(duì)應(yīng)的中位數(shù)
因?yàn)椋?br>所以為
故選C.
8．七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長(zhǎng)為4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形．若該同學(xué)從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，，，，，的面積分別為，，．
將，，，，分別記為，，，，，從這5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，則樣本空間，共有10個(gè)樣本點(diǎn)．
記事件表示“從5個(gè)三角形中任取出2個(gè)，這2個(gè)三角形的面積之和不小于另外3個(gè)三角形面積之和”，則事件包含的樣本點(diǎn)為，，，共3個(gè)，所以．
故選：D．
9．甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人的能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)甲、乙獲一等獎(jiǎng)的概率分別是，不獲一等獎(jiǎng)的概率是，則這兩人中恰有一人獲獎(jiǎng)的事件的概率為：.
故選：D
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．下列說(shuō)法正確的是（）
A．某事件發(fā)生的頻率為
B．不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1
C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件
D．某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的
【答案】B
【詳解】解：對(duì)于A，事件發(fā)生的頻率為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，故B正確；
對(duì)于C，小概率事件是指發(fā)生可能性極小的事件，是可能發(fā)生的，并不是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是發(fā)生可能性很大的事件，也可能不發(fā)生，并不是必然要發(fā)生的事件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，概率是穩(wěn)定值，是頻率的理想值，并不會(huì)隨著頻率變化而變化，故與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
2．某校高三（1）班有56名學(xué)生，學(xué)號(hào)為01到56，現(xiàn)采用隨機(jī)數(shù)表法從該班抽取8名學(xué)生參與問(wèn)卷調(diào)查，已知隨機(jī)數(shù)表中第2行和第3行的各數(shù)如下：
98 29 32 60 57 34 81 32 08 92 15 64 59 72 08 26
75 90 86 73 51 98 75 81 70 09 16 21 80 89 79 30
若從隨機(jī)數(shù)表的第2行第5列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則抽取的第6名學(xué)生的學(xué)號(hào)是（）
A．08B．26C．51D．09
【答案】C
【詳解】由題意可知抽取的學(xué)生的學(xué)號(hào)依次為32，34，08，15，26，51，09，16，
則抽取的第6名學(xué)生的學(xué)號(hào)是51.
故選：C.
3．一個(gè)袋子里有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，6個(gè)黑球，若隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記A＝{摸出黑球}，B＝{摸出紅球}，C＝{摸出白球}，則事件及的概率分別為（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【詳解】，，．因?yàn)槭录嗀，B，C兩兩互斥，則．．
故選：A.
4．饕餮紋是青銅器上常見(jiàn)的花紋之一，將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，有一點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)P經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，跳3次，所有的情況有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)共8種，
“3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餐紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”的情況有 (下，下，右)共1種，
由古典概型的概率公式可知,
故選:B
5．下列命題正確的是（）
A．事件、滿足，則、是對(duì)立事件
B．互斥事件一定是對(duì)立事件
C．若事件、、兩兩互斥，則
D．若為不可能事件，則
【答案】D
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，例如，在編號(hào)為、、、、的小球中任取一球，
定義事件所抽小球的編號(hào)不小于，定義事件所抽小球編號(hào)不小于，
則，且，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，互斥事件不一定是對(duì)立事件，但對(duì)立事件一定是互斥事件，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，若事件、、兩兩互斥，則，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若為不可能事件，則，D對(duì).
故選：D
6．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定五局三勝制（無(wú)平局），已知甲每局獲勝的概率都為，且前兩局以領(lǐng)先，則最后甲獲勝的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】最后甲獲勝含3種情況：①第三局甲勝，概率為；
②第三局乙勝，第四局甲勝，概率為；
③第三局和第四局乙勝，第五局甲勝，概率為．
所以最后甲獲勝的概率為．
故選：D
7．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．事件A與事件B互斥
C．事件A與事件B相互獨(dú)立D．
【答案】C
【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本事件，則，A不正確；
事件B含有的基本事件有8個(gè)：，
其中事件發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；
拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，，
即事件A與事件B相互獨(dú)立，C正確；
，D不正確.
故選：C
8．已知A和B是隨機(jī)試驗(yàn)E中的兩個(gè)隨機(jī)事件，事件，下列選項(xiàng)中正確的是（）
A．A與B互斥B．A與C互斥
C．A與B相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立
【答案】C
【詳解】由題知，，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，A發(fā)生時(shí)C一定發(fā)生，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br>又，所以，故C正確；
因?yàn)椋?，由，，故D錯(cuò)誤.
故選：C
二、多選題
9．最近幾個(gè)月，新冠肺炎疫情又出現(xiàn)反復(fù)，各學(xué)校均加強(qiáng)了疫情防控要求，學(xué)生在進(jìn)校時(shí)必須走測(cè)溫通道，每天早中晚都要進(jìn)行體溫檢測(cè)并將結(jié)果上報(bào)主管部門.某班級(jí)體溫檢測(cè)員對(duì)一周內(nèi)甲乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A．甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃
B．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)與平均數(shù)相等
C．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
D．甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.4℃
【答案】ABC
【詳解】觀察折線圖知，甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃，A正確；
乙同學(xué)體溫從小到大排成一列：36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，
乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)為36.4℃，平均數(shù)℃，B正確；
乙同學(xué)的體溫波動(dòng)較甲同學(xué)的小，極差為0.2℃，也比甲同學(xué)的小，因此乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，C正確；
將甲同學(xué)的體溫從小到大排成一列：36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，
因，則甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.5℃，D不正確.
故選：ABC
10．某學(xué)校為了了解高中生的藝術(shù)素養(yǎng)，從學(xué)校隨機(jī)選取男、女同學(xué)各50人進(jìn)行研究，對(duì)這100名學(xué)生在音樂(lè)、美術(shù)、戲劇、舞蹈等多個(gè)藝術(shù)項(xiàng)目進(jìn)行多方位的素質(zhì)測(cè)評(píng)，并把測(cè)評(píng)結(jié)果轉(zhuǎn)化為個(gè)人的素養(yǎng)指標(biāo)x和y，制成下圖，其中“*”表示男同學(xué)，“+”表示女同學(xué)．
若，則認(rèn)定該同學(xué)為“初級(jí)水平”；若，則認(rèn)定該同學(xué)為“中級(jí)水平”；若，則認(rèn)定該同學(xué)為“高級(jí)水平”．若，則認(rèn)定該同學(xué)為“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”；否則為“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)”．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（）
A．50名參加測(cè)試的女同學(xué)中，指標(biāo)的有20人
B．從50名女同學(xué)中隨機(jī)選出1名，則該同學(xué)為“初級(jí)水平”的概率為
C．50名參加測(cè)試的男同學(xué)中，“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)且為中級(jí)或高級(jí)水平”的有24人
D．從所有“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)卻為中級(jí)或高級(jí)水平”的男同學(xué)中任選2名，則選出的2名均為“高級(jí)水平”的概率為
【答案】AC
【詳解】由圖知，在50名參加測(cè)試的女同學(xué)中，指標(biāo)的有15人，故A說(shuō)法錯(cuò)誤；
從50名女同學(xué)中隨機(jī)選出1名，則該同學(xué)為“初級(jí)水平”的概率為，故B說(shuō)法正確；
由圖知，參加測(cè)試的男同學(xué)中，“具備一定藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)且為中級(jí)或高級(jí)水平”的有26人，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；
由圖知，“不具備明顯藝術(shù)發(fā)展?jié)撡|(zhì)卻為中級(jí)或高級(jí)水平”的男同學(xué)共有6人，其中“中級(jí)水平”有3人，分別記為，，，“高級(jí)水平”有3人，分別記為，，，則任選2名的樣本空間，共有15個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件C表示“兩人均為高級(jí)水平”，則，有3個(gè)樣本點(diǎn)，所以，故D說(shuō)法正確.
故選：AC
三、填空題
11．一組5個(gè)數(shù)據(jù)中，前4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，全部5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19，則第5個(gè)數(shù)據(jù)是______．
【答案】15
【詳解】設(shè)5個(gè)數(shù)據(jù)為，因?yàn)榍?個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20，
所以，則①，
全部5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19，
所以，所以②，
②①得：.
故答案為：15.
12．一家藥物公司試驗(yàn)一種新藥，在500個(gè)病人中試驗(yàn)，其中307人有明顯療效，120人有療效但療效一般，剩余的人無(wú)療效，則沒(méi)有明顯療效的頻率是______．
【答案】0.386##
【詳解】解：由題意可得沒(méi)有明顯療效的人數(shù)為，
所以沒(méi)有明顯療效的頻率為，
故答案為：0.386
四、解答題
13．柜子里有雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)取出只，那么
(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間．
(2)求事件“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”的概率．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）記第雙鞋左右腳編號(hào)為，第雙鞋左右腳編號(hào)為，第雙鞋左右腳編號(hào)為，
則樣本空間為.
（2）由（1）知：，
，，
.
14．微信中有個(gè)“微信運(yùn)動(dòng)”，記錄一天行走的步數(shù).小王的“微信步數(shù)排行榜”里有120個(gè)好友．
(1)若小王想統(tǒng)計(jì)性別對(duì)于運(yùn)動(dòng)步數(shù)的影響，他選擇以分層抽樣的方法選取一個(gè)30人的樣本，已知小王“微信步數(shù)排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所選取的樣本中有女性多少人?
(2)某一天，小王的微信顯示“您今天超越了的好友運(yùn)動(dòng)步數(shù)”，于是小王對(duì)120個(gè)好友的步數(shù)做了統(tǒng)計(jì)，作出如下頻率分布直方圖，若數(shù)據(jù)均勻分布，求這天大家的運(yùn)動(dòng)平均步數(shù)．并估算小王這天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)（結(jié)果精確到）．
【答案】(1)12
(2)運(yùn)動(dòng)平均步數(shù)萬(wàn)步，小王的運(yùn)動(dòng)步數(shù)約為萬(wàn)步
【詳解】（1）由題意得好友中男性有72人，女性有48人，
選取30人的樣本，則應(yīng)選取女性人
（2）由解得，
則運(yùn)動(dòng)平均步數(shù)（萬(wàn)步）
運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，在的頻率為，
則位數(shù)位于間，小王的運(yùn)動(dòng)步數(shù)為（萬(wàn)步）
15．建三江一快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)?延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)?延遲5至10分鐘送達(dá)?其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元?獎(jiǎng)勵(lì)0元?罰款3元?罰款6元，假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.
(1)若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；
(2) 若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為6元的概率.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，
由題意，事件兩兩互斥，
又“不被罰款”，
所以.
因此“不被罰款”的概率為.
（2）若想要獎(jiǎng)勵(lì)之和為6元，則需要兩個(gè)訂單都評(píng)定為A級(jí)，設(shè)兩單獎(jiǎng)勵(lì)之和為6元為事件，所以.
【能力提升】
一、單選題
1．從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中任取4個(gè)球，那么互斥但不對(duì)立的事件是（）
A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球
B．至少有一個(gè)紅球與都是白球
C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球
D．恰有2個(gè)紅球與恰有3個(gè)紅球
【答案】D
【詳解】從裝有6個(gè)紅球和5個(gè)白球的口袋中任取4個(gè)球，
在A中，至少一個(gè)紅球與都是紅球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
在B中，至少一個(gè)紅球與都是白球是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；
在C中，至少一個(gè)紅球與至少一個(gè)白球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；
在D中，恰有2個(gè)紅球與恰有3個(gè)紅球是互斥而不對(duì)立的事件，故D正確．
故選：D．
2．春運(yùn)期間，小明和小華兩位同學(xué)報(bào)名參加了去本地客運(yùn)站疏導(dǎo)乘客的公益活動(dòng)，若兩人分別被隨機(jī)分配到、、三個(gè)客運(yùn)站中的一個(gè)，則兩人被分在同一個(gè)客運(yùn)站的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】?jī)扇吮浑S機(jī)分到三個(gè)客運(yùn)站，一共有種分法，其中，兩人被分到同一個(gè)客運(yùn)站的分法有3種，所以所求概率為．
故選：D．
3．某省在新高考改革方案中規(guī)定：每位考生必選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)科，再?gòu)奈锢?、歷史科中選科，從化學(xué)、生物、地理、政治科中選科，甲考生隨機(jī)選擇，最后他選擇物理、化學(xué)、地理這個(gè)組合的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】在物理、歷史任選一科只有兩種選法；
而在化學(xué)、生物、地理、政治中任選二科有六種選法；
甲考生隨機(jī)選科的組合共有12種，即
物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，
歷化生，歷化地，歷化政，歷生地，歷生政，歷地政.
滿足要求的組合為：物化地共一種；
所以甲考生選擇物理、化學(xué)、地理的概率為 .
故選：C.
4．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，事件“取出的2球至少有一個(gè)白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】依題意，，，而，A不正確；
，，B不正確；
事件是含有1個(gè)白球與含有兩個(gè)白球的兩個(gè)互斥事件和，事件是含有1個(gè)白球與沒(méi)有白球的兩個(gè)互斥事件和，
事件是必然事件，因此，C正確；
因，，則，即D不正確.
故選：C
5．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說(shuō)法不正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，事件A與事件不獨(dú)立
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，事件A與事件不獨(dú)立
【答案】D
【詳解】當(dāng)時(shí)，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，
且，,，，，，
所以，故A正確；
，所以事件A與事件不獨(dú)立，故B正確；
當(dāng)時(shí)，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，
(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，
(反，反，反)，共8種，
，，，，
所以，故C正確；
，，，，所以事件A與事件獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
二、填空題
6．一所初級(jí)中學(xué)為了估計(jì)全體學(xué)生的平均身高和方差，通過(guò)抽樣的方法從初一年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為154cm，方差為30；從初二年級(jí)隨機(jī)抽取了40人，計(jì)算得這40人的平均身高為167cm，方差為20；從初三年級(jí)隨機(jī)抽取了30人，計(jì)算得這30人的平均身高為170cm，方差為10．依據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用樣本的方差估計(jì)全校學(xué)生身高的方差，則全校學(xué)生身高方差的估計(jì)值為_(kāi)________．
【答案】64.4
【詳解】初一學(xué)生的樣本記為，，…，，方差記為，初二學(xué)生的樣本記為，，…，，方差記為，初三學(xué)生的樣本記為，，…，，方差記為．
設(shè)樣本的平均數(shù)為，則，
設(shè)樣本的方差為．
則
又，
故，
同理，，
因此，
．
故答案為：.
7．2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為“頂流”，吸引了許多人購(gòu)買，使一“墩”難求.甲?乙?丙3人為了能購(gòu)買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購(gòu)買，若甲?乙2人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為，丙購(gòu)買到冰墩墩的概率為，則甲，乙?丙3人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為_(kāi)__________.
【答案】
【詳解】因?yàn)榧滓?人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購(gòu)買不到冰墩墩的概率.
同理，丙購(gòu)買不到冰墩墩的概率.
所以，甲乙丙3人都購(gòu)買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購(gòu)買到冰墩墩的概率.
故答案為：.
三、解答題
8．甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽要求雙方下滿五盤棋，已知第一盤棋甲贏的概率為，由于心態(tài)不穩(wěn)，若甲贏了上一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率依然為，若甲輸了上一盤棋，則下一盤棋甲贏的概率就變?yōu)椋阎荣悰](méi)有和棋，且前兩盤棋都是甲贏．
(1)求第四盤棋甲贏的概率；
(2)求比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好贏三盤棋的概率．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）記第四盤棋甲贏的事件為A，它是第三盤棋甲贏和甲輸?shù)膬蓚€(gè)互斥事件的和，
，，則，
所以第四盤棋甲贏的概率是.
（2）記甲恰好贏三盤棋的事件為B，它是后三盤棋甲只贏一盤的三個(gè)互斥事件的和，
甲只在第三盤贏的事件為、只在第四盤贏的事件為、只在第五盤贏的事件為，
則，，，
則有，
所以比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好贏三盤棋的概率為.
9．某班名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：
(1)求這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù)；
(2)從成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中任選人，求此人的成績(jī)都在中的概率.
【答案】(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為(2)
【詳解】（1），；
由頻率分布直方圖可知：這次數(shù)學(xué)考試學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為；
平均數(shù)為.
（2）由（1）得：成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，記為；
從上述人中，任選人，則有，，，，，，，，，，共種情況；
其中人的成績(jī)都在中的情況有：，，，共種；
人的成績(jī)都在中的概率.
10．女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少25分，并同時(shí)超過(guò)對(duì)方2分時(shí)，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝.在比賽中，每一個(gè)回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，輸球的一方不得分.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來(lái)的每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，求甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率；
(2)若前四局比賽中甲?乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分均為14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為.求甲隊(duì)在4個(gè)球以內(nèi)（含4個(gè)球）贏得整場(chǎng)比賽的概率.
【答案】(1)(2)
（1）
甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A，所以甲隊(duì)最后贏得整場(chǎng)比賽的概率為.
（2）
設(shè)甲隊(duì)x個(gè)球后贏得比賽，根據(jù)比賽規(guī)則，x的取值只能為2或4,對(duì)應(yīng)比分為
兩隊(duì)打了2個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，
打第二個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為；
兩隊(duì)打了4個(gè)球后甲贏得整場(chǎng)比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，
打第二個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第三個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，
或打第一個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第二個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第三個(gè)球甲發(fā)球甲得分，
打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為.
故所求概率為：
定義
表示法
圖示
包含關(guān)系
一般地，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)
記作A?B(或B?A)
互斥事件
給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?)
若A∩B＝?，則A與B互斥
對(duì)立事件
給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件，記作A
若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，則A與B對(duì)立
定義
表示法
圖示
并事件
給定事件A，B，由所有A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的和(或并)
記作A＋B(或A∪B)
交事件
給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的積(或交)
記作AB(或A∩B)

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