第12講向量的數(shù)量積-【預習】高一數(shù)學寒假銜接講義練習（人教B版必修第三冊）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.了解向量數(shù)量積的物理意義，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
2．掌握向量數(shù)量積的定義、理解其幾何意義，重點提升直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．
3.掌握平面向量數(shù)量積的運算律，并要注意運算律的適用范圍以及與實數(shù)乘法運算律的區(qū)別，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
4.會應用向量數(shù)量積的運算律進行相關(guān)的計算或證明等問題，重點提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)．
5.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會用向量的坐標形式求數(shù)量積，重點培養(yǎng)數(shù)學運算核心素養(yǎng)．
6．能根據(jù)向量的坐標計算向量的模、夾角及判定兩個向量垂直，進一步提升數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．
【知識導航】
知識點一兩個向量的夾角
1．設非零向量a，b，能否把a，b平移到共同起點？
提示：能．
2．△ABC為正三角形，向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))的夾角是多少？向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))的夾角又是多少？
提示：60°，120°.
知識點二向量數(shù)量積的定義
如圖，在力F的作用下，木塊在水平方向上移動了5 m，若F＝3 N.
(1)則力F做的功是多少？
(2)力做功的大小與哪些量有關(guān)？
提示：(1)3×5×cs 30°＝eq \f(15 \r(3),2) (J)．
(2)與力的大小、位移的大小及它們的夾角有關(guān)．
1．平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a與b，則把數(shù)量|a||b|cs 〈a，b〉稱為a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
2．向量數(shù)量積的性質(zhì)
(1)|a·b|≤|a||b|
(2)a·a＝|a|2，即|a|＝ eq \r(a·a)
(3)a⊥b?a·b＝0
(4)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
(5)當a與b同向時a·b＝|a||b|
當a與b反向時a·b＝－|a||b|
[點撥]
1．兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．
2．兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．
向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
在平面直角坐標系中
1．過點A(1，1)，點B(3，2)向x軸引垂線、垂足分別為A1、B1，則向量eq \(AB,\s\up6(→))在x軸方向上的投影及投影的數(shù)量分別是什么？
提示：eq \(A1B1,\s\up6(→))；|eq \(A1B1,\s\up6(→))|＝2.
2．過點C(－1，1)向x軸引垂線，垂足為C1，則向量eq \(OC,\s\up6(→))在x軸上的投影及投影的數(shù)量分別是什么？二者有什么聯(lián)系？
提示：向量eq \(OC1,\s\up6(→))、－|eq \(OC1,\s\up6(→))|＝－1；投影是一個向量，而投影的數(shù)量與投影的長度和向量eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(Ox,\s\up6(→))的夾角有關(guān)．當〈eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(Ox,\s\up6(→))〉為鈍角時，向量eq \(OC,\s\up6(→))在x軸上的投影的數(shù)量為－|eq \(OC1,\s\up6(→))|.
1．投影：向量b在a上的投影的數(shù)量|b|cs 〈a，b〉；
向量a在b上的投影的數(shù)量|a|cs 〈a，b〉．
2．a(chǎn)·b的幾何意義
a·b等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積．
[拓展]
對向量的投影的數(shù)量的幾點說明
(1)設非零向量a與b的夾角是θ，則a在b方向上的投影的數(shù)量也可以寫成eq \f(a·b,|b|)，它的符號取決于角θ的余弦值．
(2)按照投影的定義，非零向量a在b方向上的投影的數(shù)量為|a|cs θ(θ是a與b的夾角)，我們可以借助下面的圖形對具體情況進行分析：
知識點三向量數(shù)量積的運算律
1．如圖，|a|＝|b|＝6，θ＝120°，
比較a·b與b·a；(2a)·b與a·(2b)的大小關(guān)系．
提示：a·b＝b·a＝18.
(2a)·b＝36，a·(2b)＝36.即(2a)·b＝a·(2b)．
2．若a，b，c均為非零向量，且a·b＝b·c，則a＝c正確嗎？
提示：不正確．因為a·b＝c·b表示向量a，c在b上投影的數(shù)量相等，如圖并不能說明a＝c.
1．已知向量a，b，c與實數(shù)λ.
2.數(shù)量積運算的常用結(jié)論．
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
[點撥]
向量數(shù)量積與實數(shù)運算的不同
(1)實數(shù)運算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0，推出a＝0，或b＝0.實際上由a·b＝0，可推出以下四種可能：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0但a⊥b.
(2)在實數(shù)運算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立．這是因為|a·b|＝|a||b||cs〈a，b〉|，而|cs〈a，b〉|≤1.
(3)實數(shù)運算滿足消去律，即若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝b·c(b≠0)，則只能得到向量a，c在向量b方向上的投影的數(shù)量相同，不能得到a＝c.
如圖，雖然a·b＝b·c，但a≠c.
知識點四向量的坐標與向量的數(shù)量積
已知兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量，則a，b如何用i，j表示？
(2)|a|，|b|分別用坐標怎樣表示？
(3)能用a，b的坐標表示a·b嗎？
提示：(1)a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2)|a|＝ eq \r(（x1i＋y1j）2)＝ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))；
|b|＝ eq \r(（x2i＋y2j）2)＝ eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
(3)a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2
＝x1x2＋y1y2.
1．平面向量數(shù)量積的坐標表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．
2．兩個向量垂直的坐標表示
設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
3．三個重要公式
(1)向量模的公式：設a＝(x1，y1)，則|a|＝ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
(3)向量的夾角公式：設兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))· \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))) .
[點撥]
1．公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．
2．向量垂直的坐標表示與向量平行的坐標表示不能混淆，可以從平行與垂直的定義來理解．設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，則x2y1－x1y2＝0.垂直則是從數(shù)量積的角度理解，若a⊥b，則a·b＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
【知識預習】
考點一：向量數(shù)量積的概念
1．已知向量，在方向上的投影向量為，則（）
A．4B．8C．D．
【答案】C
【詳解】由得，根據(jù)在方向上的投影向量為，可知在方向上的投影為，故根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，等于與在方向上的投影的乘積，故，
故選：C
2．已知，，與的夾角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】.
故選：A.
3．正的邊長為1，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】．
故選：B．
4．如圖，在菱形ABCD中，若，則（）
A．8B．C．4D．
【答案】B
【詳解】解：，因為四邊形ABCD為菱形，所以，且，所以，
所以.
故選：B
5．已知，，向量在方向上投影是4，則為（）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【詳解】解：設兩個向量的夾角為，由題意已知，，
向量在方向上投影是4，則，
所以；
故選：A.
考點二：向量數(shù)量積的運算率
6．已知，，，則與的夾角是（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【詳解】，
因為，
所以，
與的夾角是120°.
故選：C
7．已知向量滿足，則與的夾角為（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【詳解】解：因為，所以，
設與的夾角為，則，
因為，
所以，
故選：B.
8．若夾角為的非零向量，滿足且，則（）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【詳解】因為，所以，即，所以，將代入得.
故選：C.
9．已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由已知可得.
故選：A.
10．已知，，與的夾角為，那么（）
A．4B．3C．2D．
【答案】D
【詳解】.
故選：D.
考點三：向量數(shù)量積的坐標運算
11．已知向量，且，則的值是（）
A．B．C．3D．
【答案】C
【詳解】由于，所以.
故選：C
12．已知向量，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，則，所以C正確.
故選：C.
13．已知向量，且，則（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【詳解】，，
由于，
所以，
解得：
故選：B
14．已知向量，點，，則向量在上的投影向量的模長為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，故在上的投影向量的模長為
.
故選：D
15．已知，，則（）
A．B．1C．D．
【答案】B
【詳解】∵，
所以，
由，
所以.
故選：B.
【對點訓練】
一、單選題
1．已知向量，，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，解得，故.
故選：A
2．已知平面向量滿足，若，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【詳解】由得，
由得，即
故選：B
3．已知向量，，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：，因為，所以，
故選：C
4．已知平面向量的夾角為，且，則（）
A．4B．4C．8D．8
【答案】C
【詳解】因為平面向量的夾角為，且，
所以，
故選：C
5．設向量，，則在上的投影的數(shù)量為（）
A．1B．2C．1D．2
【答案】B
【詳解】因為，，
所以在上的投影的數(shù)量為
，
故選：B
6．設非零向量，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：由題意
，
，
，
，
故選：B.
7．已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，，
所以，
所以，
故選：A
8．設，向量，且，則等于（）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【詳解】由知：且，則，可得，即，
由知：，可得，即，
所以，故.
故選：B
二、多選題
9．設向量，，則（）
A．B．
C．D．與的夾角為
【答案】CD
【詳解】由題意，，，
則，，故A錯誤；
易知，由，
所以與不平行，故B錯誤；
又，即，故C正確；
因為，
又，所以與的夾角為，故D正確．
故選：CD．
10．向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（）
A．B．與的夾角為
C．D．在上的投影向量為
【答案】BC
【詳解】，,
,解得,故A錯誤
,，
由于，與的夾角為，故B正確,
,故C正確
在上的投影向量為，故D錯誤,
故選：BC
三、填空題
11．已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．
【答案】且.
【詳解】由得，，.
由已知得，，所以，即，且不共線.
則，.
又不共線，則.
所以，的取值范圍為且.
故答案為：且.
12．已知向量滿足，，與的夾角為，則在上的投影為________．
【答案】
【詳解】解：由于，，與的夾角為，則
則在上的投影為：.
故答案為：.
四、解答題
13．已知與的夾角為．
(1)求的值；
(2)設，求的夾角．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由已知，得：，
∴，
∴；
（2）∵，
，
∴，
由（1）得：，
∴，
∵，∴.
14．已知向量.
(1)已知，求向量與的夾角；
(2)若，求實數(shù)的值.
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）因為，所以，
故，
因為，所以向量與的夾角；
（2），
，
由于，
所以，
解得：或，
從而或.
15．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若與的夾角為銳角，求x的取值范圍.
【答案】(1)2或；(2)
【詳解】（1）由題意得：，解得：或，
當時，，所以；
當時，，
所以；
（2）因為與的夾角為銳角，
所以，且與不同向共線，
即，
解得：，且，
綜上：x的取值范圍是.
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．已知，，則（）
A．1B．C．2D．或2
【答案】C
【詳解】因為，
所以，.
故選：C.
2．已知向量與向量的夾角為60°，，，則（）
A．20B．10C．D．
【答案】B
【詳解】因向量與向量的夾角為60°，，，
所以，B正確.
故選：B
3．已知向量滿足，且，則夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設夾角為，，即，.
故選：A
4．已知向量，，，且，則實數(shù)m的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，由可得，
解得．
故選：A．
5．已知平面向量是非零向量，，夾角?，則向量?在向量?方向上的投影為（）
A．?B．1C．?D．2
【答案】A
【詳解】向量?在向量?方向上的投影為.
故選：A
二、填空題
6．已知，，向量在上的投影向量為__.
【答案】
【詳解】向量在上的投影向量為.
故答案為：
7．已知向量滿足，則與的夾角為_______________．
【答案】
【詳解】，
，
設與的夾角為，
，
因為，
所以，
故答案為：
三、解答題
8．已知，，.
(1)求與的夾角；
(2)求與的夾角的余弦值．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）由已知，得，
因為，所以.
又，
所以cs，
因為，所以.
（2）因為，所以，
因為，所以.
所以.
9．已知向量，．
(1)求；
(2)若向量與互相垂直，求的值．
【答案】(1)1(2)
【詳解】（1）由，，
.
（2）若向量與互相垂直，
則，
所以．
10．如圖，在中，，為邊的中點．設向量，向量，求：
(1)；
(2)求．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1），
.
（2）.
定義
已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ稱為向量a與b的夾角.
范圍
〈a，b〉∈[0，π]，〈a，b〉＝〈b，a〉
特例
θ＝0
a與b同向
θ＝π
a與b反向
θ＝eq \f(π,2)
a與b垂直，記作a⊥b，規(guī)定0與任意向量垂直
θ的范圍
θ＝0°
0°＜θ＜90°
θ＝90°
90°＜θ＜180°
θ＝180°
圖形
交換律
a·b＝b·a
結(jié)合律
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c

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