第01講集合與常用邏輯用語-【復(fù)習(xí)】高一數(shù)學(xué)寒假銜接講義練習(xí)（人教B版必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【易錯點(diǎn)總結(jié)】
集合的概念
1.集合的概念
元素：把研究對象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.
集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.
集合中元素的特征：
只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.
注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等?？疾旎ギ愋缘膯栴}一般是針對數(shù)字類的題目，注意同一個數(shù)字不同的表示方法。
元素與集合的關(guān)系
如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記做；
如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記做.
熟記數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法
注意：當(dāng)元素屬于集合時，應(yīng)該進(jìn)行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗證集合中的元素是否滿足元素的三個特征。
集合的分類與表示
集合的分類：
（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無限集、空集；
（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點(diǎn)集以及其他集合.
表示方法：
（1）自然語言描述法.
（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號 “｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法。
（3）描述法：設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．
二、集合間的基本關(guān)系
子集和真子集
子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集.
記作：
讀作：“A包含于B”(或“B包含A”)
符號語言：任意
Venn圖：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.
A?B可以用圖表示為：
真子集：如果集合A?B,但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集.
記作：（或).
空集
空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為?.
空集是任何集合的子集，即對于任意一個集合A，有??A
集合相等：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A=B.
子集的個數(shù)
若一個集合含有m個元素，則其子集有2m個，真子集有(2m -1)個，非空真子集有(2m -2)個；
三、集合的基本運(yùn)算
并集
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B};
Venn圖表示:
交集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；
交集的Venn圖表示：
補(bǔ)集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.
補(bǔ)集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集(cmplementary set)，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作：即；
補(bǔ)集的Venn圖表示：
四、充分條件與必要條件
1.充分條件與必要條件
充要條件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．
概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．
(2)若p ? q，但q p，則稱p是q的充分不必要條件．
(3)若q ? p，但p q，則稱p是q的必要不充分條件．
(4)若p q，且q p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．
3.從集合角度看充分、必要條件
五、全稱量詞與存在量詞
1.全稱量詞與全稱量詞命題
(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．
(2)含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．
2.存在量詞與存在量詞命題
(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．
(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”．
3.含有一個量詞的命題的否定﹁
一般地，對于含有一個量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：
全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
存在量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：集合的概念
1．現(xiàn)有以下說法，其中正確的是
①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個集合；
②正方體的全體構(gòu)成一個集合；
③未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合；
④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【詳解】在①中，接近于0的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個集合，故①錯誤；在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個集合，故②正確；在③中，未來世界的高科技產(chǎn)品不能構(gòu)成一個集合，高科技的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯誤；在④中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個集合，故④正確．故選D．
2．下列四個命題：①{0}是空集；②若a∈N，則－a?N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有兩個元素；④集合是有限集．其中正確命題的個數(shù)是（）
A．1B．2
C．3D．0
【答案】D
【詳解】①{0}是含有一個元素0的集合，不是空集，所以①不正確；
②當(dāng)a＝0時，0∈N，所以②不正確；
③因為由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正確；
④當(dāng)x為正整數(shù)的倒數(shù)時，∈N，所以是無限集，所以④不正確．
故選：D
考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系
3．已知集合，，則下列關(guān)系正確的是（）
A．M＝NB．MN
C．N?MD．NM
【答案】B
【詳解】由集合，，
可知M是N的真子集，故A、C錯誤，B正確；
集合、之間不是元素與集合的關(guān)系，故D錯誤.
故選：B.
4．給出以下5組集合：
①M(fèi)＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；
②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；
③M＝，N＝{0}；
④M＝{}，N＝{3.1415}；
⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}.
其中是相等集合的有（）
A．1組B．2組
C．3組D．4組
【答案】A
【詳解】對于①，M＝{(－5，3)}中只有一個元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有兩個元素－5，3，故M，N不是相等集合；對于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；對于③，M＝，N＝{0}，M是空集，N中有一個元素0，故M，N不是相等集合；對于④，M＝{}，N＝{3.1415}，M和N中各有一個元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；對于⑤，M和N都只有兩個元素1，2，所以M和N是相等集合.
故選：A.
考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算
5．設(shè)全集，集合，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以，故選：D．
6．已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【詳解】解：，，
，故A不正確；
，故B不正確；
或，
或或，故C不正確；
或，故D正確．
正確的是D．
故選：D．
考點(diǎn)四：充分條件與必要條件
7．若為實數(shù)，則是的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】由題意，若，則或，故充分性不成立；
若，則，故必要性成立.
因此，是的必要不充分條件.
故選：B
8．“x=3”是“”的（）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不必要也不充分
【答案】A
【詳解】由可得，即或
則“x=3”是“”的充分不必要條件
故選：A
考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞
9．命題“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【詳解】命題“，”的否定是“，”
故選：B.
10．已知命題，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】命題為真命題，則，解得或
故選：B
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．一次函數(shù)與的圖像交點(diǎn)組成的集合是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】聯(lián)立方程組，解得，
所以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)組成的集合是.
故選：C.
2．已知集合，則（）
A．B．
C．D．R
【答案】D
【詳解】由題意可得，，則.
故選：D.
3．《三字經(jīng)》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成為器物”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】“打磨玉石”不一定“成為器物”，故充分性不成立，
但“成為器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，
所以“打磨玉石”是“成為器物”的必要不充分條件.
故選:B.
4．若命題p：“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題可知，，則有，
因為，所以，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以，
故選:C.
5．已知集合，，則子集的個數(shù)為（）．
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【詳解】解：集合，，
則集合中含有3個元素，
故集合的子集個數(shù)為．
故選：D．
6．設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以?，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
7．某小學(xué)對小學(xué)生的課外活動進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動的有63人，參加唱歌課外活動的有89人，參加體育課外活動的有47人，三種課外活動都參加的有24人，只選擇兩種課外活動參加的有22人，不參加其中任何一種課外活動的有15人，則接受調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（）
A．120B．144C．177D．192
【答案】B
【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活動的小學(xué)生分別用集合表示，
則，，
不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為，韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為，
即，
，
由容斥原理：
，
解得：，
故選：B.
8．已知集合，，且，則實數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】.
因為，所以，，.
當(dāng)時，關(guān)于x的方程無解，所以；
當(dāng)時，是關(guān)于x的方程的根，所以；
當(dāng)時，是關(guān)于x的方程的根，所以.
故實數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.
故選：D
二、多選題
9．已知全集，集合、滿足?，則下列選項正確的有（）
A．B．C．D．
【答案】BD
【詳解】因為?，所以，，因此選項A錯誤，B正確；
因為?，所以存在，
因此有，所以，因此選項C不正確；
因為?，所以都有，而，
所以，因此選項D正確，
故選：BD
10．下列說法正確的是（）
A．命題“，”的否定是“，”
B．存在，使得是真命題；
C．若命題“，”為假命題，則實數(shù)n的取值范圍是
D．已知集合，則滿足條件的集合B的個數(shù)為15
【答案】AC
【詳解】對于A：命題“，”的否定是“，”，
即選項A正確；
對于B：因為，即方程無實數(shù)解，也無有理數(shù)解，
即存在，使得是假命題，即選項B錯誤；
對于C：若命題“，”為假命題，
則若命題“，”為真命題，
即無實數(shù)解，則，
解得，即選項C正確；
對于D：因為，所以，又因為，
所以滿足條件的集合有無數(shù)個，即選項D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
11．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為__________．
【答案】
【詳解】由題意得，，全集，
所以，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故答案為：
12．已知命題p：，.若命題為真命題，則實數(shù)a的最大值是______.
【答案】－4
【詳解】因為命題p：，，
所以命題：，，
因為命題為真命題，
所以在上恒成立，
令，
對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以實數(shù)a的最大值為，
故答案為：.
四、解答題
13．已知集合，集合．
(1)求；
(2)設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，或，
(2)
【詳解】（1）由題得，集合，集合
所以或，
所以.
（2）由（1）得或
由題得，，
因為，
所以，解得．
所以實數(shù)的取值范圍是．
14．命題：“，”，命題：“，”，若，都為真命題時，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【詳解】由，當(dāng)時，二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，
因為為真命題，所以有；
因為為真命題，所以方程有實數(shù)根，
因此有，或，
因此要想，都為真命題，只有，或，解得，或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
15．已知全集，集合，集合.條件①；②是的充分條件：③，使得.
(1)若，求；
(2)若集合A，B滿足條件___________.（三個條件任選一個作答），求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）若，則，
（2）（2）若選①因為
所以，
則，
所以
所以實數(shù)的取值范圍為.
若選②是的充分條件，則，
則，
所以
所以實數(shù)的取值范圍為.
若選③，使得，則，
則，
所以
所以實數(shù)的取值范圍為.
【能力提升】
一、單選題
1．已知集合，，，則（）
A．B．C．或D．
【答案】C
【詳解】因為，，
所以或，
所以或．
故選：C．
2．若命題“，”為假命題，則的取值范圍是（）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【詳解】命題“，”的否定為“，”，該命題為真命題，即，解得.
故選：A
3．已知x、y都是實數(shù)，那么“”的充分必要條件是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】對于A，，故“”是“”的充分不必要條件，不符合題意；
對于B，，即“”是“”的充要條件，符合題意；
對于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；
對于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；
故選：B.
4．若不等式成立的充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：不等式成立的充分條件是，
設(shè)不等式的解集為A，則，
當(dāng)時，，不滿足要求；
當(dāng)時，，
若，則，解得.
故選：A.
5．已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
對于集合，有解得，且，所以且
所以.
故選：A
二、填空題
6．行知中學(xué)高一某班學(xué)生參加物理和數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班的選拔，已知該班學(xué)生參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三；參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)比參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)多3人；兩個科目都參加選拔的人數(shù)比兩個科目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人；則該班參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是__________.
【答案】18
【詳解】記該班全體學(xué)生形成集合U，該班學(xué)生人數(shù)為n，參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人形成集合A，則，
參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人形成集合B，則，兩個科目都參加選拔的人數(shù)為，
于是得，
兩個科目都不參加的學(xué)生人數(shù)為，依題意，，
即有，解得，則，
所以該班參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是18.
故答案為：18
7．已知命題“，恒成立”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】已知命題“，恒成立”是真命題.
當(dāng)時，則有恒成立，合乎題意；
當(dāng)時，則有，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
三、解答題
8．已知集合
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求a的取值范圍
【答案】(1)或(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，，化簡得，
集合，所以或，
所以或;
（2）因為，化簡得，
由（1）得，因為，顯然集合不可能為空集，
所以，解得.
9．已知集合，．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或．
【詳解】由已知得：，．
（1）∵，
∴，可得．
（2）或，又，
∴或，即或．
∴的取值范圍是或．
10．已知全集，集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或；（2）.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，，
因此，或；
（2）當(dāng)時，，即，這時；
當(dāng)時，有，解得.
綜上，的取值范圍為.
確定性
一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合
互異性
集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素
無序性
集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系
符號
名稱
含義
N
非負(fù)數(shù)集或自然數(shù)集
全體非負(fù)整數(shù)組成的集合
N*或
正整數(shù)集
所有正整數(shù)組成的集合
Z
整數(shù)集
全體整數(shù)組成的集合
Q
有理數(shù)集
全體有理數(shù)組成的集合
R
實數(shù)集
全體實數(shù)組成的集合
命題真假
“若p，則q”是真命題
“若p，則q”是假命題
推出關(guān)系
p?q
pq
條件關(guān)系
p是q的充分條件
q是p的必要條件
p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件
若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件
若A=B，則p，q互為充要條件
若?或?，但則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多