8.5.1 直線與直線平行
問題1 國旗是我們偉大祖國的象征和標(biāo)志,代表祖國的尊嚴(yán).升降國旗制度是學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行的愛國主義教育.升旗儀式時(shí),同學(xué)們都站得整齊如一.若兩位升旗手所在的直線分別為a,b,旗桿所在的直線為c,那么直線a平行于直線c嗎?直線b平行于直線c嗎?直線a平行于直線b嗎?
1.基本事實(shí)4 在同一平面內(nèi),平行于同一條直線的兩直線平行.在空間中,是否也有類似的結(jié)論?問題2 (1)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DC∥AB,A1B1∥AB.DC與A1B1平行嗎?
(2)觀察你所在的教室,你能找到類似的實(shí)例嗎? 圖中黑板邊所在直線AA'和窗框所在直線CC'都平行于墻與墻的交線BB',然后提問:那么AA'與CC'平行嗎?
問題3 動(dòng)手將一張長方形的紙按如圖對(duì)折幾次后打開,如下圖,這些折痕所在直線之間有怎樣的位置關(guān)系?平面幾何中“平行線的傳遞性”,在空間中是否成立?
(1)基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行. 這一性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性.符號(hào)表示: (2)基本事實(shí)4 的作用:它給出了判斷空間兩條直線平行的依據(jù).將空間兩條直線的平行問題轉(zhuǎn)化為平面兩條直線的平行問題.(3)推廣:空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行.
2.基本事實(shí)4在作圖中的應(yīng)用問題4 如圖,已知平面α∩β=l,分別在α,β內(nèi)畫直線a,b,怎樣畫才能使a∥b? 在平面α內(nèi)畫直線a∥l,在平面β內(nèi)畫直線b∥l,根據(jù)基本事實(shí)4,即得a∥b.
在平面幾何中成立的結(jié)論,在立體幾何不一定成立.
典例分析
把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題來求證,這是證明立體幾何有關(guān)問題時(shí)最主要、最常用的一種方法.
證明空間兩直線平行的方法:(1)定義法:一要證兩直線在同一平面內(nèi),二要證兩直線沒有公共點(diǎn)(反證法).(2)利用基本事實(shí)4:將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(3)利用平面幾何的知識(shí)(三角形與梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)來證明.
變式訓(xùn)練1 例1中,再加上條件AC=BD,那么四邊形EFGH是什么圖形?變式訓(xùn)練2 例1中,若四邊形EFGH是長方形,那么AC與BD滿足什么條件?
3.等角定理問題5 在平面內(nèi),如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).在空間中,這一結(jié)論是否仍然成立呢? 當(dāng)空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行時(shí),這兩個(gè)角有如下圖所示的兩種位置. 空間中,如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
空間中,如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).你能證明這一結(jié)論嗎?我們證明兩個(gè)角相等的方法主要有哪些? 通過構(gòu)造三角形,利用兩個(gè)三角形全等證兩個(gè)角相等.
等角定理:如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 這兩個(gè)角在什么情況下相等?在什么情況下互補(bǔ)? 這兩個(gè)角的兩組對(duì)應(yīng)邊方向均相同或相反,則兩角相等;一組對(duì)應(yīng)邊方向相同,一組對(duì)應(yīng)邊方向相反,則兩角互補(bǔ).
欲證兩個(gè)角相等,可先證角的兩邊分別平行,然后通過等角定理來說明這兩個(gè)角相等.
回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,回答下列問題:通過這節(jié)課,你學(xué)到了什么知識(shí)?在解決問題時(shí),用到了哪些數(shù)學(xué)思想? 1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.證明空間兩直線平行的方法(1)定義法:一要證兩直線在同一平面內(nèi),二要證兩直線沒有公共點(diǎn)(反證法).(2)利用基本事實(shí)4:將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.(3)利用平面幾何的知識(shí)(三角形與梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等)來證明.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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