《最大公因數(shù)》教案 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 知識(shí)與技能 經(jīng)歷具體的操作活動(dòng)，認(rèn)識(shí)公因數(shù)和最大公因數(shù)，會(huì)在集合圖中分別表示兩個(gè)數(shù)的因數(shù)和它們的公因數(shù)，在探究中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 2.過(guò)程與方法 在探索尋找公因數(shù)和最大公因數(shù)的過(guò)程中，經(jīng)歷觀察、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展初步的推理能力。 3.情感態(tài)度與價(jià)值觀 會(huì)運(yùn)用公因數(shù)，最大公因數(shù)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)。 【教學(xué)重點(diǎn)】 理解公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用公因數(shù)、最大公因數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 　 【教學(xué)方法】 啟發(fā)式教學(xué)、自主探索、合作交流、討論法、講解法。 【課前準(zhǔn)備】 多媒體課件。 【課時(shí)安排】 1課時(shí) 【教學(xué)過(guò)程】 （一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入 1.師：同學(xué)們，你們還記得因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)的有關(guān)知識(shí)嗎？現(xiàn)在就讓老師來(lái)考考你們吧！（課件第2張） (1) 一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是（1），最大因數(shù)是（它本身）。 (2) 一個(gè)數(shù)，只有1和它本身2個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做（質(zhì)數(shù)），一個(gè)數(shù)，除了1和它本身兩個(gè)因數(shù)，還有其他的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做（合數(shù)）。 怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)呢？ 用這個(gè)數(shù)依次除以1、2、3、4...如果商是整數(shù)，那么除數(shù)和商都是這個(gè)數(shù)的因數(shù)。 2.同學(xué)們對(duì)因數(shù)的知識(shí)掌握得非常好，今天我們將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)因數(shù)的有關(guān)知識(shí)。 （板書(shū)課題：最大公因數(shù)） 【設(shè)計(jì)意圖】 復(fù)習(xí)舊知，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做準(zhǔn)備。 （二）探究新知 1. 探究公因數(shù)和最大公因數(shù)的特點(diǎn)。 （1）8和12的公有的因數(shù)是哪幾個(gè)？公有的最大因數(shù)是多少？（課件第3張演示）】 生1：我先找到8的因數(shù)和12的因數(shù)有哪些，再找這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，最后看公有的最大因數(shù)是多少。 8和12的公有的因數(shù)是1，2，4。公有的最大因數(shù)是4 生2：也可以這樣表示：（課件第4張） 8和12公有的最大因數(shù)是4。 【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)學(xué)生自己利用以前學(xué)過(guò)的因數(shù)的知識(shí)，找出這兩個(gè)數(shù)的公有的因數(shù)和公有的最大因數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力。 2.總結(jié)公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。（課件第5張） （1）什么是公因數(shù)？什么是最大公因數(shù)？ 生1： 1、2、4是8和12公有的因數(shù)，叫做它們的公因數(shù)。其中4是最大的公因數(shù)，叫做它們的最大公因數(shù)。 生2：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做它們的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做它們的最大公因數(shù)。 3.探究最大公因數(shù)的求法。（課件第6張） （1）小組合作：怎樣求18和27的最大公因數(shù)？ （2）匯報(bào)交流：（課件第7張） 你是怎樣想的？ 生1：我先找出18的因數(shù)有：1,2,3,6,9,18；再找出27的因數(shù)有：1,3,9,27。18和27的公因數(shù)有1,3,9，其中最大的一個(gè)是9，所以18和27的最大公因數(shù)是9。 生2：我看18的因數(shù)中哪些是27的因數(shù)，發(fā)現(xiàn)18的因數(shù)中1,3,9也是27的因數(shù)。18和27的最大公因數(shù)是9.（課件第8張） 你還有其他方法嗎？ 生3: 利用分解質(zhì)因數(shù)法，可以比較簡(jiǎn)便地求出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（課件第9張） 24=2×2×2×3 36=2×2×3×3 24和36公有的質(zhì)因數(shù)有：2,2,3，所以24和36的最大公因數(shù)：2×2×3=12 生4：為了簡(jiǎn)便，可以把分解質(zhì)因數(shù)法寫(xiě)成短除法的形式。 觀察短除法式子，小組討論，思考：（1）每次用什么去除？（課件第10、11張） （2）除到什么時(shí)候?yàn)橹梗?（3）怎樣求出最大公因數(shù)？ 生：先用24和36公有的質(zhì)因數(shù)2去除，得到商是12和18，再用12和18公有的質(zhì)因數(shù)2去除，得到商是6和9 ，再用6和9公有的質(zhì)因數(shù)3去除，得到商2和3.2和3只有公因數(shù)1，除到這一步為止。所有的除數(shù)的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)學(xué)生自己思考，討論，找出求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。 4.做一做（課件第12張） 把6和24的因數(shù)、公因數(shù)分別填在相應(yīng)的位置，再圈出它們的最大公因數(shù)。 5、做一做。（課件第13張） 找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)，做完后仔細(xì)觀察，說(shuō)說(shuō)你發(fā)現(xiàn)了什么？ 4和8 12和36 2和7 8和9 14和15 生1： 4的因數(shù)：1,2,4 8的因數(shù)：1,2,4,8 4和8的公因數(shù)：1,2,4 4和8的最大公因數(shù)：4 4是8的因數(shù)，4的所有因數(shù)都是8的因數(shù)。4是4和8的最大公因數(shù)。 生2：（課件第14張） 12的因數(shù)：1,2,3,4,6,12 36的因數(shù)：1,2,3,4,6,9,12,18,36 12和36的公因數(shù)：1,2,3,4,6,12；最大公因數(shù)：12 12是36的因數(shù)，12的所有因數(shù)都是36的因數(shù)。12是12和36的最大公因數(shù) 如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 生3：（課件第15張） 2的因數(shù)：1， 2 7的因數(shù)：1，7 2和7的公因數(shù)：1 2和7的最大公因數(shù)：1 如果兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1。 生4：（課件第16張） 8的因數(shù)：1， 2，4，8 9的因數(shù)：1，3，9 8和9的公因數(shù)：1 8和9的最大公因數(shù)：1 8和9是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1。 生5：（課件第17張） 14的因數(shù)：1， 2，7，14 15的因數(shù)：1，3，5，15 14和15的公因數(shù)：1 14和15的最大公因數(shù)：1 14和15是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1。 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)（0除外）的最大公因數(shù)是1. 如果兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1。 6、說(shuō)一說(shuō)：怎樣求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)？（課件第18張） 生1：列舉法：先找出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找出它們的公因數(shù)，最后找出它們的最大公因數(shù)。 生2：倍數(shù)關(guān)系：如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 生3：質(zhì)數(shù)或相鄰關(guān)系：如果兩個(gè)數(shù)相鄰或都是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)就是1。 7、用最大公因數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。（課件第19張） 如果要用邊長(zhǎng)是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），可以選擇邊長(zhǎng)是幾分米的地磚？邊長(zhǎng)最大是幾分米？ （1）閱讀與理解：你知道了哪些信息？ 生1：我們知道了貯藏室的長(zhǎng)16dm，寬12dm。要用邊長(zhǎng)是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿，而且使用的地磚必須都是整塊，要求的問(wèn)題是選擇邊長(zhǎng)是幾分米的地磚？邊長(zhǎng)最大是幾分米？ （2）分析與解答：（課件第21張） 生1：要使所用的正方形地磚都是整塊的，地磚的邊長(zhǎng)必須既是16的因數(shù)，又是12的因數(shù)。 生2：只要找出16和12的公因數(shù)，就可以知道選擇邊長(zhǎng)是幾分米的地磚了。 生3：16和12的最大公因數(shù)是幾，邊長(zhǎng)最大就是幾分米。 生4：16和12的公因數(shù)有1，2，4，其中最大公因數(shù)是4。（課件第22張） 生5：可以選邊長(zhǎng)是1dm、2dm、4dm的正方形地磚，邊長(zhǎng)最大是4dm。 （3）回顧與反思：（課件第23、24、25張） 邊長(zhǎng)為1dm、2dm、4dm的正方形地磚在儲(chǔ)藏室的長(zhǎng)、寬上都是整數(shù)塊嗎？ 可以在長(zhǎng)方形紙上畫(huà)一畫(huà)來(lái)驗(yàn)證。 通過(guò)畫(huà)圖可以看出，可以選邊長(zhǎng)是1dm、2dm、4dm的正方形地磚，邊長(zhǎng)最大是4dm。 6.小結(jié)：最大公因數(shù)：（課件第26張） （1）兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做它們的最大公因數(shù)。 （2）找最大公因數(shù)的方法： （1）列舉法。 （2）倍數(shù)關(guān)系。 （3）質(zhì)數(shù)或相鄰關(guān)系。 【設(shè)計(jì)意圖】 對(duì)本節(jié)課內(nèi)容加以總結(jié)，可以使學(xué)生能更好得掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。 （三）課堂練習(xí) 談話：同學(xué)們，你們學(xué)得怎么樣了？我們一起到智慧樂(lè)園挑戰(zhàn)一下自己吧！有沒(méi)有信心呢？ 1、填一填（課件第27張） （1）甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公約數(shù)是（6）。 （2）36和60相同的質(zhì)因數(shù)有（2,2），它們的積是（4），也就是36和60的（最大公因數(shù)）。（3）8和9的公因數(shù)是（1），最大公因數(shù)是（1）。 2.把下面分子和分母的最大公因數(shù)寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)。 【設(shè)計(jì)意圖】 這里設(shè)計(jì)了兩道練習(xí)題，第一道題是對(duì)求最大公因數(shù)的方法的鞏固練習(xí)，使學(xué)生更熟練得掌握求最大公因數(shù)的方法，并能正確地求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；第二道題是找分子和分母的最大公因數(shù)，為下節(jié)課要學(xué)習(xí)的約分做準(zhǔn)備。 （四）拓展提高。（課件第29張） 用96朵紅花和72朵白花做花束，如果每個(gè)花束里的紅花和白花朵數(shù)相等，每個(gè)花束里最多有幾朵花？ 生1：因?yàn)槊總€(gè)花束里的紅花和白花朵數(shù)相等，所以先求每個(gè)花束里紅花或白花最多有幾朵，紅花或白花的朵數(shù)既是96的因數(shù)，也是72的因數(shù)，還要最多，也就是求96和72的最大公因數(shù)。 生2：96的因數(shù)：1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96 72的因數(shù)：1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 96和72的最大公因數(shù)是24。 生3：每個(gè)花束里最多有紅花和白花各24朵，所以每個(gè)花束里最多有24+24=48朵花。 （五）課堂總結(jié) 師：通過(guò)學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 生交流： （1）兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做它們的最大公因數(shù)。 （2）找最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法（2）倍數(shù)關(guān)系（3）質(zhì)數(shù)或相鄰關(guān)系 （六）板書(shū)設(shè)計(jì) 最大公因數(shù) 1.兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)， 其中最大的一個(gè)叫做它們的最大公因數(shù)。 2.找最大公因數(shù)的方法： （1）列舉法。 （2）倍數(shù)關(guān)系。 （3）質(zhì)數(shù)或相鄰關(guān)系。 【教學(xué)反思】 教材共提供了三種不同的方式求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，方法一：分別寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再找最大公因數(shù)；方法二：先找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，再看哪些因數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，最后從中找出最大的；方法三：用分解質(zhì)因數(shù)的方法找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。我還給學(xué)生補(bǔ)充了用短除法求最大公因數(shù)。這么多方法，教師應(yīng)該向?qū)W生重點(diǎn)推薦哪種呢？教材中補(bǔ)充拓展的分解質(zhì)因數(shù)方法學(xué)生是否都應(yīng)掌握呢？短除法是否都應(yīng)掌握呢？方法一與方法二相比，由于第一種方法便于觀察比較，十分直觀。因此，在課堂教學(xué)中許多學(xué)生暗暗地就選擇了它。方法二與方法三相比，在數(shù)據(jù)偏大且因數(shù)較多時(shí)，如果用分解質(zhì)因數(shù)的方法來(lái)求最大公因數(shù)不僅正確率高，而且速度也會(huì)大幅提高。但是用分解質(zhì)因數(shù)的方法來(lái)求最大公因數(shù)對(duì)一些學(xué)生來(lái)說(shuō)又有相當(dāng)?shù)碾y度，至于為什么要把兩個(gè)數(shù)全部公有的質(zhì)因數(shù)相乘，一些學(xué)生還不太明白。在教學(xué)中，我認(rèn)為教師不能僅僅只是介紹，還有必要讓學(xué)生們掌握這種方法技能。用短除法求最大公因數(shù)我感覺(jué)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生好接受，好理解。學(xué)生可以選擇自己喜歡的方法來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 學(xué)會(huì)了求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，教材又安排了直觀的操作活動(dòng)，主題圖中出現(xiàn)的是一幅鋪地磚的畫(huà)面，從而去創(chuàng)設(shè)給貯藏室地面鋪地磚的情境。這樣安排有兩點(diǎn)好處：一是學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)，能體會(huì)公倍數(shù)和公因數(shù)的實(shí)際背景，加深對(duì)抽象概念的理解；二是有利于改善學(xué)習(xí)方式，便于學(xué)生通過(guò)操作和交流經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程。為了充分體現(xiàn)新教材的編排意圖，借助操作活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程。在回顧與反思環(huán)節(jié)中，利用多媒體展示3次鋪磚的過(guò)程，進(jìn)一步鞏固了學(xué)生頭腦中形成的概念。

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