第2課時 等積(長)變形問題
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知識點1 等積變形問題
1.有甲、乙兩個圓柱形的容器,甲、乙的底面半徑之比是3∶2,甲容器中水深9厘米,乙容器中水深4厘米.現(xiàn)向兩個容器中倒入同樣多的水,直到水深相同.問甲的水面將上升多少厘米?
2.把一個長、寬、高分別是10厘米、8厘米、5厘米的長方體鐵塊和一個棱長是5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個圓柱體,這個圓柱體的底面直徑是30厘米,高是多少厘米?(精確到0.01厘米)
3.某軋鋼廠要把一塊底面直徑是6 cm,高是1 cm的圓柱形鋼錠鑄造成一根內徑是4 cm,外徑是5 cm的無縫鋼管,如果不計加工過程中的損耗,求這根無縫鋼管的長度.
4.用橡皮泥制成一個圓柱體,它的底面積為10 cm2,高為20 cm,現(xiàn)將這個圓柱體改成二十個高為4 cm的圓柱體,則圓柱體的底面積為多少?
知識點2 等長變形問題
5.用一根10 cm長的鐵絲圍成一個三角形,然后把它改圍成一個正方形,下列說法正確的是( )
A.圍成的圖形的周長不變
B.圍成的圖形的面積不變
C.圍成的圖形的周長變長
D.圍成的圖形的面積與周長都不變
6.把一根長100 cm的木棍鋸成兩段,若使其中一段的長比另一段長的2倍少5 cm,則鋸出的木棍的長不可能為( )

A.70 cmB.65 cm
C.35 cmD.35 cm或65 cm
7.有一根長80厘米的鐵絲,用這根鐵絲圍成一個長方形,并且長方形的長比寬多10厘米,那么這個長方形的長和寬各是多少?
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8.有一玻璃密封器皿如圖①所示,測得其底面直徑為20 cm,高為20 cm,現(xiàn)內裝藍色溶液若干.當如圖②放置時,測得液面高10 cm;當如圖③放置時,測得液面高16 cm,則該玻璃密封器皿的總容量為(結果保留π)( )

A.1 250π cm3B.1 300π cm3
C.1 350π cm3D.1 400π cm3
9.用繩子測量井的深度,繩子的三分之一比井的深度多4尺,繩子的四分之一比井的深度少1尺,求繩子長幾尺.
10.一根繩子長若干米,第一次剪去18.5米,第二次剪去的比第一次多413米,此時剩下的繩子比剪去的少6米,求這根繩子原長為多少米.
11.某居民樓樓頂有一個底面直徑和高均為4米的圓柱形儲水箱,現(xiàn)該樓進行維修改造,為減少樓頂原有儲水箱的占地面積需要將它的底面直徑由4米改為3.2米,那么在容積不變的前提下,水箱的高度將變成多少米?
12.如圖所示,有一圓柱形的實心鐵柱直立于一個內部裝有水的圓柱形水桶內,水桶內的水面高度為12 cm,且水桶與鐵柱的底面半徑之比為2∶1.如將鐵柱移至水桶外部,過程中水桶內的水量未改變,若不計水桶的厚度,則水桶內的水面高度變?yōu)槎嗌倮迕?
素養(yǎng)探究全練
13.[數學建模]一根竹竿插入水池底部的淤泥中,竹竿的入泥部分占全長的15,淤泥以上的入水部分比入泥部分長12米,露出水面的部分為1310米.問竹竿有多長?
(1)某同學解得正確答案:竹竿的長為3米.現(xiàn)在他將題目改編,如果將題中的“比入泥部分長12米”改為“比入泥部分短12米”,最后答案要求不變,那么題中“露出水面的部分為1310米”應改為露出水面的部分為多少米?
(2)將原題改編為一根竹竿插入水池底部的淤泥中,竹竿的入泥部分占全長的15,露出水面的部分為1310米.若此時將竹竿向上拔高15米,則淤泥以上的入水部分比入泥部分長25米,問竹竿有多長?
答案全解全析
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1.解析 甲、乙的底面半徑之比是3∶2,則底面積之比是9∶4,設水深為x厘米,由題意得9(x-9)=4(x-4),
解得x=13,則x-9=13-9=4.
答:甲容器的水面上升4厘米.
2.解析 設圓柱體的高是x厘米,
由題意得π×3022·x=10×8×5+5×5×5,解得x≈0.74.
答:圓柱體的高約是0.74厘米.
3.解析 設這根無縫鋼管的長度為x cm,
根據題意可得π×622×1=π×522x-π×422x,解得x=4.
答:這根無縫鋼管的長度為4 cm.
4.解析 設圓柱體的底面積為x cm2,
根據題意可得20×10=20×4x,解得x=2.5.
答:圓柱體的底面積為2.5 cm2.
5.A 用一根10 cm長的鐵絲圍成的一個三角形的周長與圍成的一個正方形的周長都是10 cm,即圍成的圖形的周長不變;圍成的一個三角形的面積與圍成的一個正方形的面積不相等.
6.A 設其中一段的長為x cm,則另一段的長為(2x-5)cm,由題意得x+(2x-5)=100,解得x=35,則2x-5=2×35-5=65.故選A.
7.解析 設長方形的寬為x厘米,則長方形的長為(x+10)厘米,根據題意得x+(x+10)=40,解得x=15,
所以x+10=25.
答:長方形的長為25厘米,寬為15厘米.
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8.D 設該玻璃密封器皿的總容量為x cm3,則π×102×10=x-π×102×(20-16),解得x=1 400π.
故該玻璃密封器皿的總容量為1 400π cm3.
9.解析 設繩長為x尺,
由題意得,13x-4=14x+1,解得x=60.
答:繩長為60尺.
10.解析 設這根繩子原長為x米,由題意得x-18.5-18.5+413=18.5+18.5+413-6,解得x=7623.
答:這根繩子原長為7623米.
11.解析 設水箱的高度變成x米,根據題意得π×3.222·x=π×422×4,解得x=6.25.
答:水箱的高度將變成6.25米.
12.解析 設鐵柱的底面半徑為x cm,將鐵柱移至水桶外部后,水桶內的水面高度為h cm,根據題意得,
12[π(2x)2-πx2]=π(2x)2h,解得h=9.
答:水桶內的水面高度變?yōu)? cm.
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13.解析 (1)設竹竿的長為x米,當x=3時,
x-15x-15x-12=35x+12=35×3+12=2310,
所以應改為露出水面的部分為2310米.
(2)設竹竿的長為m米,
則m-15m-1310=15m-15+25,解得m=52.
答:竹竿的長為52米.

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5.4 一元一次方程的應用

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