第1課時 和、差、倍、分與行程問題
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點1 列方程解應(yīng)用題的一般步驟
1.我國古代名著《九章算術(shù)》中有一題“今有鳧起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今鳧雁俱起,問何日相逢?(鳧:野鴨)”設(shè)野鴨和大雁分別從南海和北海同時起飛,經(jīng)過x天相遇,可列方程為( )
A.(9-7)x=1 B.(9+7)x=1
C.17-19x=1 D.17+19x=1
2.根據(jù)圖中提供的信息,可知一個杯子的價格是 元.
知識點2 和、差、倍、分問題
3.根據(jù)“x與1的差比x的3倍多2”可列方程為( )
A.x-1=3x+2B.x+1=3x+2
C.x-1=3x-2D.x-1=3(x+2)
4.(2022浙江杭州期末)汽車隊運送一批貨物,若每輛車裝4噸,還剩下6噸未裝;若每輛車裝4.5噸,恰好裝完,則這個車隊共有 輛車.
知識點3 行程問題
5.我國古代有很多經(jīng)典的數(shù)學題,其中有一道題目:良馬日行二百里,駑馬日行一百二十里,駑馬先行十日,問良馬幾何追及之?意思是跑得快的馬每天走200里,跑得慢的馬每天走120里,慢馬先走10天,快馬幾天可追上慢馬?若設(shè)快馬x天可追上慢馬,則由題意可列方程為( )
A.120+10x=200x
B.120x+200x=120×10
C.200x-120x=120×10
D.200x=120x+200×10
6.(2022浙江杭州期末)列方程解應(yīng)用題:甲、乙兩人從A、B兩地同時出發(fā),甲騎自行車,乙騎摩托車,沿同一條路線相向勻速行駛,出發(fā)后2小時兩人相遇.已知在相遇時乙比甲多行了90千米,相遇后0.5小時乙到達A地.求乙行駛的速度.
7.京張高鐵是重要交通基礎(chǔ)設(shè)施,考慮到不同路段的特殊情況,根據(jù)不同的運行區(qū)間設(shè)置不同的時速.其中,北京北站到清河段全長11千米,分為地下清華園隧道和地上區(qū)間兩部分,運行速度分別為80千米/小時和120千米/小時.按此運行速度,地下隧道運行時間比地上大約多2分鐘,求清華園隧道全長為多少千米.
8.(2022浙江杭州期末)一輛客車和一輛卡車都從A地出發(fā)沿同一條公路勻速駛向B地,客車的行駛速度為70千米/小時,卡車的行駛速度為60千米/小時,已知卡車提前1小時出發(fā),結(jié)果兩車同時到達B地.
(1)求A,B兩地的距離是多少;
(2)客車出發(fā)多少小時后,兩車第一次相距20千米?
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9.《探尋神奇的幻方》一課的學習激起了小亮的探索興趣,他在如圖所示的3×3方格內(nèi)填入了一些數(shù)或代數(shù)式形成一個幻方(即各行、各列及對角線上的數(shù)之和都相等),則x的值為( )
A.1 B.-2 C.2 D.3
10.在數(shù)軸上點O是原點,點A、B、C表示的數(shù)分別是-12、8、14.若點P從點A出發(fā)以2個單位/秒的速度向右運動,其中由點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍,之后立刻恢復(fù)原速,點Q從點C出發(fā),以1個單位/秒的速度向左運動,若點P、Q同時出發(fā),則經(jīng)過
秒后,P、Q兩點到點B的距離相等.
11.(2022獨家原創(chuàng))蔣老師的QQ群中有三類群,分別是他創(chuàng)建的群聊、他管理的群聊、他加入的群聊,三類群互不重疊.其中他創(chuàng)建的群聊個數(shù)比他管理的群聊個數(shù)多1,他加入的群聊的個數(shù)比前兩類群聊的個數(shù)和多1,三類群聊共有19個.求他管理的群聊的個數(shù).
12.某初級中學初一年級學生在期中測試中,A校區(qū)和B校區(qū)總成績不達標的學生共有600人,不達標的學生中,A校區(qū)人數(shù)比B校區(qū)人數(shù)的3倍還多40.年級組領(lǐng)導要求在期末測試中兩區(qū)總成績不達標的學生必須共減少120人,減少后使得兩區(qū)總成績不達標的學生中A校區(qū)人數(shù)是B校區(qū)人數(shù)的3倍.
(1)期中測試中兩個校區(qū)分別有多少名總成績不達標的學生?
(2)要完成年級期末測試要求,兩個校區(qū)應(yīng)該分別減少多少名總成績不達標的學生?
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13.[數(shù)學建模]我國明代數(shù)學家程大位曾提出過這樣一個有趣的問題:有一個人趕著一群羊在前面走,另一個人牽著一只羊跟在后面.后面的人問趕羊的人:“你這群羊有一百只嗎?”趕羊的人回答:“我如果再得這么一群羊,再得這么一群羊的一半,又得這群羊的四分之一,把你牽的羊也給我,我恰好有一百只.”請問這群羊有多少只?
14.[數(shù)學建模](2021浙江杭州公益中學期中)數(shù)軸上A點表示的數(shù)為-5,B點在A點的右邊,電子螞蟻甲、乙從B點出發(fā)分別以2個單位/秒、1個單位/秒的速度向左運動,電子螞蟻丙從A點出發(fā)以3個單位/秒的速度向右運動.
(1)若電子螞蟻丙經(jīng)過5秒運動到C點,求C點表示的數(shù);
(2)若B點表示的數(shù)為15,它們同時出發(fā),請問丙遇到甲后多長時間遇到乙?
(3)在(2)的條件下,設(shè)它們同時出發(fā)的時間為t秒,是否存在t值,使丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
答案全解全析
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1.D 假設(shè)南海和北海的距離為1,由題意可得17+19x=1.
2.8
解析 設(shè)1個杯子的價格是x元,則1個熱水瓶的價格是(43-x)元,因為2個熱水瓶與3個杯子一共94元,所以可列方程為2×(43-x)+3x=94,解得x=8.故一個杯子的價格是8元.
3.A “x與1的差”可表示為x-1,“x的3倍”可表示為3x,根據(jù)“x與1的差比x的3倍多2”可列方程為x-1=3x+2.
4.12
解析 設(shè)這個車隊共有x輛車,根據(jù)“每輛車裝4噸,還剩下6噸未裝”,可得貨物有(4x+6)噸;根據(jù)“每輛車裝4.5噸,恰好裝完”,可得貨物有4.5x噸.根據(jù)這一批貨物總量不變,可列方程4x+6=4.5x,解得x=12.故這個車隊共有12輛車.
5.C 快馬x天可追上慢馬,由題意可列方程為200x-120x=120×10.
6.解析 設(shè)乙行駛的速度為x千米/小時,則相遇時乙行駛了2x千米,甲行駛了(2x-90)千米,根據(jù)“相遇后0.5小時乙到達A地”可得2x-90=0.5x,解得x=60.
答:乙行駛的速度為60千米/小時.
7.解析 設(shè)清華園隧道全長為x千米,則地上區(qū)間全長為(11-x)千米,依題意得x80=11-x120+130,解得x=6.
答:清華園隧道全長為6千米.
8.解析 (1)設(shè)A,B兩地的距離是x千米,
由題意得x70=x60-1,解得x=420.
答:A,B兩地的距離是420千米.
(2)設(shè)客車出發(fā)y小時后,兩車第一次相距20千米,由題意得70y+20=60(y+1),解得y=4.
答:客車出發(fā)4小時后,兩車第一次相距20千米.
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9.C 由題意得-2+1+2x=2x+x-3,解得x=2.
10.7.6或10
解析 設(shè)經(jīng)過t秒后,P、Q兩點到點 B的距離相等,
由題意得,AO=12,OB=8,BC=14-8=6,
點P到達O點的時間為12÷2=6秒,此時點Q到達B點,故t>6,
即點Q在點B的左邊,
①當P在點B的左邊時,
點P表示的數(shù)為4(t-6)=4t-24,點Q表示的數(shù)為14-t,由PB=QB得4t-24=14-t,解得t=7.6;
②當點P在點B的右邊時,
∵點P到達點B的時間為6+8÷4=8秒,
∴點P表示的數(shù)為8+2(t-8)=2t-8,
點Q表示的數(shù)為14-t,
由PB=QB得(2t-8)-8=8-(14-t),
解得t=10.
綜上,經(jīng)過7.6秒或10秒后,P、Q兩點到點 B的距離相等.
11.解析 設(shè)他管理的群聊的個數(shù)為x,則他創(chuàng)建的群聊個數(shù)為x+1,他加入的群聊的個數(shù)是x+(x+1)+1,由題意得x+(x+1)+[x+(x+1)+1]=19,
解得x=4.
答:他管理的群聊的個數(shù)為4.
12.解析 (1)設(shè)期中測試中B校區(qū)總成績不達標的有x人,則A校區(qū)總成績不達標的有(3x+40)人,由題意得x+3x+40=600,
解得x=140,
所以3x+40=460.
答:期中測試中B校區(qū)總成績不達標的有140人,A校區(qū)總成績不達標的有460人.
(2)設(shè)期末測試中B校區(qū)減少了y名總成績不達標的學生,則A校區(qū)減少了(120-y)名總成績不達標的學生,由題意得3(140-y)=460-(120-y),
解得y=20,所以120-y=100.
答:要完成年級期末測試要求,B校區(qū)應(yīng)該減少20名總成績不達標的學生,A校區(qū)應(yīng)該減少100名總成績不達標的學生.
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13.解析 設(shè)這群羊有x只,
根據(jù)題意得x+x+12x+14x+1=100,解得x=36.
答:這群羊有36只.
14.解析 (1)由題意知-5+3×5=10,故C點表示的數(shù)為10.
(2)∵點B在點A的右邊,
∴B到A的距離為|15-(-5)|=15+5=20,
由題意得203+1-203+2=1(s),
故丙遇到甲后經(jīng)過1 s遇到乙.
(3)存在.①在電子螞蟻丙與甲相遇前,2(20-3t-2t)=20-3t-t,解得t=103;
②在電子螞蟻丙與甲相遇后,與乙相遇前,2(3t+2t-20)=20-3t-t,解得t=307;
③在電子螞蟻丙與甲、乙相遇后,2(3t+2t-20)=3t+t-20,此時t=103(不符合題意,舍去).
綜上所述,當t=103或t=307時,丙到乙的距離是丙到甲的距離的2倍.

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5.4 一元一次方程的應(yīng)用

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