2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí) 專題6.4 平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練） 知識(shí)點(diǎn)01：直線、射線、線段 直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系 2. 基本性質(zhì) (1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線． (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短． 知識(shí)要點(diǎn)：①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線. ②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離. 3.畫一條線段等于已知線段 （1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段. （2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖： 4．線段的比較與運(yùn)算 （1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法. （2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD. （3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：. 知識(shí)要點(diǎn)：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn). ②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等. 如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn)，則有. （4）線段的延長(zhǎng)線：如下圖，圖①稱為延長(zhǎng)線段AB，或稱為反向延長(zhǎng)線段BA；圖②稱為延長(zhǎng)線段BA，或稱為反向延長(zhǎng)線段AB. 圖中延長(zhǎng)的部分叫做原線段的延長(zhǎng)線. 知識(shí)點(diǎn)02：角 1．角的概念及其表示 （1）角的定義：從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形. (2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖： 知識(shí)要點(diǎn)：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義. ②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來(lái)表示. 2.角的分類 3.角的度量 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 知識(shí)要點(diǎn)：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同. ②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行. ③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一 成60. 4.角的平分線 從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2. 類似地，還有角的三等分線等. 5．余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角 （1）余角、補(bǔ)角： 若∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角. 結(jié)論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等. 知識(shí)要點(diǎn)：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角). ②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的. ③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)． ④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”． （2）對(duì)頂角：對(duì)頂角相等． 知識(shí)點(diǎn)03：平行與垂直 1. 同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系:平行與相交. 平行用符號(hào)“∥”表示. 知識(shí)要點(diǎn)：只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相交直線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn). 2.垂線 （1）垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．垂直用符號(hào)“⊥”表示，如下圖． （2）垂線的性質(zhì)： ①在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直． ②垂線段最短． （3）點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離． 【典例精講】（2020秋?江陰市校級(jí)月考）如圖所示，圖中共有 　2　條直線，　13　條射線，　6　條線段． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線，射線、線段的定義，利用表示方法表示出來(lái)即可． 【規(guī)范解答】解：圖中共有2條直線，即直線AB、BC；13條射線，即射線AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，還有6條不可以表示的；6條線段，即線段AB、AD、BD、AC、DC、BC． 故答案為：2，13，6． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了直線、線段、射線的定義，能正確表示射線，直線、線段是解此題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練1-1】（2022秋?海門市期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車，中途?？?jī)蓚€(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有（　?。?A．4種 B．5種 C．6種 D．7種 【變式訓(xùn)練1-2】（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察圖形，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　?。?（1）直線BA和直線AB是同一條直線 （2）射線AC和射線AD是同一條射線 （3）AB+BD＞AD （4）三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式訓(xùn)練1-3】（2021秋?東臺(tái)市期末）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義： P為線段AB上任意一點(diǎn)，我們把M、P兩點(diǎn)間距離的最小值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“靠近距離”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；把M、P兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“遠(yuǎn)離距離”，記作d2（點(diǎn)M，線段AB）． 特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間的距離為0． 已知點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣5，點(diǎn)B表示的數(shù)為2． 如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為3，則d1（點(diǎn)C，線段AB）＝1，d2（點(diǎn)C，線段AB）＝8． （1）若點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7，則 d1（點(diǎn)D，線段AB）＝　 　，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝　 　； （2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為m，d1（點(diǎn)M，線段AB）＝3，則m的值為 　；若點(diǎn)N表示的數(shù)為n，d2（點(diǎn)N，線段AB）＝12，則n的值為 　 ． （3）若點(diǎn)E表示的數(shù)為x，點(diǎn)F表示的數(shù)為x+2，d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求x的值． 【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，C，D為線段AB上兩點(diǎn)，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D為線段AC的中點(diǎn)，則線段CB＝　4　cm． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)D為線段AC的中點(diǎn)，可得AC＝2AD＝3cm，再根據(jù)線段的和差即可求解． 【規(guī)范解答】解：∵D為線段AC的中點(diǎn)， ∴AC＝2AD＝3cm， ∵AB＝7cm， ∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm）， 故答案為：4． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了有關(guān)中點(diǎn)的計(jì)算，熟練掌握把一條線段分成相等的兩段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練2-1】（2022秋?瀘縣校級(jí)期末）下列說(shuō)法：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線；②兩點(diǎn)之間線段最短；③經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，有且只有一條直線；④若線段AM等于線段BM，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，其中正確的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【變式訓(xùn)練2-2】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D分別代表四個(gè)小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距am，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距am，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計(jì)劃在A，B，C，D四個(gè)小區(qū)中選一個(gè)作為班車?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程總和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（　?。? A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū) 【變式訓(xùn)練2-3】（2022秋?句容市校級(jí)期末）如圖，延長(zhǎng)線段AB到C，使BC＝3AB，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm． （1）求AC的長(zhǎng)度． （2）若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，求ED的長(zhǎng)度． 【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB． （1）請(qǐng)用圓規(guī)在圖中確定D點(diǎn)的位置； （2）比較線段的大?。篈C?。健D（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的長(zhǎng)． 【思路點(diǎn)撥】（1）以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即為所求； （2）由線段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出結(jié)論； （3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的長(zhǎng)． 【規(guī)范解答】解：（1）如圖所示，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即為所求， （2）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD； 故答案為＝； （3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14， ∴， ∴CD＝4， ∴AD＝AC+CD＝18， 故答案為：18． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查線段長(zhǎng)短的計(jì)算及作一條線段等于已知線段，對(duì)線段長(zhǎng)進(jìn)行大小比較以及對(duì)線段長(zhǎng)度求值，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知B、C在線段AD上． （1）圖中共有 　 　條線段； （2）若AB＝CD． ①比較線段的大小：AC　 　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度． 【變式訓(xùn)練3-2】（2019秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E在同一直線上，且AC＝BD，E是線段BC的中點(diǎn)． （1）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由； （2）當(dāng)AD＝10，AB＝3時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)度． 【變式訓(xùn)練3-3】（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度． （2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它條件不變，你能猜出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你用一句簡(jiǎn)潔的話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律． （3）對(duì)于（1）題，如果我們這樣敘述它：“已知線段AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度．”結(jié)果會(huì)有變化嗎？如果有，求出結(jié)果． 【典例精講】（2022秋?贛榆區(qū)校級(jí)月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（　?。?A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角的表示方法和圖形進(jìn)行判斷即可． 【規(guī)范解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確； D、圖中的∠1不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角． 【變式訓(xùn)練4-1】（2020秋?高淳區(qū)校級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA、OB可組成的角的個(gè)數(shù)是（　　） A．595 B．406 C．35 D．666 【變式訓(xùn)練4-2】（2019秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，∠AOB的度數(shù)是　 　°． 【變式訓(xùn)練4-3】已知如圖，∠AOB是銳角，以O(shè)為端點(diǎn)向∠AOB內(nèi)部作一條射線，則圖中有多少個(gè)角？若作二條、三條射線有多少個(gè)角？n條時(shí)有多少個(gè)角？畫一畫，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 【典例精講】（2021秋?徐州期末）上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是（　?。?A．30° B．45° C．60° D．75° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【規(guī)范解答】解：由題意得： 2×30°＝60°， ∴上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是：60°， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練5-1】（2022秋?泗陽(yáng)縣校級(jí)期末）9點(diǎn)30分時(shí)，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為 　 　度． 【變式訓(xùn)練5-2】（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）時(shí)鐘表面3點(diǎn)25分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)蓨A角（小于平角）的度數(shù)是 ?。?【變式訓(xùn)練5-3】（2017秋?興化市期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D，在鐘面上，點(diǎn)O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規(guī)定：鐘面圓的半徑OA表示時(shí)針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時(shí)刻都介于0點(diǎn)整到12點(diǎn)整之間． （1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為　 　°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為　 　°； （2）8點(diǎn)整，鐘面角∠AOB＝　 　°，鐘面角與此相等的整點(diǎn)還有：　 　點(diǎn)； （3）如圖，設(shè)半徑OC指向12點(diǎn)方向，在圖中畫出6點(diǎn)15分時(shí)半徑OA、OB的大概位置，并求出此時(shí)∠AOB的度數(shù)． 【典例精講】（2021秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，OA表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線，則∠AOB的度數(shù)是（　　） A．100° B．120° C．140° D．150° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方向角的定義可直接確定∠AOB的度數(shù)． 【規(guī)范解答】解：因?yàn)镺A表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線， 所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°． 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了方向角及其計(jì)算．掌握方向角的概念是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練6-1】（2023?南開(kāi)區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，A、O、B在同一條直線上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是　 ． 【變式訓(xùn)練6-2】（2013秋?海安縣校級(jí)期末）小明從A處向北偏東72°38′方向走10m到達(dá)B處，小亮也從A處出發(fā)向南偏西15°38′方向走15m到達(dá)C處，則∠BAC的度數(shù)為　 　度． 【變式訓(xùn)練6-3】（2014秋?靖江市校級(jí)月考）如圖，貨輪D在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的南偏東60°的方向上．同時(shí)，在貨輪D的北偏西30°、西北方向上又發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C． （1）仿照表示燈塔方位的方法，在圖中畫出表示客輪B和海島C方向的射線； （2）在（1）的條件下填空：∠BOC＝ 　，∠BOA＝　 ??；和∠AOF互余的角為　 ?。? 【典例精講】（2022秋?宜興市月考）下列說(shuō)法中：其中正確的有（　?。?①1°＝60′； ②若2AC＝BC，則A是線段BC的中點(diǎn)； ③兩點(diǎn)之間所有連線中，直線最短； ④兩點(diǎn)確定一條直線． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)度分秒的換算進(jìn)行判定即可得出答案； ②根據(jù)題意畫出圖形，如圖進(jìn)行判定即可得出答案； ③根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案； ④根據(jù)直線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案． 【規(guī)范解答】解：①因?yàn)?°＝60′，所以①說(shuō)法正確，故①選項(xiàng)符合題意； ②如圖，因?yàn)?AC＝BC，A不是線段BC的中點(diǎn)，所以②說(shuō)法不正確，故②選項(xiàng)不符合題意； ③因?yàn)閮牲c(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短，所以③說(shuō)法不正確，故③選項(xiàng)不符合題意； ④因?yàn)橹本€公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．所以④說(shuō)法正確，故④選項(xiàng)符合題意． 所以說(shuō)法正確的有①④， 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了度分秒的換算，兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)進(jìn)行判定是關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練7-1】（2022秋?興化市期末）54°36′＝　 　度． 【變式訓(xùn)練7-2】（2017秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：15°37′+42°51′＝　 ?。?【變式訓(xùn)練7-3】（2019秋?港閘區(qū)校級(jí)月考）（1）； ； （3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°． 【典例精講】（2021秋?大豐區(qū)期末）射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列給出的條件中不能得出OC是∠AOB的平分線的是（　?。?A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB 【思路點(diǎn)撥】利用角平分的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線．可知B不一定正確． 【規(guī)范解答】解：A、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC＝∠BOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)A不符合題意； B、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，則不能判斷OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)B符合題意； C、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝2∠AOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)C不符合題意； D、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠BOC＝∠AOB，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)D不符合題意； 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線． 【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時(shí)，下列各角的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無(wú)關(guān)的角是（　?。? A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF 【變式訓(xùn)練8-2】（2021秋?溧陽(yáng)市期末）OC、OD是∠AOB內(nèi)部任意兩條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，則∠AOB＝　 　°（用含m、n的代數(shù)式表示）． 【變式訓(xùn)練8-3】（2022秋?徐州期末）如圖①，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝50°．將直角三角尺（斜邊為DE）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OE放在射線OB上．已知∠DEO＝30°，將該三角尺繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，解決下列問(wèn)題． （1）如圖②，若射線OE平分∠BOC，則∠COD與∠DOA的數(shù)量關(guān)系為 　 　； （2）如圖③，當(dāng)斜邊DE與射線OA相交時(shí)，∠COE與∠AOD的差是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【典例精講】（2021秋?興化市校級(jí)月考）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，則∠BOE的度數(shù)為（　?。? A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α 【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根據(jù)角之間的等量關(guān)系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可． 【規(guī)范解答】解：設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x， ∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD， ∴∠BOE＝3x， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x． ∵OC平分∠AOD， ∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x． ∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x， 由題意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α， 則∠BOE＝270°﹣3α， 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查角的計(jì)算的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用好角的平分線這一知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練9-1】（2020秋?姜堰區(qū)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝10°，則∠EAF的度數(shù)為（　?。? A．40° B．45° C．50° D．55° 【變式訓(xùn)練9-2】（2021秋?相城區(qū)校級(jí)月考）在同一平面內(nèi)，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為　 ． 【變式訓(xùn)練9-3】（2022秋?南通期末）定義：從∠MPN的頂點(diǎn)P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，則稱射線PQ為∠MPN關(guān)于邊PN的補(bǔ)線． （1）下列說(shuō)法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是 　 ??；（填序號(hào)） （2）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC，OD在AB同側(cè)，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關(guān)于邊OD的補(bǔ)線嗎？為什么？ （3）已知射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB＝α，試用含α的式子表示∠AOP（直接寫出結(jié)果）． 【典例精講】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是　50　度． 【思路點(diǎn)撥】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補(bǔ)角，本題實(shí)際說(shuō)明了一個(gè)相等關(guān)系，因而可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決． 【規(guī)范解答】解：設(shè)這個(gè)角是x°， 則余角是（90﹣x）度，補(bǔ)角是（180﹣x）度， 根據(jù)題意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10 解得x＝50． 故填50． 【考點(diǎn)評(píng)析】題目反映了相等關(guān)系問(wèn)題，就可以利用方程來(lái)解決． 【變式訓(xùn)練10-1】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若∠AOC與∠BOD互余，且∠AOC＝48°，則∠BOD的度數(shù)為（　?。?A．132° B．42° C．48° D．138° 【變式訓(xùn)練10-2】（2021秋?啟東市期末）若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（　?。?A．30° B．60° C．120° D．150° 【變式訓(xùn)練10-3】．（2022秋?錫山區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)O處，且ON平分∠BOD． （1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度數(shù)； （2）試說(shuō)明OM平分∠AOD． 【典例精講】（2022秋?泗洪縣期末）如圖所示，從A地到B地有多條道路可?，?們往往會(huì)選擇?中間的直路，這是因?yàn)椋ā　。? A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．其他的路?不通 【思路點(diǎn)撥】由題意從A地到B地有多條道路，肯定要盡量選擇兩地之間最短的路程，就用到兩點(diǎn)間線段最短的數(shù)學(xué)知識(shí)． 【規(guī)范解答】解：從A到B有多條道路，人們會(huì)走中間的直路，而不會(huì)走其他曲折的路，這是因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短． 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短． 【變式訓(xùn)練11-1】（（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示：兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，像這樣，10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　?。? A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè) 【變式訓(xùn)練11-2】（2021秋?濱湖區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是　 ?。?【變式訓(xùn)練11-3】（2019秋?臨江市期末）試用幾何語(yǔ)言描述下圖： ． 【典例精講】（2022秋?江陰市期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF＝90°，圖中與∠BOC互補(bǔ)的角有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互為余角的定義以及對(duì)頂角的定義可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根據(jù)互為補(bǔ)角的定義以及等量代換可得答案． 【規(guī)范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°， ∴∠AOC＝∠EOF， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF， ∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC與∠AOC互為補(bǔ)角， ∴∠BOC互補(bǔ)的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3個(gè)， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角、對(duì)頂角，掌握互為余角、互為補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義是正確解答的前提． 【變式訓(xùn)練12-1】（2017秋?豐縣校級(jí)月考）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（　?。?A． B． C． D． 【變式訓(xùn)練12-2】（2022秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE為射線，若∠AOE+∠DOE＝110°，則∠AOC＝　 　°． 【變式訓(xùn)練12-3】（2021秋?高郵市期末）如圖1，已知射線OB在∠AOC內(nèi)，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”． （1）如圖2，已知點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)，射線OB、OC在直線AD同側(cè)，且射線OC平分∠BOD．試說(shuō)明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”； （2）如圖3，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)； （3）如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【典例精講】（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（　?。? A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)原理解答即可． 【規(guī)范解答】解：小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短， 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)和生活密不可分的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練13-1】（2018秋?泰興市期末）在體育課上某同學(xué)立定跳遠(yuǎn)的情況如圖所示，l表示起跳線，在測(cè)量該同學(xué)的實(shí)際立定跳遠(yuǎn)成績(jī)時(shí)，應(yīng)測(cè)量圖中線段PC的長(zhǎng)，理由是　 ． 【變式訓(xùn)練13-2】（2021秋?泰興市期末）如圖，用三張卡片拼成如圖①，圖②所示的兩個(gè)四邊形，其周長(zhǎng)分別為C1、C2． （1）請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)解釋：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 　 ?。ㄌ顚懻_選項(xiàng)的字母） A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線 （2）分別計(jì)算C1、C2（用含m、n的代數(shù)式表示）； （3）比較與的大小，并說(shuō)明理由． 【變式訓(xùn)練13-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，在直線MN的異側(cè)有A、B兩點(diǎn)，按要求畫圖取點(diǎn)，并注明畫圖取點(diǎn)的依據(jù)． （1）在直線MN上取一點(diǎn)C，使線段AC最短．依據(jù)是　 ． （2）在直線MN上取一點(diǎn)D，使線段AD+BD最短．依據(jù)是　 ?。? 【典例精講】（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是（　　） A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短，即可求解． 【規(guī)范解答】解：根據(jù)垂線段最短，則點(diǎn)P到直線l的距離應(yīng)該小于PA、PB中最小的， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的內(nèi)容，要理解基本定義，明確垂線段最短． 【變式訓(xùn)練14-1】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C，D．則點(diǎn)A到直線BC的距離是線段 的長(zhǎng)． 【變式訓(xùn)練14-2】（2021秋?金壇區(qū)月考）如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，則點(diǎn)A到直線l1的距離是　 ?。? 【變式訓(xùn)練14-3】（2018秋?鹽都區(qū)期末）如圖，A、B、C是平面內(nèi)三點(diǎn)． （1）按要求作圖： ①作射線BC，過(guò)點(diǎn)B作直線l，使A、C兩點(diǎn)在直線l兩旁； ②點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線BC上任意一點(diǎn)，連接線段AP、PQ； （2）在（1）所作圖形中，若點(diǎn)A到直線l的距離為2，點(diǎn)A到直線BC的距離為5，點(diǎn)A、B 之間的距離為8，點(diǎn)A、C之間的距離為6，則AP+PQ的最小值為　 　，依據(jù)是　 ． 2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)同步專題熱點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí) 專題6.4 平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練） 知識(shí)點(diǎn)01：直線、射線、線段 直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系 2. 基本性質(zhì) (1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線． (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短． 知識(shí)要點(diǎn)：①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線. ②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)的距離. 3.畫一條線段等于已知線段 （1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段. （2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖： 4．線段的比較與運(yùn)算 （1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法. （2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD. （3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：. 知識(shí)要點(diǎn)：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn). ②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等. 如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn)，則有. （4）線段的延長(zhǎng)線：如下圖，圖①稱為延長(zhǎng)線段AB，或稱為反向延長(zhǎng)線段BA；圖②稱為延長(zhǎng)線段BA，或稱為反向延長(zhǎng)線段AB. 圖中延長(zhǎng)的部分叫做原線段的延長(zhǎng)線. 知識(shí)點(diǎn)02：角 1．角的概念及其表示 （1）角的定義：從一點(diǎn)引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形. (2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖： 知識(shí)要點(diǎn)：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義. ②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫字母來(lái)表示. 2.角的分類 3.角的度量 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 知識(shí)要點(diǎn)：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同. ②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行. ③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一 成60. 4.角的平分線 從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2. 類似地，還有角的三等分線等. 5．余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角 （1）余角、補(bǔ)角： 若∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角. 結(jié)論: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等. 知識(shí)要點(diǎn)：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱其為余角(或補(bǔ)角). ②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的. ③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)． ④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”． （2）對(duì)頂角：對(duì)頂角相等． 知識(shí)點(diǎn)03：平行與垂直 1. 同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系:平行與相交. 平行用符號(hào)“∥”表示. 知識(shí)要點(diǎn)：只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線叫做相交直線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn). 2.垂線 （1）垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．垂直用符號(hào)“⊥”表示，如下圖． （2）垂線的性質(zhì)： ①在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直． ②垂線段最短． （3）點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離． 【典例精講】（2020秋?江陰市校級(jí)月考）如圖所示，圖中共有 　2　條直線，　13　條射線，　6　條線段． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線，射線、線段的定義，利用表示方法表示出來(lái)即可． 【規(guī)范解答】解：圖中共有2條直線，即直線AB、BC；13條射線，即射線AC、CA、BC、CB、DC、AB、DB，還有6條不可以表示的；6條線段，即線段AB、AD、BD、AC、DC、BC． 故答案為：2，13，6． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了直線、線段、射線的定義，能正確表示射線，直線、線段是解此題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練1-1】（2022秋?海門市期末）往返A(chǔ)，B兩地的客車，中途停靠?jī)蓚€(gè)站，客運(yùn)站根據(jù)兩站之間的距離確定票價(jià)（距離不相等，票價(jià)就不同）．若任意兩站之間的距離都不相等，則不同的票價(jià)共有（　?。?A．4種 B．5種 C．6種 D．7種 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段的定義以及線段條數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行解答即可． 【規(guī)范解答】解：由題意可知，不同的票價(jià)有1+2+3＝6（種）， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查直線、射線、線段，理解線段的定義，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是正確解答的前提． 【變式訓(xùn)練1-2】（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察圖形，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　?。?（1）直線BA和直線AB是同一條直線 （2）射線AC和射線AD是同一條射線 （3）AB+BD＞AD （4）三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合圖形，區(qū)別各概念之間的聯(lián)系． 【規(guī)范解答】解：（1）直線BA和直線AB是同一條直線，直線沒(méi)有端點(diǎn)，此說(shuō)法正確； （2）射線AC和射線AD是同一條射線，都是以A為端點(diǎn)，同一方向的射線，正確； （3）AB+BD＞AD，三角形兩邊之和大于第三邊，所以此說(shuō)法正確； （4）三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤，可能有1個(gè)交點(diǎn)的情況． 所以共有3個(gè)正確． 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】在圖形中，找出正確的說(shuō)法，一定要注意對(duì)幾何問(wèn)題各種情況的討論． 【變式訓(xùn)練1-3】（2021秋?東臺(tái)市期末）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義： P為線段AB上任意一點(diǎn)，我們把M、P兩點(diǎn)間距離的最小值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“靠近距離”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；把M、P兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“遠(yuǎn)離距離”，記作d2（點(diǎn)M，線段AB）． 特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間的距離為0． 已知點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣5，點(diǎn)B表示的數(shù)為2． 如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為3，則d1（點(diǎn)C，線段AB）＝1，d2（點(diǎn)C，線段AB）＝8． （1）若點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7，則 d1（點(diǎn)D，線段AB）＝　2　，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝　9　； （2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為m，d1（點(diǎn)M，線段AB）＝3，則m的值為 　﹣8或5??；若點(diǎn)N表示的數(shù)為n，d2（點(diǎn)N，線段AB）＝12，則n的值為 　﹣10或7?。?（3）若點(diǎn)E表示的數(shù)為x，點(diǎn)F表示的數(shù)為x+2，d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求x的值． 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知給出的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答； （2）分兩種情況，點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)． 【規(guī)范解答】解：（1）∵點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣7， ∴d1（點(diǎn)D，線段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2， d2（點(diǎn)D，線段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9， 故答案為：2，9． （2）①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)： 有AM＝3， ∴m＝﹣8； 當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)： 有BM＝3， ∴m＝5， ∴m的值為﹣8或5． ②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A的左側(cè)： 有BN＝12， ∴n＝﹣10； 當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)B的右側(cè)： 有AN＝12， ∴n＝7， ∴n的值為﹣10或7． （3）分三種情況： 當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)， d2（點(diǎn)F，線段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x， d1（點(diǎn)E，線段AB）＝AE＝﹣5﹣x， ∵d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍， ∴﹣x＝3（﹣5﹣x）， ∴x＝﹣7.5， 當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，d1（點(diǎn)E，線段AB）＝0，不合題意舍去， 當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)， d2（點(diǎn)F，線段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7， d1（點(diǎn)E，線段AB）＝EB＝x﹣2， ∵d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍， ∴x+7＝3（x﹣2）， ∴x＝6.5， 綜上所述：x的值為：﹣7.5或6.5． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的距離相關(guān)問(wèn)題，理解題目已知給出的定義是解題的關(guān)鍵． 【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，C，D為線段AB上兩點(diǎn)，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D為線段AC的中點(diǎn)，則線段CB＝　4　cm． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)D為線段AC的中點(diǎn)，可得AC＝2AD＝3cm，再根據(jù)線段的和差即可求解． 【規(guī)范解答】解：∵D為線段AC的中點(diǎn)， ∴AC＝2AD＝3cm， ∵AB＝7cm， ∴CB＝AB﹣AC＝7﹣3＝4（cm）， 故答案為：4． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了有關(guān)中點(diǎn)的計(jì)算，熟練掌握把一條線段分成相等的兩段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練2-1】（2022秋?瀘縣校級(jí)期末）下列說(shuō)法：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線；②兩點(diǎn)之間線段最短；③經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，有且只有一條直線；④若線段AM等于線段BM，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，其中正確的有（　?。?A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離，線段的性質(zhì)逐一判斷即可． 【規(guī)范解答】解：①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線，說(shuō)法正確； ②兩點(diǎn)之間線段最短，說(shuō)法正確； ③經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，有且只有一條直線，說(shuō)法正確； ④若線段AM等于線段BM，則當(dāng)A、B、M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，原說(shuō)法錯(cuò)誤； ∴說(shuō)法正確的一共有3個(gè)， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，線段中點(diǎn)的定義等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練2-2】（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D分別代表四個(gè)小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距am，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距am，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計(jì)劃在A，B，C，D四個(gè)小區(qū)中選一個(gè)作為班車?？奎c(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程總和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（　?。? A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分別計(jì)算?？奎c(diǎn)分別在B、D、C各點(diǎn)時(shí)員工步行的路程和，選擇最小的即可求解． 【規(guī)范解答】解：因?yàn)楫?dāng)停靠點(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）＝37a+5200（m）， 因?yàn)楫?dāng)?？奎c(diǎn)在B區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m）， 當(dāng)?？奎c(diǎn)在C區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m）， 當(dāng)?？奎c(diǎn)在D區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝85a+7000（m）， 因?yàn)?6a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜85a+7000， 所以當(dāng)?？奎c(diǎn)在B小區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和最小，那么停靠點(diǎn)的位置應(yīng)該在B區(qū)． 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，理清題意，正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練2-3】（2022秋?句容市校級(jí)期末）如圖，延長(zhǎng)線段AB到C，使BC＝3AB，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm． （1）求AC的長(zhǎng)度． （2）若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，求ED的長(zhǎng)度． 【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm，求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)BC＝3AB求出AB的長(zhǎng)，由AC＝AB+BC即可得出結(jié)論； （2）先根據(jù)線段的中點(diǎn)可得EC的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的差可得結(jié)論． 【規(guī)范解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，CD＝3cm， 所以BC＝2CD＝6cm， 因?yàn)锽C＝3AB＝6cm， 所以AB＝2cm， 所以AC＝AB+BC＝8cm，即AC的長(zhǎng)度為8cm． （2）因?yàn)镋是AC中點(diǎn)，所以EC＝AC＝4cm， 所以ED＝EC﹣DC＝4﹣3＝1cm 即ED的長(zhǎng)度是1cm． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 【典例精講】（2022秋?如皋市校級(jí)期末）如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB． （1）請(qǐng)用圓規(guī)在圖中確定D點(diǎn)的位置； （2）比較線段的大?。篈C　＝　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； （3）若AB：BC＝2：5，AC＝14，求AD的長(zhǎng)． 【思路點(diǎn)撥】（1）以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即為所求； （2）由線段AB＝CD得出AB+BC＝CD+BC，即可得出結(jié)論； （3）由已知求出AB＝4，得出CD＝4，即可得出AD的長(zhǎng)． 【規(guī)范解答】解：（1）如圖所示，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，即為所求， （2）∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD； 故答案為＝； （3）∵AB：BC＝2：5，AC＝14， ∴， ∴CD＝4， ∴AD＝AC+CD＝18， 故答案為：18． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查線段長(zhǎng)短的計(jì)算及作一條線段等于已知線段，對(duì)線段長(zhǎng)進(jìn)行大小比較以及對(duì)線段長(zhǎng)度求值，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知B、C在線段AD上． （1）圖中共有 　6　條線段； （2）若AB＝CD． ①比較線段的大?。篈C　＝　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度． 【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)B、C在線段AD上，即可得到圖中共有線段AB，AC，AD，BC，BD，CD． （2）①依據(jù)AB＝CD，即可得到AB+BC＝CD+BC，進(jìn)而得出AC＝BD；②依據(jù)線段的和差關(guān)系以及中點(diǎn)的定義，即可得到MN的長(zhǎng)度． 【規(guī)范解答】解：（1）∵B、C在線段AD上，∴圖中共有線段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6條． 故答案為：6； （2）①若AB＝CD，則AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD． 故答案為：＝； ②∵AC＝18，BC＝12， ∴AB＝CD＝AC﹣BC＝18﹣12＝6， ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)， ∴， ∴， ∴MN＝BM+CN+BC＝6+12＝18． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及線段的和差關(guān)系，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性． 【變式訓(xùn)練3-2】（2019秋?宿城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E在同一直線上，且AC＝BD，E是線段BC的中點(diǎn)． （1）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由； （2）當(dāng)AD＝10，AB＝3時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)度． 【思路點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．由于AC＝BD可以得到AB＝CD，又E是線段BC的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)的性質(zhì)即可證明結(jié)論； （2）由于AD＝10，AB＝3，由此求出BC，然后利用中點(diǎn)的性質(zhì)即可求出BE的長(zhǎng)度． 【規(guī)范解答】解：（1）點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．（1分） ∵AC＝BD， ∴AB+BC＝BC+CD， ∴AB＝CD．（3分） ∵E是線段BC的中點(diǎn)， ∴BE＝EC， ∴AB+BE＝CD+EC，即AE＝ED， ∴點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)．（5分） （2）∵AD＝10，AB＝3， ∴BC＝AD﹣2AB＝10﹣2×3＝4， ∴BE＝BC＝×4＝2． 即線段BE的長(zhǎng)度為2．（8分）． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了線段的長(zhǎng)度的比較，其中利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)． 【變式訓(xùn)練3-3】（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度． （2）在（1）中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它條件不變，你能猜出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你用一句簡(jiǎn)潔的話表述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律． （3）對(duì)于（1）題，如果我們這樣敘述它：“已知線段AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度．”結(jié)果會(huì)有變化嗎？如果有，求出結(jié)果． 【思路點(diǎn)撥】（1）（2）在一條直線或線段上的線段的加減運(yùn)算和倍數(shù)運(yùn)算，首先明確線段間的相互關(guān)系，最好準(zhǔn)確畫出幾何圖形，再根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算； （3）會(huì)出現(xiàn)兩種情況：①點(diǎn)C在線段AB上；②點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上．不要漏解． 【規(guī)范解答】解：（1）∵AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)， ∴MN＝（AC+CB）＝×10＝5cm； （2）MN＝，直線上相鄰兩線段中點(diǎn)間的距離為兩線段長(zhǎng)度和的一半； （3）如圖，有變化，會(huì)出現(xiàn)兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN＝（AC+BC）＝5cm； ②當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，MN＝（AC﹣BC）＝1cm． 【考點(diǎn)評(píng)析】利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)． 【典例精講】（2022秋?贛榆區(qū)校級(jí)月考）∠O，∠AOB，∠1表示同一角是（　　） A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角的表示方法和圖形進(jìn)行判斷即可． 【規(guī)范解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確； D、圖中的∠1不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角． 【變式訓(xùn)練4-1】（2020秋?高淳區(qū)校級(jí)期末）在銳角∠AOB內(nèi)部由O點(diǎn)引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA、OB可組成的角的個(gè)數(shù)是（　?。?A．595 B．406 C．35 D．666 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角的定義以及角的個(gè)數(shù)與角內(nèi)部射線的條數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可． 【規(guī)范解答】解：將∠AOB分成10等份，在∠AOB內(nèi)部有9條射線； 將∠AOB分成12等份，在∠AOB內(nèi)部有11條射線； 將∠AOB分成15等份，在∠AOB內(nèi)部有14條射線； 而將∠AOB分成10等份與12等份，共重合1條射線，將∠AOB分成10等份與15等份，共重合4條射線，將∠AOB分成12等份與15等份，共重合2條射線， 所以三種方法分∠AOB，在∠AOB內(nèi)部一共有9+11+14﹣1﹣4﹣2＝27條射線，因此一共構(gòu)成角的個(gè)數(shù)為28+27+26+…+3+2+1＝406， 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查角的概念，理解角的定義，掌握角的個(gè)數(shù)與角內(nèi)部射線的條數(shù)之間的關(guān)系是正確解答的前提． 【變式訓(xùn)練4-2】（2019秋?沭陽(yáng)縣期末）如圖，∠AOB的度數(shù)是　60　°． 【思路點(diǎn)撥】依據(jù)角的和差關(guān)系，即可得到∠AOB的度數(shù)． 【規(guī)范解答】解：由題可得，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°， 故答案為：60． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了角的概念，有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊． 【變式訓(xùn)練4-3】已知如圖，∠AOB是銳角，以O(shè)為端點(diǎn)向∠AOB內(nèi)部作一條射線，則圖中有多少個(gè)角？若作二條、三條射線有多少個(gè)角？n條時(shí)有多少個(gè)角？畫一畫，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 【思路點(diǎn)撥】在各圖中作出一條、兩條、三條射線，求出有多少個(gè)角，根據(jù)角的數(shù)量總結(jié)出規(guī)律即可求出n條時(shí)有多少角． 【規(guī)范解答】解：圖（1）中有3個(gè)角；圖（2）中有6個(gè)角；圖（3）中有10個(gè)角； 即∠AOB內(nèi)部有一條射線時(shí)，有1+2個(gè)角； ∠AOB內(nèi)部有二條射線時(shí)，有1+2+3個(gè)角； ∠AOB內(nèi)部有三條射線時(shí)，有1+2+3+4個(gè)角； ∠AOB內(nèi)部有n條射線時(shí)，有1+2+3+4+…+（n+1）個(gè)角； 【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了角的概念及角的數(shù)量統(tǒng)計(jì)，根據(jù)具體數(shù)值得出角的數(shù)量變化和射線條數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【典例精講】（2021秋?徐州期末）上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是（　?。?A．30° B．45° C．60° D．75° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算即可解答． 【規(guī)范解答】解：由題意得： 2×30°＝60°， ∴上午10：00，鐘面上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)是：60°， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了鐘面角，熟練掌握時(shí)鐘上一大格是30°是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練5-1】（2022秋?泗陽(yáng)縣校級(jí)期末）9點(diǎn)30分時(shí)，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為 　105　度． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鐘面角的特征進(jìn)行計(jì)算即可． 【規(guī)范解答】解：如圖，由鐘面角的定義可知， ∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝360°×＝30°， ∠BOE＝30°×＝15°， ∴∠AOB＝30°×3+15°＝105°， 故答案為：105． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查鐘面角，理解鐘面上每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間所對(duì)應(yīng)的圓心角為30°是解決問(wèn)題的前提． 【變式訓(xùn)練5-2】（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）時(shí)鐘表面3點(diǎn)25分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)蓨A角（小于平角）的度數(shù)是　47.5°?。?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)3點(diǎn)25分時(shí)針在3和4的之間，分針指向5，每相鄰兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的夾角是30度，進(jìn)而可以得出答案． 【規(guī)范解答】解：3點(diǎn)25分時(shí)針在3和4的之間，分針指向5， 30°×2﹣30°×＝60°﹣12.5°＝47.5°， 故答案為：47.5°． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查鐘面角的大小，熟知鐘面上每相鄰兩個(gè)時(shí)間的夾角是30度是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練5-3】（2017秋?興化市期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D，在鐘面上，點(diǎn)O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓．為便于研究，我們規(guī)定：鐘面圓的半徑OA表示時(shí)針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB；本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本題中所指的時(shí)刻都介于0點(diǎn)整到12點(diǎn)整之間． （1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為　0.5　°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為　6　°； （2）8點(diǎn)整，鐘面角∠AOB＝　120　°，鐘面角與此相等的整點(diǎn)還有：　4　點(diǎn)； （3）如圖，設(shè)半徑OC指向12點(diǎn)方向，在圖中畫出6點(diǎn)15分時(shí)半徑OA、OB的大概位置，并求出此時(shí)∠AOB的度數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周12小時(shí)，可得時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度，根據(jù)分針旋轉(zhuǎn)一周60分鐘，可得分針旋轉(zhuǎn)的速度； （2）根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘每份的度數(shù)，可得答案； （3）根據(jù)時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度減去分針旋轉(zhuǎn)的角度，可得答案． 【規(guī)范解答】解：（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為6°； 故答案為：0.5，6； （2）0.5×60×4＝120°，4點(diǎn)時(shí)0.5×60×4＝120°， 故答案為：120，4； （3）如圖， ∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了鐘面角，利用時(shí)針時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度減去分針旋轉(zhuǎn)的角度是解題關(guān)鍵． 【典例精講】（2021秋?啟東市校級(jí)月考）如圖，OA表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線，則∠AOB的度數(shù)是（　　） A．100° B．120° C．140° D．150° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方向角的定義可直接確定∠AOB的度數(shù)． 【規(guī)范解答】解：因?yàn)镺A表示北偏東20°方向的一條射線，OB表示南偏西50°方向的一條射線， 所以∠AOB＝20°+90°+（90°﹣50°）＝150°． 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了方向角及其計(jì)算．掌握方向角的概念是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練6-1】（2023?南開(kāi)區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，A、O、B在同一條直線上，如果OA的方向是北偏西37°47′，那么OB的方向是　南偏東37°47′?。? 【思路點(diǎn)撥】利用對(duì)頂角相等，得到∠AOC＝∠BOD，根據(jù)方向角的定義即可求解． 【規(guī)范解答】解：如圖， ∵∠AOC和∠BOD是對(duì)頂角， ∴∠AOC＝∠BOD＝37°47′， 故答案為：南偏東37°47′． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了方向角的定義，利用對(duì)頂角相等是關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練6-2】（2013秋?海安縣校級(jí)期末）小明從A處向北偏東72°38′方向走10m到達(dá)B處，小亮也從A處出發(fā)向南偏西15°38′方向走15m到達(dá)C處，則∠BAC的度數(shù)為　123　度． 【思路點(diǎn)撥】將A處作為原點(diǎn)，依據(jù)方位角的概念畫出圖形解答． 【規(guī)范解答】解：從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)∠BAC＝90°+90°﹣72°38′+15°38′＝123°． 【考點(diǎn)評(píng)析】解答此類題需要從運(yùn)動(dòng)的角度，正確畫出方位角，找準(zhǔn)中心是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練6-3】（2014秋?靖江市校級(jí)月考）如圖，貨輪D在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它的南偏東60°的方向上．同時(shí)，在貨輪D的北偏西30°、西北方向上又發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C． （1）仿照表示燈塔方位的方法，在圖中畫出表示客輪B和海島C方向的射線； （2）在（1）的條件下填空：∠BOC＝　15°　，∠BOA＝　150°?。缓汀螦OF互余的角為　∠AOE?。? 【思路點(diǎn)撥】（1）由所給的方向角畫圖即可， （2）根據(jù)方向角及余角定義求解即可． 【規(guī)范解答】解：（1）如圖， （2）∠BOC＝45°﹣30°＝15°，∠BOA＝30°+90°+30°＝150°；∠AOF互余的角為∠AOE， 故答案為：15°，150°，∠AOE，∠BOH． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是熟記以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對(duì)象所處的方向的射線． 【典例精講】（2022秋?宜興市月考）下列說(shuō)法中：其中正確的有（　?。?①1°＝60′； ②若2AC＝BC，則A是線段BC的中點(diǎn)； ③兩點(diǎn)之間所有連線中，直線最短； ④兩點(diǎn)確定一條直線． A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)度分秒的換算進(jìn)行判定即可得出答案； ②根據(jù)題意畫出圖形，如圖進(jìn)行判定即可得出答案； ③根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案； ④根據(jù)直線的性質(zhì)進(jìn)行判定即可得出答案． 【規(guī)范解答】解：①因?yàn)?°＝60′，所以①說(shuō)法正確，故①選項(xiàng)符合題意； ②如圖，因?yàn)?AC＝BC，A不是線段BC的中點(diǎn)，所以②說(shuō)法不正確，故②選項(xiàng)不符合題意； ③因?yàn)閮牲c(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短，所以③說(shuō)法不正確，故③選項(xiàng)不符合題意； ④因?yàn)橹本€公理：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．所以④說(shuō)法正確，故④選項(xiàng)符合題意． 所以說(shuō)法正確的有①④， 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了度分秒的換算，兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)間的距離，直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)進(jìn)行判定是關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練7-1】（2022秋?興化市期末）54°36′＝　54.6　度． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)小單位化大單位除以進(jìn)率，可得答案． 【規(guī)范解答】解：54°36′＝54°+36÷60＝54.6°， 故答案為：54.6． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了度分秒的換算，利用小單位化大單位除以進(jìn)率是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練7-2】（2017秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：15°37′+42°51′＝　58°28′　． 【思路點(diǎn)撥】把分相加，超過(guò)60的部分進(jìn)為1度即可得解． 【規(guī)范解答】解：∵37+51＝88， ∴15°37′+42°51′＝58°28′． 故答案為：58°28′． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了度分秒的換算，比較簡(jiǎn)單，要注意度分秒是60進(jìn)制． 【變式訓(xùn)練7-3】（2019秋?港閘區(qū)校級(jí)月考）（1）； （2）； （3）42°15'26''×4﹣21°36'20''÷5+3.295°． 【思路點(diǎn)撥】（1）先計(jì)算小括號(hào)里面的加法，再寫成省略括號(hào)的形式，計(jì)算加減即可； （2）先利用乘方的意義、絕對(duì)值的性質(zhì)、乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可； （3）首先計(jì)算乘除，再算加減即可． 【規(guī)范解答】解：（1）原式＝﹣3+1+2＝﹣2+2＝0； （2）原式＝﹣1﹣8﹣8+33﹣32＝﹣16； （3）原式＝169°1′44″﹣4°19′16″+3°17′42″＝168°10″． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了度分秒的換算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握計(jì)算順序，掌握度、分、秒之間的換算關(guān)系． 【典例精講】（2021秋?大豐區(qū)期末）射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列給出的條件中不能得出OC是∠AOB的平分線的是（　?。?A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠BOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠AOC D．∠BOC＝∠AOB 【思路點(diǎn)撥】利用角平分的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線．可知B不一定正確． 【規(guī)范解答】解：A、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC＝∠BOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)A不符合題意； B、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，則不能判斷OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)B符合題意； C、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝2∠AOC，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)C不符合題意； D、射線OC在∠AOB的內(nèi)部，∠BOC＝∠AOB，則OC是∠AOB的平分線，故選項(xiàng)D不符合題意； 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線． 【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?啟東市校級(jí)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．當(dāng)直線CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時(shí)，下列各角的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無(wú)關(guān)的角是（　?。? A．∠AOD B．∠AOC C．∠EOF D．∠DOF 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，結(jié)合平角的定義可求解∠EOF＝90°，由∠EOF的度數(shù)為定值可判定求解． 【規(guī)范解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD， ∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠EOD+∠DOF＝90°， 即∠EOF＝90°， ∴直線CD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180）時(shí)，∠EOF的度數(shù)與∠BOD度數(shù)變化無(wú)關(guān)． 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查角平分線的定義，求解∠EOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練8-2】（2021秋?溧陽(yáng)市期末）OC、OD是∠AOB內(nèi)部任意兩條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，若∠MON＝m°，∠COD＝n°，則∠AOB＝?。?m﹣n）　°（用含m、n的代數(shù)式表示）． 【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠AOM＝α，∠BON＝β，根據(jù)角平分線的定義可得∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON＝∠BON＝β，即可得出∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β，由∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°，等量代換得α+n°+β＝m°，即可得出α+β＝m°﹣n°，由∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°，計(jì)算即可得出答案． 【規(guī)范解答】解：設(shè)∠AOM＝α，∠BON＝β， ∵OM平分∠AOC，ON平∠BOD， ∴∠MOC＝∠AOM＝α，∠DON＝∠BON＝β， ∠AOC＝2∠AOM＝2α，∠DOB＝2∠DON＝2β， ∵∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝m°， ∴α+n°+β＝m°， ∴α+β＝m°﹣n°， ∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠DOB＝2α+n°+2β＝2（α+β）+n°＝2m°﹣n°． 故答案為：（2m﹣n）． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了角平分線的定義及角的計(jì)算，熟練角平分線的定義及角的計(jì)算列出代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練8-3】（2022秋?徐州期末）如圖①，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOC＝50°．將直角三角尺（斜邊為DE）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OE放在射線OB上．已知∠DEO＝30°，將該三角尺繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，解決下列問(wèn)題． （1）如圖②，若射線OE平分∠BOC，則∠COD與∠DOA的數(shù)量關(guān)系為 　相等??； （2）如圖③，當(dāng)斜邊DE與射線OA相交時(shí)，∠COE與∠AOD的差是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】（1）由OE平分∠BOC，得到∠BOE＝∠COE，由∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，即可證明∠COD＝∠DOA； （2）由條件得到∠COE＝130°﹣∠AOE，∠AOD＝90°﹣∠AOE，即可解決問(wèn)題． 【規(guī)范解答】解：（1）∵射線OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE， ∵∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠COD＝∠DOA， 故答案為：相等； （2）∠COE與∠AOD的差保持不變，理由如下： ∵∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝180°﹣50°＝130°， ∴∠COE＝130°﹣∠AOE， ∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE， ∴∠COE﹣∠AOD＝130°﹣∠AOE﹣（90°﹣∠AOE）＝40°， ∴∠COE與∠AOD的差保持不變． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查角平分線，余角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的定義，余角的性質(zhì)，表示出有關(guān)的角． 【典例精講】（2021秋?興化市校級(jí)月考）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOD，∠BOD＝4∠DOE，∠COE＝α，則∠BOE的度數(shù)為（　　） A．360°﹣4α B．180°﹣4α C．α D．270°﹣3α 【思路點(diǎn)撥】設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x、∠BOE＝3x，根據(jù)角之間的等量關(guān)系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可． 【規(guī)范解答】解：設(shè)∠DOE＝x，則∠BOD＝4x， ∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD， ∴∠BOE＝3x， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣4x． ∵OC平分∠AOD， ∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x． ∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣2x+x＝90°﹣x， 由題意有90°﹣x＝α，解得x＝90°﹣α， 則∠BOE＝270°﹣3α， 故選：D． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查角的計(jì)算的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用好角的平分線這一知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練9-1】（2020秋?姜堰區(qū)期末）將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝10°，則∠EAF的度數(shù)為（　?。? A．40° B．45° C．50° D．55° 【思路點(diǎn)撥】可以設(shè)∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根據(jù)折疊可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，進(jìn)而可求解． 【規(guī)范解答】解：設(shè)∠EAD′＝α，∠FAB′＝β， 根據(jù)折疊性質(zhì)可知： ∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE， ∵∠B′AD′＝10°， ∴∠DAF＝10°+β， ∠BAE＝10°+α， ∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形， ∴∠DAB＝90°， ∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°， ∴α+β＝30°， ∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′ ＝10°+α+β ＝10°+30° ＝40°． 則∠EAF的度數(shù)為40°． 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)． 【變式訓(xùn)練9-2】（2021秋?相城區(qū)校級(jí)月考）在同一平面內(nèi)，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，則∠AOC的度數(shù)為　30°或110°?。?【思路點(diǎn)撥】分OC在∠AOB內(nèi)和OC在∠AOB外兩種情況考慮，依此畫出圖形，根據(jù)角與角之間結(jié)合∠AOB、∠BOC的度數(shù)，即可求出∠AOC的度數(shù)． 【規(guī)范解答】解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時(shí)，如圖1所示． ∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°； 當(dāng)OC在∠AOB外時(shí)，如圖2所示． ∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°． 故答案為：30°或110°． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的計(jì)算，分OC在∠AOB內(nèi)和OC在∠AOB外兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練9-3】（2022秋?南通期末）定義：從∠MPN的頂點(diǎn)P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，則稱射線PQ為∠MPN關(guān)于邊PN的補(bǔ)線． （1）下列說(shuō)法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是 ?、邸?；（填序號(hào)） （2）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC，OD在AB同側(cè)，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關(guān)于邊OD的補(bǔ)線嗎？為什么？ （3）已知射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB＝α，試用含α的式子表示∠AOP（直接寫出結(jié)果）． 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)新定義判斷求解； （2）根據(jù)新定義證明； （3）根據(jù)新定義，分類討論求解． 【規(guī)范解答】解：（1）①當(dāng)這個(gè)角是鈍角時(shí)，它的補(bǔ)線一條在內(nèi)部，鄰補(bǔ)的在外部． ②當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí)，它的補(bǔ)線只有1條； ③當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí)，它的補(bǔ)線只有1條，當(dāng)這個(gè)角不是直角時(shí)，有兩條； 故答案為：③； （2）OC是∠AOD關(guān)于邊OD的補(bǔ)線； 理由：∵OD是∠BOC的平分線， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠COD+∠AOD＝180°， 又∵OC不與OA重合， ∴OC是∠AOD關(guān)于邊OD的補(bǔ)線． （3）∠AOP＝α﹣90°或∠AOP＝α+90°或90°﹣α． 理由： ①如圖，當(dāng)∠AOB為鈍角，且OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)， ∵射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∵∠AOB＝α， ∴∠BOC＝180°﹣α， ∵OP是∠BOC的平分線． ∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α， ∴∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝α﹣（90°﹣α）＝α﹣90°． ②如圖，當(dāng)∠AOB為鈍角，且OC在∠AOB外部時(shí)，∵射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∵∠AOB＝α， ∴∠BOC＝180°﹣α， ∵OP是∠BOC的平分線． ∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α， ∴∠AOP＝∠AOC﹣∠BOP＝180﹣（90°﹣α）＝α+90°． ③如圖，當(dāng)∠AOB為銳角，且OC在∠AOB下方時(shí)，∵射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補(bǔ)線， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180﹣α， ∵OP平分∠BOC， ∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α， ∴∠AOP＝∠BOP﹣∠AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了角的計(jì)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵． 【典例精講】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）已知一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角3倍大10°，則這個(gè)角的度數(shù)是　50　度． 【思路點(diǎn)撥】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補(bǔ)角，本題實(shí)際說(shuō)明了一個(gè)相等關(guān)系，因而可以轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決． 【規(guī)范解答】解：設(shè)這個(gè)角是x°， 則余角是（90﹣x）度，補(bǔ)角是（180﹣x）度， 根據(jù)題意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10 解得x＝50． 故填50． 【考點(diǎn)評(píng)析】題目反映了相等關(guān)系問(wèn)題，就可以利用方程來(lái)解決． 【變式訓(xùn)練10-1】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若∠AOC與∠BOD互余，且∠AOC＝48°，則∠BOD的度數(shù)為（　　） A．132° B．42° C．48° D．138° 【思路點(diǎn)撥】利用余角的定義進(jìn)行求解即可． 【規(guī)范解答】解：∵∠AOC與∠BOD互余， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵∠AOC＝48°， ∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝42°． 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查余角，解答的關(guān)鍵是明確互余的兩角之和為90°． 【變式訓(xùn)練10-2】（2021秋?啟東市期末）若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（　?。?A．30° B．60° C．120° D．150° 【思路點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α，根據(jù)題意列出關(guān)系式，求出α的值即可 【規(guī)范解答】解：設(shè)這個(gè)角為α，則它的余角為90°﹣α，它的補(bǔ)角為180°﹣α． 由題意得，90°﹣α＝（180°﹣α）， 解得：α＝30°． 故這個(gè)角的度數(shù)為30°． 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了余角和補(bǔ)角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握互余和補(bǔ)角的定義． 【變式訓(xùn)練10-3】．（2022秋?錫山區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)O處，且ON平分∠BOD． （1）若∠AOC＝64°，求∠MOB的度數(shù)； （2）試說(shuō)明OM平分∠AOD． 【思路點(diǎn)撥】（1）由對(duì)頂角相等得∠BOD＝68°，再由角平分線的定義可得∠BON的度數(shù)，即可求出∠MOB的度數(shù)； （2）由（1）知∠BON＝∠DON，再由等角的余角相等可直接得到∠AOM＝∠DOM，由此可得證． 【規(guī)范解答】（1）解：∵∠AOC＝64°， ∴∠BOD＝64°， ∵ON平分∠BOD， ∴∠BON＝32°， ∴∠MOB＝∠MON+∠BON＝90°+32°＝122°； （2）證明：∵∠MON＝90°， ∴∠MOD+∠NOD＝∠AOM+∠BON＝90°， 由（1）知∠BON＝∠DON， ∴∠MOD＝∠AOM，即OM平分∠AOD． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查余角的定義，角平分線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是得出∠AOM＝∠DOM． 【典例精講】（2022秋?泗洪縣期末）如圖所示，從A地到B地有多條道路可?，?們往往會(huì)選擇?中間的直路，這是因?yàn)椋ā　。? A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn) C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．其他的路?不通 【思路點(diǎn)撥】由題意從A地到B地有多條道路，肯定要盡量選擇兩地之間最短的路程，就用到兩點(diǎn)間線段最短的數(shù)學(xué)知識(shí)． 【規(guī)范解答】解：從A到B有多條道路，人們會(huì)走中間的直路，而不會(huì)走其他曲折的路，這是因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短． 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了線段的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短． 【變式訓(xùn)練11-1】（（2020秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示：兩條直線相交，最多有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有三個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，像這樣，10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　?。? A．40個(gè) B．45個(gè) C．50個(gè) D．55個(gè) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線的條數(shù)與相交時(shí)交點(diǎn)最多時(shí)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系得出答案． 【規(guī)范解答】解：2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)，即0+1＝1（個(gè)）， 3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，即1+2＝3（個(gè)）， 4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，即1+2+3＝6（個(gè)）， 5條直線相交，最多有10個(gè)交點(diǎn)，即1+2+3+4＝10（個(gè)）， … 10條直線相交，最多有45個(gè)交點(diǎn)，即1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45（個(gè)）， 故選：B． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查相交線，理解平面內(nèi)直線的條數(shù)與交點(diǎn)最多的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練11-2】（2021秋?濱湖區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是　0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)?。?【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線的定義，相交線的定義，可得答案． 【規(guī)范解答】解：當(dāng)三條直線互相平行，交點(diǎn)是個(gè)0； 當(dāng)兩條直線平行，與第三條直線相交，交點(diǎn)是2個(gè)； 當(dāng)三條直線兩兩相交交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)； 當(dāng)三條直線兩兩相交且不交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是3個(gè)； 故答案為：0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了相交線和平行線，能夠正確分類討論是解題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練11-3】（2019秋?臨江市期末）試用幾何語(yǔ)言描述下圖：　直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O　． 【思路點(diǎn)撥】從兩條直線的位置關(guān)系可知，兩條直線相交，交點(diǎn)為O，故再根據(jù)直線的表示方法進(jìn)行描述即可． 【規(guī)范解答】解：從兩條直線的位置關(guān)系可知，兩條直線相交，交點(diǎn)為O， 故用幾何語(yǔ)言可描述為：直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O． 故答案為：直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是相交線，比較簡(jiǎn)單． 【典例精講】（2022秋?江陰市期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝∠COF＝90°，圖中與∠BOC互補(bǔ)的角有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互為余角的定義以及對(duì)頂角的定義可得∠AOC＝∠BOD＝∠EOF，再根據(jù)互為補(bǔ)角的定義以及等量代換可得答案． 【規(guī)范解答】解：∵∠AOE＝∠COF＝90°，即∠AOC+∠COE＝∠COE+∠EOF＝90°， ∴∠AOC＝∠EOF， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝∠BOD＝∠EOF， ∵∠BOC+∠AOC＝180°，即∠BOC與∠AOC互為補(bǔ)角， ∴∠BOC互補(bǔ)的角有：∠AOC，∠BOD，∠EOF共3個(gè)， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查互為余角、互為補(bǔ)角、對(duì)頂角，掌握互為余角、互為補(bǔ)角以及對(duì)頂角的定義是正確解答的前提． 【變式訓(xùn)練12-1】（2017秋?豐縣校級(jí)月考）下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（　?。?A． B． C． D． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角進(jìn)行分析即可． 【規(guī)范解答】解：A、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、∠1與∠2是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)正確； D、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了對(duì)頂角，關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角定義． 【變式訓(xùn)練12-2】（2022秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）已知如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE為射線，若∠AOE+∠DOE＝110°，則∠AOC＝　70　°． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角相等可求得． 【規(guī)范解答】解：∵∠AOE+∠DOE＝110°， ∴∠DOB＝180°﹣（∠AOE+∠DOE）＝180°﹣110°＝70°， ∠AOC＝∠DOB＝70°． 故答案為：70． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，掌握對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角定義是關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練12-3】（2021秋?高郵市期末）如圖1，已知射線OB在∠AOC內(nèi)，若滿足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”． （1）如圖2，已知點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)，射線OB、OC在直線AD同側(cè)，且射線OC平分∠BOD．試說(shuō)明：射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”； （2）如圖3，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)； （3）如圖4，已知射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”，且射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)互補(bǔ)線解答即可； （2）根據(jù)射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線”，得到∠BOC+∠BOE＝180°，再有等量代換得出∠AOC＝∠BOE，求出∠DOA的度數(shù)，再由∠DOE＝180°﹣∠COE求得即可； （3）根據(jù)角平分線的定義和補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論． 【規(guī)范解答】解：（1）∵射線OC平分∠BOD， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC+∠COD＝180°， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∴射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”； （2）∵射線OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線”， ∴∠BOC+∠BOE＝180°， 又∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOE， ∵∠AOC+∠DOA＝180°，且∠DOA＝136°， ∴∠AOC＝180°﹣∠DOA＝180°﹣136°＝44°， ∴∠BOC＝44°， ∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝180°﹣44°﹣44°＝92°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COE， ＝180°﹣92°， ＝88°； （3）∠BOC+∠EOF的度數(shù)是為定值，等于90° ∵射線OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線”， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵射線OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC， ∴∠AOE＝∠EOC，∠BOF＝∠FOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOF+∠FOC+∠AOE+∠EOC＝180°， ∵2∠BOF+2∠EOC＝180°， ∴∠BOF+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠EOB+∠BOF+∠FOC， ∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC＝90°， ∴2∠BOF+∠EOB+∠FOC＝90°， ∴∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠BOF＝90°， ∴2∠BOF＝∠BOC，∠EOB+∠BOF＝∠EOF， ∴∠BOC+∠EOF＝90°， ∴∠BOC+∠EOF的度數(shù)是為定值，等于90°． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了余角和補(bǔ)角，角平分線的定義，角的計(jì)算，正確的找出個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【典例精講】（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（　　） A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)原理解答即可． 【規(guī)范解答】解：小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短， 故選：A． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)和生活密不可分的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練13-1】（2018秋?泰興市期末）在體育課上某同學(xué)立定跳遠(yuǎn)的情況如圖所示，l表示起跳線，在測(cè)量該同學(xué)的實(shí)際立定跳遠(yuǎn)成績(jī)時(shí)，應(yīng)測(cè)量圖中線段PC的長(zhǎng)，理由是　垂線段最短　． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進(jìn)行解答即可． 【規(guī)范解答】解：這樣做的理由是根據(jù)垂線段最短． 故答案為：垂線段最短． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理． 【變式訓(xùn)練13-2】（2021秋?泰興市期末）如圖，用三張卡片拼成如圖①，圖②所示的兩個(gè)四邊形，其周長(zhǎng)分別為C1、C2． （1）請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)解釋：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 　C?。ㄌ顚懻_選項(xiàng)的字母） A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線 （2）分別計(jì)算C1、C2（用含m、n的代數(shù)式表示）； （3）比較與的大小，并說(shuō)明理由． 【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)垂線段的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （2）依據(jù)圖形的邊界，計(jì)算其周長(zhǎng)即可； （3）利用作差法進(jìn)行計(jì)算，即可得到與的大小關(guān)系． 【規(guī)范解答】解：（1）在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是垂線段最短， 故選：C； （2）如圖所示， C1＝2m+4n；C2＝4m+2n； （3）， ∵n＜m， ∴n﹣m＜0， ∴， ∴． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了垂線段最短以及列代數(shù)式，垂線段最短指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言． 【變式訓(xùn)練13-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）如圖，在直線MN的異側(cè)有A、B兩點(diǎn)，按要求畫圖取點(diǎn)，并注明畫圖取點(diǎn)的依據(jù)． （1）在直線MN上取一點(diǎn)C，使線段AC最短．依據(jù)是　垂線段最短?。?（2）在直線MN上取一點(diǎn)D，使線段AD+BD最短．依據(jù)是　兩點(diǎn)之間線段最短?。? 【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)A作AC⊥MN，AC最短； （2）連接AB交MN于D，這時(shí)線段AD+BD最短． 【規(guī)范解答】解：（1）過(guò)A作AC⊥MN，根據(jù)：垂線段最短． （2）連接AB交MN于D，根據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短． 【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)和線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短． 【典例精講】（2019秋?邗江區(qū)校級(jí)期末）點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線l上，若PA＝4cm，PB＝5cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是（　?。?A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短，即可求解． 【規(guī)范解答】解：根據(jù)垂線段最短，則點(diǎn)P到直線l的距離應(yīng)該小于PA、PB中最小的， 故選：C． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離的內(nèi)容，要理解基本定義，明確垂線段最短． 【變式訓(xùn)練14-1】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C，D．則點(diǎn)A到直線BC的距離是線段 　AC　的長(zhǎng)． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，可得答案． 【規(guī)范解答】解：AC⊥BC，垂足為點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)A到BC的距離是線段AC的長(zhǎng)度， 故答案為：AC． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度． 【變式訓(xùn)練14-2】（2021秋?金壇區(qū)月考）如圖，AB⊥l1，AC⊥l2，已知AB＝4，BC＝3，AC＝5，則點(diǎn)A到直線l1的距離是　4　． 【思路點(diǎn)撥】由AB⊥l1，即可得出答案． 【規(guī)范解答】解：∵AB⊥l1， 則點(diǎn)A到直線l1的距離是AB的長(zhǎng)＝4； 故答案為：4． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義是解題關(guān)鍵． 【變式訓(xùn)練14-3】（2018秋?鹽都區(qū)期末）如圖，A、B、C是平面內(nèi)三點(diǎn)． （1）按要求作圖： ①作射線BC，過(guò)點(diǎn)B作直線l，使A、C兩點(diǎn)在直線l兩旁； ②點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線BC上任意一點(diǎn)，連接線段AP、PQ； （2）在（1）所作圖形中，若點(diǎn)A到直線l的距離為2，點(diǎn)A到直線BC的距離為5，點(diǎn)A、B 之間的距離為8，點(diǎn)A、C之間的距離為6，則AP+PQ的最小值為　5　，依據(jù)是　垂線段最短?。? 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意作出圖形即可； （2）根據(jù)線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【規(guī)范解答】解：（1）①如圖1所示，射線BC，直線l即為所求； ②如圖1所示，線段AP，PQ即為所求； （2）過(guò)A作AQ⊥BC交直線l于P， 則此時(shí)，AP+PQ的值最小， ∵點(diǎn)A到直線BC的距離為5， ∴AP+PQ的最小值為5， 依據(jù)是垂線段最短， 故答案為：5，垂線段最短． 【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，直線，射線，線段的定義，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵 ∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β＝90°90°

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