平面向量基本定理
思考：0能與另外一個(gè)向量a構(gòu)成基底嗎？
[提示] 不能.基向量是不共線的，而0與任意向量是共線的.
1.設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是( )
A.{e1，e2} B.{e1＋e2,3e1＋3e2} C.{e1,5e2} D.{e1，e1＋e2}
2.若a，b不共線，且la＋mb＝0(l，m∈R)，則l＝________，m＝________.
3.如圖所示，向量eq \(OA,\s\up14(→))可用向量e1，e2表示為________.
【例1】 設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：
①eq \(AD,\s\up14(→))與eq \(AB,\s\up14(→))；②eq \(DA,\s\up14(→))與eq \(BC,\s\up14(→))；③eq \(CA,\s\up14(→))與eq \(DC,\s\up14(→))；④eq \(OD,\s\up14(→))與eq \(OB,\s\up14(→)).其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
對(duì)基底的理解
兩個(gè)向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線.若共線，則不能作基底，反之，則可作基底.
若向量a，b不共線，則c＝2a﹣b，d＝3a﹣2b，試判斷{c，d}能否作為基底.
【例2】 (1)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點(diǎn)，且eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CA,\s\up14(→))＝b，給出下列結(jié)論：①eq \(AD,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,2)a﹣b；②eq \(BE,\s\up14(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(EF,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)a.其中正確的結(jié)論的序號(hào)為________.
(2)如圖所示，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的中點(diǎn)，DE與BF交于點(diǎn)G，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，試用a，b表示向量eq \(DE,\s\up14(→))，eq \(BF,\s\up14(→)).
用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”
(1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；
②向量減法的幾何意義；
③數(shù)乘向量的幾何意義.
(2)模型：
【例3】如圖所示，在△OAB中，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn).若OM與BN相交于點(diǎn)P，求eq \(OP,\s\up14(→)).
1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：
2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用：
平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2.在具體求λ1，λ2時(shí)有兩種方法：
(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理.
(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解.
1.對(duì)基底的理解
(1)基底的特征
基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.
(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底.
2.準(zhǔn)確理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕祝瑢栴}中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.
1.判斷正誤
(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底.( )
(2)基底中的向量可以是零向量.( )
(3)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的.( )
(4)e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.( )
2.已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是( )
A.{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→))} B.{eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))} C.{eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))} D.{eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))}
3.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq \(BC,\s\up14(→))＝3eq \(CD,\s\up14(→))，則( )
A.eq \(AD,\s\up14(→))＝﹣eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→)) B.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up14(→)) C.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→)) D.eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up14(→))
6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)平面向量的正交分解：
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐標(biāo)表示：
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，取{i，j}作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量的坐標(biāo)表示.
(3)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，設(shè)eq \(OA,\s\up14(→))＝xi＋yj，則向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo).
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有：
1.已知a＝(3,5)，b＝(﹣3,2)，則a＋b＝( )
A.(8，﹣1) B.(0,7) C.(7,0) D.(﹣1,8)
2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b﹣a等于( )
A.(﹣2,1) B.(2，﹣1) C.(2,0) D.(4,3)
3.已知點(diǎn)A(1，﹣2)，點(diǎn)B(4,0)，則向量eq \(AB,\s\up14(→))＝________.
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為________.
【例1】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b.四邊形OABC為平行四邊形.
(1)求向量a，b的坐標(biāo)； (2)求向量eq \(BA,\s\up14(→))的坐標(biāo)； (3)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法：
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：可利用已知條件，先求出該點(diǎn)相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)，該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)：首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).
【例2】 (1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up14(→))＝(﹣4，﹣3)，則向量eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A.(﹣7，﹣4) B.(7,4) C.(﹣1,4) D.(1,4)
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(﹣1,2)，(3，﹣5)，求a＋b，a﹣b的坐標(biāo).
平面向量坐標(biāo)(線性)運(yùn)算的方法
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
若A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，﹣4)，(0,6)，(﹣8,10)，求eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))﹣eq \(AC,\s\up14(→))的坐標(biāo).
【例3】 已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(﹣1，﹣2)，C(3,1)，且eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.(2，eq \f(7,2)) B.(2，﹣eq \f(1,2)) C.(4,5) D.(1,3)
在平面幾何問題中，可以借助平行四邊形對(duì)邊平行且相等，也可利用平行四邊形法則求解.
3.已知平行四邊形OABC，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A(2,1)，B(1,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.
1.在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)的點(diǎn)、以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量、有序?qū)崝?shù)對(duì)三者之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.如圖所示.
2.向量的坐標(biāo)和其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才和其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.
3.在進(jìn)行向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算時(shí)，要牢記公式，細(xì)心計(jì)算，防止符號(hào)錯(cuò)誤.
1.判斷正誤
(1)相等向量的坐標(biāo)相同.( )
(2)平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo).( )
(3)一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量.( )
(4)平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).( )
2.設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq \(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，eq \(\(OB,\s\up14(→)))＝3i＋4j，則eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))的坐標(biāo)是( )
A.(1，﹣2) B.(7,6) C.(5,0) D.(11,8)
3.已知點(diǎn)A(﹣1，﹣2)，B(4,3)，則eq \(AB,\s\up14(→))的坐標(biāo)為( )
A.(3,1) B.(﹣5，﹣5) C.(5,5) D.(﹣5,5)
4.已知A(2，﹣3)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(3，﹣2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )
A.(﹣5,5) B.(5，﹣5) C.(﹣1,1) D.(1,1)
5.(1)已知平面上三個(gè)點(diǎn)A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))﹣eq \(AC,\s\up14(→))；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(﹣3,4)，求向量a＋b，a﹣b的坐標(biāo).
6.3.4 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
(1)符號(hào)表示：已知a＝(x，y)，則λa＝λ(x，y)＝(λx，λy).
(2)文字描述：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
2.平面向量共線的坐標(biāo)表示
(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
(2)如果用坐標(biāo)表示，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2﹣x2y1＝0.
思考：兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的坐標(biāo)條件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)嗎？
[提示] 不一定，x2，y2有一者為零時(shí)，比例式?jīng)]有意義，只有x2y2≠0時(shí)，才能使用.
1.已知向量eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(0,2)，則eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A.(﹣2，﹣2) B.(2,2) C.(1,1) D.(﹣1，﹣1)
2.下列各對(duì)向量中，共線的是( )
A.a＝(2,3)，b＝(3，﹣2) B.a＝(2,3)，b＝(4，﹣6)
C.a＝(eq \r(2)，﹣1)，b＝(1，eq \r(2)) D.a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)
3.已知a＝(﹣3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，則y＝________.
4.若A(3，﹣6)，B(﹣5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝________.
【例1】 (1)下列各組向量中，共線的是( )
A.a＝(﹣2,3)，b＝(4,6) B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，﹣2)，b＝(7,14) D.a＝(﹣3,2)，b＝(6，﹣4)
(2)已知A(﹣1，﹣1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(CD,\s\up14(→))平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？
向量共線的判定方法
提醒：向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1﹣x2y2＝0或x1x2﹣y1y2＝0都是不對(duì)的，因此要理解并記熟這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減.
1.已知A(1，﹣3)，B(8，eq \f(1,2))，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線.
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(﹣3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a﹣3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？
利用向量平行的條件處理求值問題的思路
(1)利用共線向量定理a＝λb(b≠0)列方程組求解.
(2)利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2﹣x2y1＝0直接求解.
2.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，﹣2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，則λ＝________.
【例3】 (1)已知向量a＝(cs α，﹣2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，則2sin αcs α等于( )
A.3 B.﹣3 C.﹣eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
(2)如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).
應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟
3.如圖所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up14(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo).
[探究問題]
1.設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)？
2.設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是什么？
3.當(dāng)eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(PP2,\s\up14(→))時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？
【例4】已知點(diǎn)A(3，﹣4)與點(diǎn)B(﹣1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
1.若將本例條件“|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|”改為“eq \(AP,\s\up14(→))＝3eq \(PB,\s\up14(→))”其他條件不變，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
2.若將本例條件改為“經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,3)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝3|eq \(AP,\s\up14(→))|”，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo).
求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)注意的問題
(1)設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若點(diǎn)P是P1P2的中點(diǎn)時(shí)，則P(x，y)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)求線段P1P2上或延長(zhǎng)線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，不必過分強(qiáng)調(diào)公式的記憶，可以轉(zhuǎn)化為向量問題后列出方程組求解，同時(shí)要注意分類討論.
(3)若eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(P1P2,\s\up14(→))(λ≠0)，
①0＜λ＜1時(shí)，P在線段P1P2上；
②λ＝1時(shí)，P與P2重合；
③λ＞1時(shí)，點(diǎn)P在線段P1P2延長(zhǎng)線上；
④λ＜0時(shí)，點(diǎn)P在線段P1P2反向延長(zhǎng)線上.
1.兩個(gè)向量共線條件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)當(dāng)b≠0時(shí)，a＝λb.
(2)x1y2﹣x2y1＝0.
(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.
2.向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用
兩向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用，可分為兩個(gè)方面.
(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線.聯(lián)系平面幾何平行、共線知識(shí)，可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問題.要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行的不同.
(2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值，求軌跡方程，要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).
1.判斷正誤
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a與b共線，則eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，則a與b不共線.( )
(3)若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))都是共線向量.( )
2.已知兩點(diǎn)A(2，﹣1)，B(3,1)，則與eq \(AB,\s\up14(→))平行且方向相反的向量a可以是( )
A.(1，﹣2) B.(9,3) C.(﹣2,4) D.(﹣4，﹣8)
3.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(﹣2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于________.
4.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，eq \(OA,\s\up14(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？
6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
2.向量模的公式
設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
3.兩點(diǎn)間的距離公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
4.向量的夾角公式
設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b 夾角為θ，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
思考：已知向量a＝(x，y)，你知道與a共線的單位向量的坐標(biāo)是什么嗎？與a垂直的單位向量的坐標(biāo)又是什么？
[提示] 設(shè)與a共線的單位向量為a0，則a0＝±eq \f(1,|a|)a＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,|a|)，\f(y,|a|)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,\r(,x2＋y2))，\f(y,\r(,x2＋y2))))，其中正號(hào)、負(fù)號(hào)分別表示與a同向和反向.易知b＝(﹣y，x)和a＝(x，y)垂直，
所以與a垂直的單位向量b0的坐標(biāo)為±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－y,\r(,x2＋y2))，\f(x,\r(,x2＋y2))))，其中正、負(fù)號(hào)表示不同的方向.
1.若向量a＝(x,2)，b＝(﹣1,3)，a·b＝3，則x等于( )
A.3 B.﹣3 C.eq \f(5,3) D.﹣eq \f(5,3)
2.已知a＝(2，﹣1)，b＝(2,3)，則a·b＝________，|a＋b|＝________.
3.已知向量a＝(1,3)，b＝(﹣2，m)，若a⊥b，則m＝______.
4.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，則a與b夾角的余弦值為________.
【例1】 (1)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AF,\s\up14(→))＝eq \r(2)，則eq \(AE,\s\up14(→))·eq \(BF,\s\up14(→))的值是________.
(2)已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
①求a的坐標(biāo)；
②若c＝(2，﹣1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.
數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)
(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算.
(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.
1.向量a＝(1，﹣1)，b＝(﹣1,2)，則(2a＋b)·a＝( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，eq \(AB,\s\up14(→))＝(1，﹣2)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(2,1)，則eq \(AD,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【例2】 (1)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(﹣2，y)，若a∥b，則|2a﹣b|等于( )
A.4 B.5 C.3eq \r(5) D.4eq \r(5)
(2)若向量a的始點(diǎn)為A(﹣2,4)，終點(diǎn)為B(2,1)，求：
①向量a的模；
②與a平行的單位向量的坐標(biāo)；
③與a垂直的單位向量的坐標(biāo).
求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運(yùn)算：
利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.
(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：
若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
3.已知平面向量a＝(3,5)，b＝(﹣2,1).
(1)求a﹣2b及其模的大?。?br>(2)若c＝a﹣(a·b)·b，求|c|.
[探究問題]
1.設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，那么cs θ如何用坐標(biāo)表示？
2.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，﹣2)，且a⊥(a﹣b)，則實(shí)數(shù)x等于多少？
【例3】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(﹣2，＋∞) B.(﹣2，eq \f(1,2))∪(eq \f(1,2)，+∞) C.(﹣∞，﹣2) D.(﹣2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，﹣1)，B(3,2)，C(﹣3，﹣1)，AD為BC邊上的高，求|eq \(AD,\s\up14(→))|與點(diǎn)D的坐標(biāo).
1.將本例(1)中的條件“a＝(2,1)”改為“a＝(﹣2,1)”，“銳角”改為“鈍角”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
2.將本例(1)中的條件“銳角”改為“eq \f(π,4)”，求k的值.
1.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟
(1)求向量的數(shù)量積.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積.
(2)求模.利用|a|＝eq \r(x2＋y2)計(jì)算兩向量的模.
(3)求夾角余弦值.由公式cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))求夾角余弦值.
(4)求角.由向量夾角的范圍及cs θ求θ的值.
2.涉及非零向量a，b垂直問題時(shí)，一般借助a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＝0來解決.
1.平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑.準(zhǔn)確地把握這兩種途徑，根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程.同時(shí)，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問題的有力工具.
2.應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長(zhǎng)度等幾何問題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的能力.
3.注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2﹣x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4.事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問題時(shí)，向量夾角問題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會(huì)出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角”的范圍，稍不注意就會(huì)帶來失誤與錯(cuò)誤.
1.判斷正誤
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( )
(2)a·b＜0?a與b的夾角為鈍角.( )
(3)若a·b≠0，則a與b不垂直.( )
(4)|eq \(AB,\s\up14(→))|表示A，B兩點(diǎn)之間的距離.( )
2.已知a＝(3，﹣1)，b＝(1，﹣2)，則a與b的夾角為( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3.設(shè)a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，則實(shí)數(shù)m＝________.
4.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，﹣x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a﹣b|.
平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 課堂跟蹤練習(xí)
1.設(shè)向量a＝(1，﹣3)，b＝(﹣2,4)，c＝(﹣1，﹣2)，若表示向量4a,4b﹣2c,2(a﹣c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為( )
A.(2,6) B.(﹣2,6) C.(2，﹣6) D.(﹣2，﹣6)
2.若a＝(eq \f(3,2)，sinα)，b＝(sinα，eq \f(1,3))，且a∥b，則銳角α為( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.若平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)分別是(4,2)，(5,7)，(﹣3,4)，則第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是( )
A.(12,5) B.(﹣2,9) C.(3,7) D.(﹣4，﹣1)
4.若函數(shù)f(x)＝2sin(eq \f(πx,6)＋eq \f(π,3))(﹣2

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