知識系統(tǒng)整合
規(guī)律方法
1.本章我們學習的向量具有大小和方向兩個要素.用有向線段表示向量時，與有向線段的起點位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量.數(shù)學中的向量指的是自由向量，根據(jù)需要可以進行平移.
2.共線向量條件和平面向量基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量正交分解和用坐標表示向量的基礎(chǔ).
3.向量的數(shù)量積是一個數(shù)，當兩個向量的夾角是銳角或零角時，它們的數(shù)量積為正數(shù)；當兩個向量的夾角為鈍角或180°角時，它們的數(shù)量積為負數(shù)；當兩個向量的夾角是90°時，它們的數(shù)量積等于0.零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.
通過向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度(模)、平面內(nèi)兩點間的距離、兩個向量的夾角，判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直.
4.平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題，要注意“三部曲”；用向量解決物理問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模的要求，要根據(jù)題意結(jié)合物理意義作出圖形，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再通過向量運算使問題解決.
5.正、余弦定理將三角形邊和角的關(guān)系進行量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利用正、余弦定理完成證明，求值問題.
(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解.
(2)解三角形與其他知識交匯問題，可以運用三角形的基礎(chǔ)知識，正、余弦定理、三角形的面積公式與三角恒等變換，通過等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造方程及函數(shù)求解.
6.學習本章要注意類比，如向量的運算法則及運算律可與實數(shù)相應(yīng)的運算法則及運算律進行橫向類比.
7.向量是數(shù)形結(jié)合的載體.在本章學習中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們又以向量為工具，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學問題和物理的相關(guān)問題.同時，向量的坐標表示為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了可能，豐富了我們研究問題的范圍和手段.
思想培優(yōu)
向量的線性運算
向量的線性運算包含向量及其坐標運算的加法、減法、數(shù)乘，向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進行運算，向量的加法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘向量滿足分配律，向量的線性運算也叫向量的初等運算，它們的運算法則在形式上很像實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則，但在具體含義上是不同的.不過由于它們在形式上相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中都可以使用.如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
[典例1] 已知線段AB的端點為A(x,5)，B(﹣2，y)，直線AB上的點C(1,1)，且|Aeq \(C,\s\up6(→))|＝2|Beq \(C,\s\up6(→))|，求x，y的值.
向量的數(shù)量積運算
向量的數(shù)量積運算是本章的核心，由于向量數(shù)量積的運算及其性質(zhì)涵蓋向量的長度、角度以及不等式等，因此它的應(yīng)用也最為廣泛.利用向量的數(shù)量積可以求長度、也可判斷直線與直線之間的關(guān)系(相交的夾角以及垂直)，還可以通過向量的坐標運算將代數(shù)中的有關(guān)函數(shù)、不等式等知識融合在一起.
[典例2] 平面內(nèi)有向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，點M為直線OP上的一動點.
(1)當eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))取最小值時，求eq \(OM,\s\up6(→))的坐標；
(2)在(1)的條件下，求cs∠AMB的值.
向量的應(yīng)用
向量的應(yīng)用是多方面的，但由于我們所學的知識范圍較窄，因此我們目前的應(yīng)用主要限于平面幾何以及用來探討函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)等方面，當然還有在物理方面的應(yīng)用.
[典例3] 在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝12，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝15，l為線段BC的垂直平分線，l與BC交于點D，E為l上異于D的任意一點.
(1)求eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值；
(2)判斷eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值是否為一個常數(shù)，并說明理由.
[典例4]平面向量a＝(eq \r(3)，﹣1)，b＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，若存在不同時為0的實數(shù)k和t，使x＝a＋(t2﹣3)b，y＝﹣ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f(t).
[典例5] 已知△ABC中，A(2,4)，B(﹣1，﹣2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD.
(1)求證：AB⊥AC；
(2)求點D和向量eq \(AD,\s\up6(→))的坐標；
(3)設(shè)∠ABC＝θ，求csθ；
(4)求證：AD2＝BD·CD.
[典例6] 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m＝(a＋c，b)與向量n＝(a﹣c，b﹣a)互相垂直.
(1)求角C；
(2)求sinA＋sinB的取值范圍.
數(shù)形結(jié)合思想
向量本身既有大小，又有方向，可以用幾何法表示，而向量又有良好的運算性質(zhì)——坐標運算，可把向量與數(shù)聯(lián)系起來，這樣向量具備了“數(shù)”與“形”的兩方面特征.兩條直線平行、垂直，三點共線等幾何問題，可通過向量的坐標運算這種代數(shù)手段實現(xiàn)證明，還可利用向量的數(shù)量積處理線段的長度、角度等問題.
[典例7] 已知向量a與b不共線，且|a|＝|b|≠0，則下列結(jié)論正確的是( )
A.向量a＋b與a﹣b垂直 B.向量a﹣b與a垂直
C.向量a＋b與a垂直 D.向量a＋b與a﹣b共線
[典例8] 已知向量eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,0)，向量eq \(OC,\s\up6(→))＝(2,2)，向量eq \(CA,\s\up6(→))＝(eq \r(2)csα，eq \r(2)sinα)，則向量eq \(OA,\s\up6(→))與向量eq \(OB,\s\up6(→))的夾角的取值范圍為( )
A.[0，eq \f(π,4)] B.[eq \f(π,4)，eq \f(5π,12)] C.[eq \f(5π,12)，eq \f(π,2)] D.[eq \f(π,12)，eq \f(5π,12)]
[典例9] 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq \r(3))海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq \r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？
單元鞏固練習卷
一、單選題
1.下列各組平面向量中，可以作為基底的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點共線
3.如果向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個不共線的平面向量，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A.2 B.-2 C.6 D.-6
5.在 SKIPIF 1 < 0 中，下列各式正確的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6.在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在對角線 SKIPIF 1 < 0 上，點 SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B.4 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
7.已知 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一個內(nèi)角，向量 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，則角 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
8.海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長 SKIPIF 1 < 0 直接求三角形面積S的公式，表達式為： SKIPIF 1 < 0 ；它的特點是形式漂亮，便于記憶.中國宋代的數(shù)學家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術(shù)”，雖然它與海倫公式形式上有所不同，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫－秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則用以上給出的公式求得 SKIPIF 1 < 0 的面積為（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D.12
二、多選題
9.已知兩點 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 平行，且方向相反的向量 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
10.已知向量 SKIPIF 1 < 0 (2，1)， SKIPIF 1 < 0 (1，﹣1)， SKIPIF 1 < 0 (m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且( SKIPIF 1 < 0 )∥ SKIPIF 1 < 0 ，下列說法正確的是（ ）
A.a與b的夾角為鈍角 B.向量a在b方向上的投影為 SKIPIF 1 < 0
C.2m＋n＝4 D.mn的最大值為2
11.對于三角形ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A.若sin2A＋sin2B＜sin2C，則三角形ABC是鈍角三角形
B.若A＞B，則sin A＞sin B
C.若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的三角形ABC有兩個
D.若三角形ABC為斜三角形，則 SKIPIF 1 < 0
12.在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
三、填空題
13.已知向量 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影為 ________.
14.已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夾角為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為________.
15.在山頂鐵塔上 SKIPIF 1 < 0 處測得地面上一點 SKIPIF 1 < 0 的俯角 SKIPIF 1 < 0 ，在塔底 SKIPIF 1 < 0 處測得點 SKIPIF 1 < 0 的俯角 SKIPIF 1 < 0 ，已知鐵塔 SKIPIF 1 < 0 部分高 SKIPIF 1 < 0 米，山高 SKIPIF 1 < 0 _______.
16.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點M為 SKIPIF 1 < 0 三邊上的動點，PQ是 SKIPIF 1 < 0 外接圓的直徑，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是_______________________
四、解答題
17.已知向量 SKIPIF 1 < 0 （csx， SKIPIF 1 < 0 csx）， SKIPIF 1 < 0 （csx，sinx）.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求x的值；
（2）若f（x） SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求f（x）的最大值及相應(yīng)x的值.
18.已知 SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，且A，E，C三點共線.
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的坐標；
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，在（2）的條件下，若 SKIPIF 1 < 0 四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標.
19. SKIPIF 1 < 0 的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角A；
（2）從三個條件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 中任選一個作為已知條件，求 SKIPIF 1 < 0 周長的取值范圍.
20.在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
21.如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的長；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值.
22.在 SKIPIF 1 < 0 中，內(nèi)角 SKIPIF 1 < 0 的對邊分別為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 中邊上的高 SKIPIF 1 < 0 .

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