1.向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
①|(zhì)λa|＝|λ||a|；
②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；
當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反.
(2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：
①λ(μ a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特別地，有(﹣λ)a＝λ(﹣a)＝﹣(λa)；
λ(a﹣b)＝λa﹣λb.
(3)線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
2.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
思考：定理中把“a≠0”去掉可以嗎？
[提示] 定理中a≠0不能漏掉.若a＝b＝0，則實(shí)數(shù)λ可以是任意實(shí)數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
1.若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是( )
A.b＝2a B.b＝﹣2a C.a＝2b D.a＝﹣2b
2.點(diǎn)C是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，下列正確的是( )
A.eq \(AB,\s\up14(→))＝3eq \(BC,\s\up14(→)) B.eq \(AC,\s\up14(→))＝2eq \(BC,\s\up14(→)) C.eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→)) D.eq \(AC,\s\up14(→))＝2eq \(CB,\s\up14(→))
3.化簡(jiǎn)：2(3a＋4b)﹣8a＝________.
4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＝λeq \(AO,\s\up14(→))，則λ＝________.
【例1】 (1)若3(x＋a)＋2(x﹣2a)﹣4(x﹣a＋b)＝0，則x＝________.
(2)化簡(jiǎn)下列各式：
①3(6a＋b)﹣9(a＋eq \f(1,3)b)；
②eq \f(1,2)[(3a＋2b)-(a﹣eq \f(1,2)b)]﹣2(eq \f(1,2)a＋eq \f(3,8)b)；
③2(5a﹣4b＋c)﹣3(a﹣3b＋c)﹣7a.
向量數(shù)乘運(yùn)算的方法
(1)向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).
(2)向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解—把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解.在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.
1.(1)化簡(jiǎn)eq \f(2,3)[(4a﹣3b)＋eq \f(1,3)b﹣eq \f(1,4)(6a﹣7b)]；
(2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關(guān)系式3x﹣2y＝a，﹣4x＋3y＝b，求向量x，y.
[探究問(wèn)題]
1.如何證明向量a與b共線？
[提示] 要證明向量a與b共線，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a(bǔ)和b用相同的兩個(gè)向量m，n表示出來(lái)，觀察a與b具有倍數(shù)關(guān)系即可.
2.如何證明A，B，C三點(diǎn)在同一直線上？
[提示] 要證三點(diǎn)A，B，C共線，只需證明eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(BC,\s\up14(→))或eq \(AB,\s\up14(→))與eq \(AC,\s\up14(→))共線即可.
【例2】 (1)已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若eq \(AB,\s\up14(→))＝2e1﹣8e2，eq \(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up14(→))＝2e1﹣e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)已知A，B，P三點(diǎn)共線，O為直線外任意一點(diǎn)，若eq \(OP,\s\up14(→))＝xeq \(OA,\s\up14(→))＋yeq \(OB,\s\up14(→))，求x＋y的值.
1.本例(1)中把條件改為“eq \(AB,\s\up14(→))＝e1＋2e2，eq \(BC,\s\up14(→))＝﹣5e1＋6e2，eq \(CD,\s\up14(→))＝7e1﹣2e2”，則A，B，C，D中哪三點(diǎn)共線？
2.本例(1)中條件“eq \(AB,\s\up14(→))＝2e1﹣8e2”改為“eq \(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三點(diǎn)共線，如何求k的值？
3.試?yán)帽纠?2)中的結(jié)論判斷下列三點(diǎn)是否共線.
①eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up14(→))； ②eq \(OP,\s\up14(→))＝﹣2eq \(OA,\s\up14(→))＋3eq \(OB,\s\up14(→))； ③eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(4,5)eq \(OA,\s\up14(→))﹣eq \f(1,5)eq \(OB,\s\up14(→)).
1.證明或判斷三點(diǎn)共線的方法
(1)一般來(lái)說(shuō)，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(AC,\s\up14(→))(或eq \(BC,\s\up14(→))＝λeq \(AB,\s\up14(→))等)即可.
(2)利用結(jié)論：若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x，y，使eq \(OA,\s\up14(→))＝xeq \(OB,\s\up14(→))＋yeq \(OC,\s\up14(→))且x＋y＝1.
2.利用向量共線求參數(shù)的方法
判斷、證明向量共線問(wèn)題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，解方程從而求得λ的值.
【例3】 (1)如圖，?ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，則eq \(DE,\s\up14(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a﹣b B.eq \f(1,2)a＋b C.a＋eq \f(1,2)b D.a﹣eq \f(1,2)b
(2)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，已知eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(BD,\s\up14(→))＝b，試用a，b分別表示eq \(DE,\s\up14(→))，eq \(CE,\s\up14(→))，eq \(MN,\s\up14(→)).
1.本例(1)中，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段OD的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G，試用a，b表示eq \(AG,\s\up14(→)).
2.本例(1)中，若點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，設(shè)a＝eq \(DE,\s\up14(→))，b＝eq \(DF,\s\up14(→))，用a，b表示eq \(DB,\s\up14(→)).
用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法.
(2)方程法.
當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.
提醒：用已知向量表示未知向量的關(guān)鍵是弄清向量之間的數(shù)量關(guān)系.
2.如圖所示，四邊形ABCD中，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，已知eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，eq \(DC,\s\up14(→))＝c，試用a，b，c表示eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(MN,\s\up14(→)).
1.實(shí)數(shù)與向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，例如λ＋a，λ﹣a是沒(méi)有意義的.
2.λa幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小為原來(lái)的|λ|倍，向量eq \f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量.
3.判斷兩個(gè)向量是否共線，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.若λ存在，則共線；λ不存在，則不共線.
4.共線向量定理的應(yīng)用
①證明向量共線：對(duì)于向量a與b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線(平行).
②證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(AC,\s\up14(→))，則A、B、C三點(diǎn)共線.
③求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.
特別注意：①證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.
②若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
5.注意記住以下結(jié)論并能運(yùn)用
(1)若A，B，P三點(diǎn)共線，則eq \(OP,\s\up14(→))＝xeq \(OA,\s\up14(→))＋yeq \(OB,\s\up14(→))且x＋y＝1.
(2)在△ABC中，若D為BC的中點(diǎn)，則eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))).
(3)在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq \(GA,\s\up14(→))＋eq \(GB,\s\up14(→))＋eq \(GC,\s\up14(→))＝0.
1.判斷正誤
(1)若b＝λa，則a與b共線.( )
(2)若λa＝0，則a＝0.( )
(3)(﹣7)·6a＝﹣42a.( )
(4)若eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(CD,\s\up14(→))(λ≠0)，則A，B，C，D四點(diǎn)共線.( )
2.對(duì)于向量a，b有下列表示：
①a＝2e，b＝﹣2e；
②a＝e1﹣e2，b＝﹣2e1＋2e2；
③a＝4e1﹣eq \f(2,5)e2，b＝e1﹣eq \f(1,10)e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1﹣2e2.
其中，向量a，b一定共線的有( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
3.設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量.若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________.
4.如圖所示，已知eq \(AP,\s\up14(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up14(→))，用eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))表示eq \(OP,\s\up14(→)).
6.2.4 向量的數(shù)量積
1.兩向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)特例：①當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b同向.
②當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b反向.
③當(dāng)θ＝eq \f(π,2)時(shí)，向量a，b垂直，記作a⊥b.
2.平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cs θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.特別地，零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.
思考：向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？
[提示] 數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，線性運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.
3.投影向量
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(CD,\s\up14(→))＝b，過(guò)eq \(AB,\s\up14(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq \(CD,\s\up14(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up14(→))，這種變換為向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.
4.向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝﹣|a||b|. 特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立嗎？
[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線.因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立.
1.已知單位向量a，b，夾角為60°，則a·b＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(,3),2) C.1 D.﹣eq \f(1,2)
2.已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3.已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a與b的夾角為60°，那么a·b等于________.
4.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq \f(2,3)，則a·b為_(kāi)_______.
【例1】 (1)已知單位向量e1，e2的夾角為eq \f(π,3)，a＝2e1﹣e2，則a在e1上的投影是________.
(2)已知向量a與b滿足|a|＝10，|b|＝3，且向量a與b的夾角為120°.求：
①(a＋b)·(a﹣b)；
②(2a＋b)·(a﹣b).
求平面向量數(shù)量積的步驟
(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；
(2)分別求|a|和|b|；
(3)求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cs θ，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去.
求投影的兩種方法：
(1)b在a方向上的投影為|b|cs θ(θ為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cs θ.
(2)b在a方向上的投影為eq \f(a·b,|a|)，a在b方向上的投影為eq \f(a·b,|b|).
1.(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角θ為60°，求：①a·b；②(2a﹣b)·(a＋3b).
(2)設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為eq \r(,2)，eq \(AB,\s\up14(→))＝c，eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CA,\s\up14(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
【例2】 (1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.
(2)已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq \r(10)，求|b|.
求向量的模的常見(jiàn)思路及方法
(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.
(3)一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a﹣b)＝a2﹣b2等.
2.若向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|a﹣2b|＝eq \r(7)，則|b|＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(7),2) C.1 D.2
[探究問(wèn)題]
1.設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？
[提示] a⊥b?a·b＝0.
2.|a·b|與|a||b|的大小關(guān)系如何？為什么？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？
[提示] |a·b|≤|a||b|，設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cs θ.
兩邊取絕對(duì)值得：|a·b|＝|a||b||cs θ|≤|a||b|.
當(dāng)且僅當(dāng)|cs θ|＝1，即cs θ＝±1，θ＝0°或π時(shí)，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
【例3】(1)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為_(kāi)_______.
(2)已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a﹣5b互相垂直，a﹣4b與7a﹣2b互相垂直，求a與b的夾角.
1.將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍.
2.將本例(1)中的條件“銳角”改為“eq \f(π,3)”，求k的值.
1.求向量夾角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求解.
(2)用同一個(gè)量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解.
(3)借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角.
2.要注意夾角θ的范圍θ∈[0，π]，
當(dāng)cs θ＞0時(shí)，θ∈[0，eq \f(π,2))；當(dāng)cs θ＜0時(shí)，θ∈(eq \f(π,2)，π]，當(dāng)cs θ＝0時(shí)，θ＝eq \f(π,2).
1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0≤θ＜eq \f(π,2)時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0，eq \f(π,2)＜θ≤π時(shí))，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝eq \f(π,2)時(shí)).
2.兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|＝eq \r(,a2).
3.要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別
(1)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若ab＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0.實(shí)際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.
(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，b∈R，則|ab|＝|a|·|b|，但對(duì)于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立.這是因?yàn)閨a·b|＝|a||b||cs θ|，而|cs θ|≤1.
(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.
(4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.
1.判斷正誤
(1)若a·b＝0，則a＝0或b＝0.( )
(2)若λa＝0，則λ＝0或a＝0.( )
(3)若a2＝b2，則a＝b或a＝﹣b.( )
(4)若a·b＝a·c，則b＝c.( )
2.已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝﹣1，則a·(2a﹣b)＝( )
A.4 B.3 C.2 D.0
3.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b的方向上的投影為_(kāi)_______.
4.已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a﹣b|.
平面向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積 課時(shí)跟蹤練習(xí)
1.若eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up16(→))＝﹣5e1，且|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(BC,\s\up16(→))|，則四邊形ABCD是( )
A.平行四邊形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
2.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若eq \(AC,\s\up16(→))＝a，eq \(BD,\s\up16(→))＝b，則eq \(AF,\s\up16(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
3.如圖所示，向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))的終點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝﹣3eq \(CB,\s\up16(→)).設(shè)eq \(OA,\s\up16(→))＝p，eq \(OB,\s\up16(→))＝q，eq \(OC,\s\up16(→))＝r，則以下等式中成立的是( )
A.r＝﹣eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q B.r＝﹣p＋2q C.r＝eq \f(3,2)p﹣eq \f(1,2)q D.r＝﹣q＋2p
4.若非零向量a，b滿足|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a﹣b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D.π
5.已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若非零向量c滿足(a﹣c)·(b﹣c)＝0，則|c|的最大值是( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
6.設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up16(→))＝λ1eq \(AB,\s\up16(→))＋λ2eq \(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______.
7.設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a﹣b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________.
8.在四邊形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq \(CP,\s\up16(→))＝2eq \(PD,\s\up16(→)).
(1)若四邊形ABCD是矩形，求eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(BP,\s\up16(→))的值；
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形，且eq \(AP,\s\up16(→))·eq \(BP,\s\up16(→))＝6，求eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(AD,\s\up16(→))夾角的余弦值.
平面向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積 課堂檢測(cè)
1．下列各式計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是( )
①(﹣7)·5a＝﹣35a；②a﹣2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b﹣(a＋b)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq \(CD,\s\up16(→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up16(→))﹣eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) B．﹣eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) C．﹣eq \(BC,\s\up16(→))﹣eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) D.eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))
3．設(shè)Aeq \(B,\s\up16(→))＝eq \f(\r(2),2)(a＋5b)，Beq \(C,\s\up16(→))＝﹣2a＋8b，Ceq \(D,\s\up16(→))＝3(a﹣b)，則共線的三點(diǎn)是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝﹣4，則向量a與b的夾角為( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
5．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a﹣b|＝( )
A．0 B．2eq \r(2) C．4 D．8
6．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k＝________.
7．若a＝﹣e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝﹣3e1＋12e2，則向量a寫(xiě)為λ1b＋λ2c的形式是_______．
8．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，(eq \f(1,2)a＋b)·(2a﹣3b)＝12，則|b|＝________；b在a上的投影向量的模等于________．
9．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1﹣t)b.若b·c＝0，則t＝________.
10．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若eq \(AC,\s\up16(→))·eq \(BE,\s\up16(→))＝1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，則m＋n的值為_(kāi)_______．
9．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，如果eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1﹣e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝3e1＋e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝7e1﹣6e2.
(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；
(2)試確定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共線；
(3)若e1＋λe2與λe1＋e2不共線，試求λ的取值范圍．
10．已知a，b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a＋tb(t∈R)的模取得最小值時(shí)，
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求證：b與a＋tb垂直．
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(重點(diǎn))
2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.(重點(diǎn))
3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)向量共線問(wèn)題.(難點(diǎn))
4.理解實(shí)數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別.(易混點(diǎn))
1.通過(guò)向量的加法得到向量數(shù)乘運(yùn)算的直觀感知，再過(guò)渡到數(shù)乘運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算律，養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.通過(guò)判斷向量共線的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
向量的線性運(yùn)算
向量共線定理
用已知向量表示未知向量
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.平面向量的數(shù)量積.(重點(diǎn))
2.投影向量的概念.(難點(diǎn))
3.向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別.(易混點(diǎn))
1.通過(guò)平面向量的物理背景給出向量數(shù)量積的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).
向量數(shù)量積的計(jì)算及投影
與向量模有關(guān)的問(wèn)題
與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題

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