1、認(rèn)識基本立體圖形的結(jié)構(gòu)并能夠結(jié)合生活．
2、認(rèn)識由幾個(gè)基本立體圖形組合的簡單組合體．
【考點(diǎn)目錄】
考點(diǎn)一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征
考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算
考點(diǎn)三：簡單幾何體的組合體
考點(diǎn)四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題
【基礎(chǔ)知識】
知識點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征
1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．棱柱中不在同一平面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面．
2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
3、棱柱的表示方法：
①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；
②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．
4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．
知識點(diǎn)詮釋：
有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．
判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．
知識點(diǎn)二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征
1、定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；
2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐 ……；S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
E
C
B
A
S
3、棱錐的表示方法：用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示，如四棱錐．
知識點(diǎn)詮釋：
棱錐有兩個(gè)本質(zhì)特征：
（1）有一個(gè)面是多邊形；
（2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可．
知識點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征
1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．
2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱
知識點(diǎn)詮釋：
（1）用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)與底面全等的圓面．
（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．
（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．
知識點(diǎn)四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征
1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．
垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．
2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．
知識點(diǎn)詮釋：
（1）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面．
（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個(gè)等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．
（3）圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐側(cè)面的母線．
知識點(diǎn)五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征
１、定義：用一個(gè)平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺（圓臺）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的頂點(diǎn)；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸．
2、棱臺的表示方法：用各頂點(diǎn)表示，如四棱臺；
3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；
知識點(diǎn)詮釋：
（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點(diǎn)．
（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．
（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．
（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．
知識點(diǎn)六：球的結(jié)構(gòu)特征
1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．
2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．
知識點(diǎn)詮釋：
（1）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．
（2）若半徑為的球的一個(gè)截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．
知識點(diǎn)七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺
特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；
特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；
特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；
知識點(diǎn)八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；
2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．
①多面體與多面體的組合體
由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)三棱柱的組合體；如圖（2）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)四棱錐的組合體；如圖（3）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)三棱臺的組合體．

②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體
由一個(gè)多面體與一個(gè)旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)圓柱組合而成的；如圖（2）是一個(gè)圓錐與一個(gè)四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個(gè)球與一個(gè)三棱錐組合而成的．

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體
由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個(gè)圓臺和兩個(gè)圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個(gè)圓臺、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的．
知識點(diǎn)九：幾何體中的計(jì)算問題
幾何體的有關(guān)計(jì)算中要注意下列方法與技巧：
（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形，有關(guān)證明及運(yùn)算往往與兩者相關(guān)．
（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計(jì)算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個(gè)等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．
（3）研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因?yàn)樵谳S截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．
（4）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．
（5）圓臺問題有時(shí)需要還原為圓錐問題來解決．
（6）關(guān)于球的問題中的計(jì)算，常作球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征
例1．下列命題正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱
D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形
例2．關(guān)于如下圖所示的4個(gè)幾何體，說法正確的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算
例3．已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長與底面半徑的比為（ ）
A．2B．C．4D．
例4．已知圓臺的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，它的軸截面的面積等于，母線與軸的夾角是，求該圓臺的高與母線長.
考點(diǎn)三：簡單幾何體的組合體
例5．已知半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長為，則球的半徑為（ ）
A．B．3C．2D．
例6．已知棱長為2的正方體內(nèi)含有一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.
考點(diǎn)四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題
例7．已知正方體棱長為1.一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿正方體的表面爬到頂點(diǎn).則螞蟻經(jīng)過的最短路程為______.
例8．如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．3
【真題演練】
1．（2007·北京·高考真題（文））如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（ ）
A．B．C．D．
2．（2008·重慶·高考真題（文））如圖，模塊①－⑤均由個(gè)棱長為的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由個(gè)棱長為的小正方體構(gòu)成．現(xiàn)從模塊①－⑤中選出三個(gè)放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個(gè)棱長為的大正方體．則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為（ ）
A．模塊①，②，⑤B．模塊①，③，⑤
C．模塊②，④，⑥D(zhuǎn)．模塊③，④，⑤
3．（2018·全國·高考真題（文））某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為
A．B．C．D．2
4．（2007·北京·高考真題（文））兩個(gè)完全相同的長方體的長、寬、高分別為5厘米、4厘米、3厘米，把它們重疊在一起組成一個(gè)新長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是
A．B．C．D．
5．（2007·全國·高考真題（文））若正棱錐底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是
A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐
6．（2007·江西·高考真題（文））已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)的最短路線的長為___________.
7．（2007·江西·高考真題（理））在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分別為、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到F兩點(diǎn)的最短路徑的長度為________
8．（2007·江西·高考真題（理））如圖所示，在直三棱柱中，底面為直角三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______________．
【過關(guān)檢測】
一、單選題
1．滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形B．有一個(gè)側(cè)面與底面垂直
C．有一個(gè)側(cè)面是矩形D．相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形
2．如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，過點(diǎn)的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．下列說法正確的是（ ）
A．圓柱上下底面各取一點(diǎn)，它們的連線即為圓柱的母線
B．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓
C．圓錐的軸截面是等腰三角形
D．用一個(gè)平面去截球，所得的圓即為大圓
4．已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．4
5．如圖是一個(gè)正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（ ）
A．新B．冠C．病D．毒
6．下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，從一個(gè)正方體中挖掉一個(gè)四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面哪個(gè)選項(xiàng)不是該幾何體的截面？
A．B．C．D．
8．如圖，圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)出發(fā)，沿表面爬到的中點(diǎn)處，則其爬行的最短路線長為，則圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．下列命題中不正確的是（ ）
A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱
B．底面是正多邊形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱錐就是正四面體
D．側(cè)棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
10．下列命題不正確的是（ ）.
A．棱臺的上?下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等
B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐
C．有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐
11．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一個(gè)截面，則截面的圖形可能是（ ）
A．B．C．D．
12．長方體的棱長，則從點(diǎn)沿長方體表面到達(dá)點(diǎn)的距離可以為（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
13．在正三棱錐中，，，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到點(diǎn)，則螞蟻爬過的最短路程為___________．
14．如圖①是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，這時(shí)小正方體朝上面的字是__________．

15．一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為4，那么這個(gè)正三棱錐的高是______________.
16．如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為2m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處．若該小蟲爬行的最短路程為m，則圓錐底面圓的半徑等于______m．
四、解答題
17．如圖，圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半圓，求該圓錐的軸截面中母線與底面直徑所成的角．
18．將一個(gè)圓錐截成圓臺，若圓臺的上、下底面的半徑之比為1∶3，母線長是，高是，求這個(gè)圓錐的高和母線長．
19．如圖，一個(gè)三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱底面，．有一只小蟲從點(diǎn)沿三個(gè)側(cè)面爬到點(diǎn)，求小蟲爬行的最短路程．
基本立體圖形 隨堂檢測
1.下列命題中，正確的是（ ）
A．四棱柱是平行六面體
B．直平行六面體是長方體
C．六個(gè)面都是矩形的六面體是長方體
D．底面是矩形的四棱柱是長方體
2．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A． 是棱臺B． 是圓臺
C． 不是棱柱D． 是棱錐
3.下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．正棱錐的所有側(cè)棱長相等
B．圓柱的母線垂直于底面
C．直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形
D．用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形
4.用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱軸截面面積為（ ）
A．8B．C．D．
5.已知圓柱的高為2，若它的軸截面為正方形，則該圓柱的體積為（ ）
A．B．2πC．D．8π
6.如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1cm，側(cè)面積為，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為___________cm.
7.如圖，某圓柱的高為，底面圓的半徑為，則在此圓柱側(cè)面上，從圓柱的左下點(diǎn)A到右上點(diǎn)B的路徑中，最短路徑的長度為______．
8.如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為的正，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是__________m．
9.如圖，直四棱柱側(cè)棱長為4cm，底面是長為5cm 寬為3cm的長方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B．求：
（1）螞蟻經(jīng)過的最短路程；
（2）螞蟻沿著棱爬行（不能重復(fù)爬行同一條棱）的最長路程．

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