專題23.8 《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)篇） （專項練習(xí)） 一、單選題 1．2022年冬奧會將在我國北京市和張家口市聯(lián)合舉行，下列歷屆冬奧會會徽的部分圖案中，是中心對稱圖形的是（　?。?A． B． C． D． 2．下面四個圖案中，既包含圖形的旋轉(zhuǎn)，又有圖形的軸對稱設(shè)計的是（???????） A． B． C． D． 3．如圖，△COD是由△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)角為（?????） A．∠AOD B．∠AOB C．∠BOC D．∠AOC 4．平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得，則點的坐標(biāo)為（???????） A． B． C． D． 5．如圖，在△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（　?。? A．35° B．40° C．50° D．65 6．如圖，矩形的頂點，，，將矩形以原點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)75°之后點的坐標(biāo)為（???????） A． B． C． D． 7．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點P（－2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（???????） A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，－3） D．（2，3） 8．已知點關(guān)于原點對稱的點在第三象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（???????） A． B． C． D． 9．如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中已有兩個小正方形被涂黑，再將圖中其余小正方形任意涂黑一個，使整個圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的辦法有（???????） A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 10．在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系．如圖，在平面上取定一點O稱為極點；從點O出發(fā)引一條射線Ox稱為極軸；線段OP的長度稱為極徑．點P的極坐標(biāo)就可以用線段OP的長度以及從Ox轉(zhuǎn)動到OP的角度（規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動角度為正）來確定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，則點P關(guān)于點O成中心對稱的點Q的極坐標(biāo)表示不正確的是（ ） A． B． C． D． 二、填空題 11．若，則點A（a，b）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為_______． 12．如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，，，則的長為______． 13．如圖，△ABC為等邊三角形，D是△ABC內(nèi)一點，若將△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到△ACP位置，則旋轉(zhuǎn)角等于 _____度． 14．如圖，是等邊三角形，是三角形內(nèi)一點，，，．則的度數(shù)為_________． 15．如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到．若點D在線段BC的延長線上，則___________． 16．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的對稱中心，點E、F分別在邊AD、BC上，連接OE、OF，若AE=BF=2，則OE+OF的值為__________． 17．如圖，△ABC和△DEC關(guān)于點C成中心對稱，若，，，則AE的長是____________． 18．把邊長分別為4和6的矩形ABCO如圖放在平面直角坐標(biāo)系中，將它繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形EDCF．在旋轉(zhuǎn)過程中， （1）如圖①，當(dāng)點E在射線CB上時，E點坐標(biāo)為__________； （2）當(dāng)△CBD是等邊三角形時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是__________（α為銳角）． 三、解答題 19．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點都在格點上． (1)將向左平移6個單位長度得到，請畫出； (2)畫出關(guān)于點的中心對稱圖形； (3)若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到，那么旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為___________，旋轉(zhuǎn)角度為__________°． 20．如圖，在中，，將繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，且點E恰好落在邊上． (1)求證：平分； (2)連接，求證：． 21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD． （1）依題意補全圖形； （2）若BC=1，求線段BD的長． 22．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形． 探究發(fā)現(xiàn) (1)△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由； 拓展運用 (2)若B、C、E三點不在一條直線上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的長； (3)若△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，△ABC和△DCE的邊長分別為1和2，當(dāng)△BCD的面積最大時，AE的長為______． 23． 正方形中，點為正方形內(nèi)的點，繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與重合． (1)如圖，若正方形的邊長為，，，求證：AE∥BF． (2)如圖，若點為正方形對角線上的點點不與點、重合，試探究AE、AF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明． 24．探究問題： （1）方法感悟： 如圖①，在正方形中，點，分別為，邊上的點，且滿足，連接，求證． 感悟解題方法，并完成下列填空： 將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時與重合，由旋轉(zhuǎn)可得： ，，，， ， 因此，點，，在同一條直線上． ． ，． 即　 ?。?又， 　 ?。?　 　，故． （2）方法遷移： 如圖②，將沿斜邊翻折得到，點，分別為，邊上的點，且．試猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想． （3）問題拓展： 如圖③，在四邊形中，，，分別為，上的點，滿足，試猜想當(dāng)與滿足什么關(guān)系時，可使得．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）． 參考答案 1．C 【分析】 把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解． 解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意； B．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意； C．是中心對稱圖形，故本選項符合題意； D．不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意． 故選：C． 【點撥】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 2．D 【分析】 根據(jù)軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；圖形旋轉(zhuǎn)的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)一個角度，這個點就是它的旋轉(zhuǎn)中心，這個角就叫旋轉(zhuǎn)角，行逐一判斷即可． 解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意； B、不包含圖形的旋轉(zhuǎn)，不符合題意； C、只是軸對稱圖形，沒有旋轉(zhuǎn)，不符合題意； D、既有軸對稱，又有旋轉(zhuǎn)，符合題意； 故選D. 【點撥】此題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)以及軸對稱圖形的概念，熟練掌握，即可解題． 3．D 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義：圖形在作旋轉(zhuǎn)運動時，一個點與旋轉(zhuǎn)中心的連線，與這個點在旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線這兩條線的夾角即為旋轉(zhuǎn)角，進行判斷即可． 解：由圖可知，與均為旋轉(zhuǎn)角 故選D． 【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)角的定義．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握旋轉(zhuǎn)角的定義． 4．B 【分析】 根據(jù)題意證得△AOC≌△OBD，可得結(jié)論． 解：如圖， 根據(jù)題意得∶∠AOB=90°，∠ACO=∠BDO=90°，OA=OB， ∴∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠OAC=90°， ∴∠BOD=∠OAC， ∴△AOC≌△OBD， ∴BD=OC，OD=AC， ∵點的坐標(biāo)為， ∴BD=OC=1，OD=AC=5， ∴． 故選：B． 【點撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型． 5．C 【分析】 根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形兩底角相等求得，再根據(jù)是旋轉(zhuǎn)角即可求得結(jié)論． 解：∵， ∴， ∵△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到， ∴， ∴ ∴， 即旋轉(zhuǎn)角為50°， 故選：C． 【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵． 6．D 【分析】 過點B作BG⊥x軸于G，過點C作CH⊥y軸于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點C的坐標(biāo)，求出∠COE=45°，OC=4，過點C作CE⊥x軸于E，過點C1作C1F⊥x軸于F，由旋轉(zhuǎn)得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案． 解：過點B作BG⊥x軸于G，過點C作CH⊥y軸于H， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°， ∴∠HCD=∠ADO=∠BAG， ∵∠CHD=∠BGA=90°， ∴△CHD≌△AGB（AAS）， ∵，，， ∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2， ∴OH=2+2=4， ∴C（4，4）， ∴OE=CE=4， ∴∠COE=45°，OC=4， 如圖，過點C作CE⊥x軸于E，過點C1作C1F⊥x軸于F， 由旋轉(zhuǎn)得∠COC1=75°， ∴∠C1OF=30°， ∴C1F=OC1=OC=2， ∴OF=， ∴點C1的坐標(biāo)為， 故選：D． 【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵． 7．C 【分析】 關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案． 解：點P（-2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（2，-3） 故選：C． 【點撥】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)． 8．D 【分析】 根據(jù)點P(a?2,4?a)關(guān)于原點對稱的點在第三象限，可得點P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范圍． 解：∵點P(a?2,4?a)關(guān)于原點對稱的點在第三象限， ∴點P在第一象限， ∴， ∴， 則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是： 故選：D． 【點撥】本題主要考查不等式組的解法，根據(jù)不等式組的解集，在數(shù)軸上表示即可，關(guān)鍵在于點P的坐標(biāo)所在的象限． 9．C 【分析】 利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可． 解：如圖所示：5種不同的顏色即為使整個圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的辦法． 故選：C． 【點撥】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計圖案，熟練掌握軸對稱定義得出是解題關(guān)鍵． 10．B 【分析】 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)解答即可． 解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由點P關(guān)于點O成中心對稱的點Q可得：點Q的極坐標(biāo)為（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故選：B． 【點撥】本題考查了中心對稱的問題，關(guān)鍵是根據(jù)中心對稱的性質(zhì)解答． 11．（，﹣4） 【分析】 根據(jù)絕對值和偶次冪都具有非負性可得3a﹣1＝0，b﹣4＝0，算出a、b的值，再根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可得答案． 解：由題意得：3a﹣1＝0，b﹣4＝0， 解得：a，b＝4， 則點A（，4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（，﹣4）， 故答案為：（，﹣4）． 【點撥】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，以及關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是正確計算出a、b的值． 12．12 【分析】 根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可求解． 解：在Rt△ABC中，∵，∠B=30°，AC=3， ∴AB=2AC=6， 又∵點B和點B′關(guān)于點A對稱， ∴BB′=2AB=12． 故答案為12． 【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵． 13．60 【分析】 根據(jù)題意由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAP，即可求∠BAC=∠DAP=60°，即可求解． 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60°， ∵將△ABD經(jīng)過一次逆時針旋轉(zhuǎn)后到△ACP的位置， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠PAC+∠CAD=60°， ∴∠DAP=60°； 故旋轉(zhuǎn)角度60度. 故答案為：60． 【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意掌握變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心． 14． 【分析】 將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ，則△BCQ≌△BAP，所以∠PBQ=60°，BP=BQ，可知△BPQ是等邊三角形，從而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，∠PQC=90°，則通過∠APB=∠PQB +∠PQC即可求出． 解：把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ． 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，△BCQ≌△BAP ∴CQ=PA=3，BP=BQ，∠BQC=∠APB ∵∠PBQ=60°，BP=BQ， ∴△BPQ是等邊三角形， ∴PQ=PB=4，∠PQB=60° ∵PC=5 ∴在△PQC中， ∴△PQC是直角三角形 ∴∠PQC=90° ∴∠BQC=∠PQB +∠PQC =60°+90°=150°， ∴∠APB=150°． 【點撥】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的技巧是通過圖形旋轉(zhuǎn)將已知各邊轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，并構(gòu)成一個直角三角形． 15．30° 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝120°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，此題得解． 解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：AB＝AD，∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°?120°）＝30°． 故填：30°. 【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 16． 【分析】 如圖，連接，AC，BD．過點O作OM⊥AD于點M交BC于點N．利用勾股定理，求出OE，可得結(jié)論． 解：如圖，連接，AC，BD． ∵O是矩形的對稱中心， ∴O也是對角線的交點， 過點O作OM⊥AD于點M交BC于點N． ∵四邊形ABCD是矩形， ∴OA=OD=OB， ∵OM⊥AD， ∴AM=DM=AD=BC=4， ∴OM=AB=3， ∵AE=2， ∴EM=AM-AE=2， ∴OE==， 同法可得OF=， ∴OE+OF=2， 故答案為：2． 【點撥】本題考查中心對稱，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題． 17． 【分析】 根據(jù)中心對稱的性質(zhì)AB=DE，DC=AC及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的長． 解：∵△DEC與△ABC關(guān)于點C成中心對稱， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝1， ∵∠D＝90°， ∴AE＝， 故答案為：． 【點撥】本題考查了中心對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟記中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 18．???? （4，2）???? 60° 【分析】 （1）依題意得，點E在射線CB上，橫坐標(biāo)為4，根據(jù)勾股定理可得縱坐標(biāo)，進而得出點E的坐標(biāo)． （2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°． 解：（1）∵OC=4， ∴當(dāng)點E在射線CB上時，點E橫坐標(biāo)為4， ∵FC=4，EF=6， ∴EC=， ∴E（4，2）， 故答案為：（4，2）； （2）當(dāng)△CBD是等邊三角形時，∠BCD=60°， ∴旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是60°， 故答案為：60°． 【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)． 19．(1)作圖見分析(2)作圖見分析(3)； 【分析】 （1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，即可； （2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，； （3）兩個三角形成中心對稱，對應(yīng)點連線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心. (1)解：如圖， 點，，的坐標(biāo)分別是，，， 將向左平移6個單位長度后，點，，的對應(yīng)點分別為點，，， ∴點，，的坐標(biāo)分別是，，， 將點，，順次連接得， ∴即為所作； (2)如圖， 點，，關(guān)于點的對稱點分別為點，，， ∴點，，的坐標(biāo)分別是，，， 將點，，順次連接得， ∴即為所作； (3)如圖，若將繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到，那么旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)角度為. 故答案為：；. 【點撥】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形，對應(yīng)點連線都交于一點，交點即為旋轉(zhuǎn)中心；確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離；作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，平移變換的性質(zhì). 20．(1)證明見分析(2)證明見分析 【分析】 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，進而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)可將角度進行等量轉(zhuǎn)化，最后可證得結(jié)論． （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理對角度進行等量轉(zhuǎn)化可證得結(jié)論． (1)證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知： 平分 (2)證明：如圖所示： 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知： 即 在中， 即 【點撥】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等以及合理利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵． 21．（1）見分析；（2） 【分析】 （1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)的方法，得出，然后連接AD，BD即可得； （2）根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，再利用勾股定理求解即可． 解：（1）根據(jù)線段旋轉(zhuǎn)方法，，如圖所示即為所求； ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （2）∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∵ 線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD， ∴且， ∴是等邊三角形， ∴ ，， ∴ ， ∴ 在中， ． 【點撥】題目主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的作法及性質(zhì)，勾股定理，角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，理解題意，作出圖形，綜合運用各個定理性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 22．(1)全等，證明見分析(2)(3) 【分析】 （1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD=∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD； （2）由（1）知：BD=AE，利用勾股定理計算AE的長，可得BD的長； （3）當(dāng)B、C、E三點在一條直線上時，△BCD的面積最大，過A作AF⊥BC于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD=60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長，最后根據(jù)勾股定理可得AE的長． (1)解：全等，理由是： ∵△ABC和△DCE都是等邊三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， 在△BCD和△ACE中，， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； (2)解：如圖，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD=AE， ∵△DCE是等邊三角形， ∴∠CDE=60°，CD=DE=2， ∵∠ADC=30°， ∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°， 在Rt△ADE中，AD=3，DE=2， ∴， ∴BD=； (3)解：CD⊥BC時，△BCD的面積最大， 由（1）得△ACE≌△BCD， ∴AE=BD=， 故答案為：． 【點撥】本題是三角形的綜合題，主要考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 23．(1)見分析(2)，見分析 【分析】 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC，由勾股定理的逆定理可證∠BFC=90°=∠AEB，可得結(jié)論； （2）由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠EAF=90°，由勾股定理可求解． (1)證明：∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合， ∴△BFC≌△BEA， ∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC， ∵BF2+FC2=12+()2=4，BC2=22=4， ∴BF2+FC2=BC2， ∴∠BFC=90°=∠AEB， ∴∠AEB+∠EBF=180°， ∴AE∥BF； (2)解：AE2+AF2=2BF2，理由如下： ∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合， ∴∠BAE=∠BCA， ∵AC是正方形ABCD的角平分線， ∴∠BCA=∠BAC=45°， ∴∠EAF=45°+45°=90°， ∴AE2+AF2=EF2， ∵△BFC繞著點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合， ∴BE=BF，∠EBF=90°， ∴2BF2=EF2， ∴AE2+AF2=2BF2． 【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵． 24．（1）；；；（2），證明見分析；（3）當(dāng)與滿足時，可使得． 【分析】 （1）根據(jù)已有過程得，又根據(jù)SAS得，則GF=EF，故； （2）延長，作，等量代換得，用ASA證明，得AG=AE，，用SAS證明，得，即可得； （3）延長CF，作，因為，，所以，根據(jù)ASA證明，得，， 根據(jù)得，用SAS證明，得，，當(dāng)與滿足時，可使得． 證明：（1）將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時與重合，由旋轉(zhuǎn)可得： ，，，， ， 因此，點，，在同一條直線上． ， ， ， ， 即， 又，， ∴（SAS）， ，故； 故答案為：；；； （2）證明：如圖②，延長，作， 將沿斜邊翻折得到，點，分別為，邊上的點，且， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ； （3）當(dāng)與滿足時，可使得． 如圖③，延長CF，作， ∵，， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（SAS）， ∴，， 故當(dāng)與滿足時，可使得． 【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的翻折旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用這些知識點．

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