類(lèi)型一、一元二次方程的解法---配方法
1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0經(jīng)過(guò)配方后可變形為（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2＝7C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2＝7
2．用配方法解下列方程，其中應(yīng)在方程左右兩邊同時(shí)加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5B．2x2﹣4x＝5C．x2＋4x＝3D．x2＋2x＝5
3．若把方程化為的形式，則的值是（ ）
A．5B．2C．D．
4．下列代數(shù)式的值可以為負(fù)數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
5．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式x－6x+10的值是一個(gè)（ ）
A．負(fù)數(shù)B．非正數(shù)C．正數(shù)D．無(wú)法確定正負(fù)的數(shù)
6．代數(shù)式x2﹣4x+5的值（ ）
A．恒為正B．恒為負(fù)C．可能為0D．不能確定
類(lèi)型二、配方法的應(yīng)用
7．已知等腰△ABC中的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．6B．9C．6或9D．無(wú)法確定
8．已知代數(shù)式x2﹣5x+7，當(dāng)x＝m時(shí)，代數(shù)式有最小值q．則m和q的值分別是（ ）
A．5和3B．5和C．﹣和D．和
9．若，則（ ）
A．12B．14.5C．16D．
10．在中，，，，點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則取得最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)P是三邊垂直平分線的交點(diǎn)B．點(diǎn)P是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
C．點(diǎn)P是三條高的交點(diǎn)D．點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)
11．已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，若為原點(diǎn)，則線段的最小值為（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
12．無(wú)論x為何值，關(guān)于x的多項(xiàng)式﹣x2+3x+m的值都為負(fù)數(shù)，則常數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＜﹣9B．m＜﹣C．m＜9D．m＜
二、填空題
類(lèi)型一、一元二次方程的解法---配方法
13．如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______．
14．將方程配方成的形式為_(kāi)_____．
15．方程x2+a＝0的一個(gè)解是x＝﹣1，另一個(gè)解是______．
16．對(duì)方程進(jìn)行配方，得，其中______．
17．下面是用配方法解關(guān)于的一元二次方程的具體過(guò)程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四條語(yǔ)句與上面四步對(duì)應(yīng)：“①移項(xiàng)：方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；②求解：用直接開(kāi)方法解一元二次方程；③配方：根據(jù)完全平方公式，在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④二次項(xiàng)系數(shù)化1，方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)”，則第一步，第二步，第三步，第四步應(yīng)對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句分別是________．
18．方程的根是___________．
類(lèi)型二、配方法的應(yīng)用
19．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．
20．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通過(guò)配方寫(xiě)成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
21．代數(shù)式的最小值是_______．
22．已知，那么的值是______．
23．當(dāng)x＝___二次根式有最小值，最小值為 ___．
24．如圖，矩形，，的4個(gè)頂點(diǎn)都落在矩形邊上，且有，設(shè)的面積為，矩形的面積為，則的最大值為_(kāi)_________．
三、解答題
25．用配方法解下列關(guān)于x的方程
（1） （2）
26．用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
27．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：
例題：求代數(shù)式y(tǒng)2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y(tǒng)2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代數(shù)式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代數(shù)式4－x2＋2x的最大值；
（3）如圖，某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為20m的柵欄圍成．如圖，設(shè)AB＝x（m），請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？
28．閱讀材料：用配方法求最值．
已知，為非負(fù)實(shí)數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立．
示例：當(dāng)時(shí)，求的最小值．
解：，當(dāng)，即時(shí)，的最小值為6．
（1）嘗試：當(dāng)時(shí)，求的最小值．
（2）問(wèn)題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車(chē)已成為越來(lái)越多家庭的交通工具，假設(shè)某種小轎車(chē)的購(gòu)車(chē)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年應(yīng)繳保險(xiǎn)費(fèi)等各類(lèi)費(fèi)用共計(jì)0.4萬(wàn)元，年的保養(yǎng)、維護(hù)費(fèi)用總和為萬(wàn)元．問(wèn)這種小轎車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算（即：使用多少年的年平均費(fèi)用最少，年平均費(fèi)用=）？最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元？
參考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用配方法的步驟配方即可解答．
【詳解】
解：移項(xiàng)，得：x2﹣6x＝﹣2，
配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解答的關(guān)鍵．
2．C
【解析】
【分析】
根據(jù)配方法的一般步驟逐項(xiàng)判定即可．
【詳解】
解：A、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是-2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
B、將該方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-2x=，此方程的一次項(xiàng)系數(shù)是-2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
C、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是4，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方4；故本選項(xiàng)符合題意；
D、因?yàn)楸痉匠痰囊淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方1；故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方是解題詞的關(guān)鍵．
3．A
【解析】
【分析】
根據(jù)配方法求解即可．
【詳解】
解：將配方得，
，
則，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
4．B
【解析】
【分析】
各式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】
解：A、|3-x|≥0，不符合題意；
B、當(dāng)x=時(shí)，原式=＜0，符合題意；
C、≥0，不符合題意；
D、原式=（3x-1）2≥0，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
5．C
【解析】
【分析】
把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，即可判斷.
【詳解】
∵x－6x+10= x－6x+9+1= (x-3)+1＞0.
∴多項(xiàng)式x－6x+10的值是一個(gè)正數(shù)，
故選C.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查多項(xiàng)式的值，解題的關(guān)鍵是熟知配方法的應(yīng)用.
6．A
【解析】
【分析】
直接利用配方法將原式變形，進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：，
，
，
代數(shù)式的值恒為正．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確配方．
7．B
【解析】
【分析】
根據(jù)配方法可求出a與b的值，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】
解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0
解得a＝1，b＝4
∵3＜c＜5
∵△ABC是等腰三角形
∴c＝4
故△ABC的周長(zhǎng)為：1+4+4＝9
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查配方法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法以及等腰三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．
8．D
【解析】
【分析】
利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，利用偶數(shù)次冪的非負(fù)性作答．
【詳解】
解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時(shí)，q有最小值，
∴m和q的值分別是和，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法的應(yīng)用，偶數(shù)次冪的非負(fù)性．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
9．B
【解析】
【分析】
將已知等式變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和完全平方式求出關(guān)于a的等式和b的值，代入所求式子中計(jì)算可解．
【詳解】
將已知等式整理：
∴a-4a+1=0，2b-1=0
整理得：a+=4，b=，
即a+=( a+)-2=16-2=14，
則14.5．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
10．D
【解析】
【分析】
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則=，可得P(2，)時(shí)，最小，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，
則A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
設(shè)P(x，y)，則=
==，
∴當(dāng)x=2，y=時(shí)，即：P(2，)時(shí)，最小，
∵由待定系數(shù)法可知：AB邊上中線所在直線表達(dá)式為：，
AC邊上中線所在直線表達(dá)式為：，
又∵P(2，)滿(mǎn)足AB邊上中線所在直線表達(dá)式和AC邊上中線所在直線表達(dá)式，
∴點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形中線的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．
11．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出兩點(diǎn)的距離OP=配方得，當(dāng)時(shí)，OP最小即可．
【詳解】
，
OP=，
，
，
∴，OP最小，
故選擇：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查勾股定理求兩點(diǎn)距離問(wèn)題，掌握勾股定理兩點(diǎn)距離公式，會(huì)用配方法求最值是解題關(guān)鍵．
12．B
【解析】
【分析】
首先判斷出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根據(jù)無(wú)論x為何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，據(jù)此判斷出常數(shù)m的取值范圍即可．
【詳解】
解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+，
∵無(wú)論x為何值，﹣x2+3x+m＜0，
∴m+＜0，
解得m＜﹣．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是配方法的應(yīng)用，將多項(xiàng)式進(jìn)行配方是解此題的關(guān)鍵．
13．1
【解析】
【分析】
先把方程進(jìn)行配方，即可求出n、m的值，再最后求值即可．
【詳解】
解：把方程x2＋4x＋n＝0進(jìn)行配方，
得：；
由已知可得：，化簡(jiǎn)，
∴；
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
本題考查配方法，掌握完全平方公式的合并化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
14．
【解析】
【分析】
先將-9移到等號(hào)右邊變成，然后等號(hào)左右兩邊同時(shí)除以2得到，最后等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上1，再把左邊變成完全平方的形式即可．
【詳解】
解：

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解題關(guān)鍵．
15．x＝1
【解析】
【分析】
先將x＝﹣1代入方程求出a的值，再利用直接開(kāi)平方法求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意，將x＝﹣1代入方程x2+a＝0，得：1+a＝0，
解得a＝﹣1，則方程為x2﹣1＝0，
∴x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故答案為：x＝1．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查含參一元二次方程的求解問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程解的概念．
16．
【解析】
【分析】
方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，依此可求m．
【詳解】
解：由題意得：m=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程-配方法，將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
17．④①③②
【解析】
【分析】
根據(jù)配方法的步驟：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，移項(xiàng)，配方，求解，進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)配方法的步驟可知：第一步為：④二次項(xiàng)系數(shù)化1，方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；
第二步為：①移項(xiàng)：方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；
第三步為：③配方：根據(jù)完全平方公式，在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
第四步為：②求解：用直接開(kāi)方法解一元二次方程；
故答案為：④①③②．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．
18．
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得出配方得出，開(kāi)方得出：，即可求解得出根．
【詳解】
解：∵．
∴配方得出，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了運(yùn)用配方法求解二次方程的根的問(wèn)題，難度很小，很容易做出，本題屬于基礎(chǔ)題．
19．
【解析】
【分析】
根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式，根據(jù)完全平方公式的變形即可求出解．
【詳解】
解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4?b，
∴

∴當(dāng)b=2時(shí)，S有最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次根式與完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示出相應(yīng)的三角形的面積．
20．30
【解析】
【分析】
把方程x2-10x+m=0移項(xiàng)后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25．
【詳解】
解：x2-10x+m=0，
移項(xiàng)，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通過(guò)配方寫(xiě)成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．
21．##0.25
【解析】
【分析】
利用配方法得到：．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)作答．
【詳解】
解：因?yàn)椤?，
所以當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式的最小值是，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
22．-5
【解析】
【分析】
先利用配方法把所求的代數(shù)式配方，然后代值計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵，
∴
，
故答案為：-5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法的使用和代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握配方法．
23． -1
【解析】
【分析】
把配方得：，即可解決．
【詳解】
∵
∴
當(dāng)x=-1時(shí)，有最小值，從而有最小值，且最小值為
故答案為：-1，
【點(diǎn)睛】
本題考查了配方法及求最小值，關(guān)鍵是配方．
24．
【解析】
【分析】
設(shè)，由矩形和平行四邊形的性質(zhì)，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面積等于矩形的面積減去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，據(jù)此計(jì)算得解．
【詳解】
設(shè)，則，
，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為
∴的最大值為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查矩形中平行四邊形面積的最大值，關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，建立代數(shù)關(guān)系，運(yùn)用配方法求最值．
25．（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)配方法，先把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊，再兩邊同時(shí)加上36，等式左邊湊成完全平方形式，再直接開(kāi)平方得出結(jié)果；
（2）根據(jù)配方法，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊，再兩邊同時(shí)加上1，等式左邊湊成完全平方形式，再直接開(kāi)平方得出結(jié)果．
【詳解】
（1）
，；
（2）
，．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程的解法——配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的方法．
26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】
【分析】
根據(jù)配方的方法，正確、認(rèn)真配方，注意二次項(xiàng)系數(shù)，即可得出正確答案．
【詳解】
解：（1）3x2?5x=2
x2-x=
x2-x+=+
（x-）2=
x-=±
x1=+=2
x2=-=-
（2）x2+8x=9
x2+8x +16=9+16
（x+4）2=25
x+4=±5
x1=5-4=1
x2=-5-4=-9
（3）x2+12x?15=0
x2+12x+36=15+36
（x+6）2=51
x+6=±
x1=-6＋
x2=-6－
（4）x2?x?4=0
x2-4 x+4=16+4
（x-2）2=20
x-2=±2
x1=2＋2
x2=2－2
（5）2x2+12x+10=0
x2+6x+9=-5+9
（x+3）2=4
x+3=±2
x1=2-3=-1
x2=-2-3=-5
（6）x2+px+q=0
x2+px+=-q+
(x+)2=
x+=±
x+=±
x=
【點(diǎn)睛】
本題考察了用配方法解一元二次方程，做題的關(guān)鍵是將二次項(xiàng)系數(shù)化1，正確配方，認(rèn)真即可．
27．（1）3；（2）5；（3）當(dāng)x取5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積是50m2
【解析】
【分析】
（1）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項(xiàng)式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根據(jù)題意列出關(guān)系式，配方后根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可．
【詳解】
解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）設(shè)花園的面積為S（m2），根據(jù)題意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴當(dāng)x取5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積是50m2．
【點(diǎn)睛】
此題考查了配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握完全平方公式．
28．（1）3；（2）10，2.5．
【解析】
【詳解】
試題分析：（1）首先根據(jù)，可得，然后應(yīng)用配方法，即可求出答案．
（2）首先根據(jù)題意，求出年平均費(fèi)用，然后應(yīng)用配方法，求出這種小轎車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算，以及最少年平均費(fèi)用為多少萬(wàn)元即可．
試題解析：（1）=≥=3，∴當(dāng)，即x=1時(shí)，y的最小值為3；
（2）年平均費(fèi)用==≥=2+0.5=2.5，∴當(dāng)，即n=10時(shí)，最少年平均費(fèi)用為2.5萬(wàn)元．
考點(diǎn)：1．配方法的應(yīng)用；2．閱讀型；3．最值問(wèn)題；4．綜合題．

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