基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點1 解直角三角形的基本內(nèi)容
1.(2022山西臨汾堯都期中)在Rt△ABC中,有下列情況,則直角三角形可解的是( )
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=∠B=45°
2.(2023四川眉山洪雅實驗中學(xué)月考)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,那么下列結(jié)論正確的是( )
A.CD=AB·tan B
B.CD=BC·sin B
C.CD=AC·sin B
D.CD=AD·cs A
知識點2 解直角三角形的基本類型與解法
3.(2023陜西延安新區(qū)三中期末)如圖,△ABC中,AD⊥BC于點D,若AD=23,BC=10,∠B=30°,則tan C的值為( )
A.13 B.32 C.33 D.12
4.【一題多變】(2023吉林長春凈月期末)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,sin A=45,BC=8,D是AB的中點,求線段CD的長.
[變式1](2023河南開封十四中月考)如圖,已知△ABC中,AB=BC=15,tan∠ABC=34,求邊AC的長.
[變式2](2023吉林長春第一外國語學(xué)校月考)如圖,在△ABC中,AC=12,∠C=45°,
∠B=120°,求BC的長.
知識點3 解直角三角形的應(yīng)用
5.【主題教育·中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化】(2023甘肅蘭州教育局第四片區(qū)期末)西周時期,丞相周公旦設(shè)計過一種通過測定日影長度來確定節(jié)氣的儀器,稱為圭表,如圖所示的是一個根據(jù)石家莊市的地理位置設(shè)計的圭表,其中,立柱AC根部與圭表的冬至線之間的距離(即BC的長)為a.已知,冬至?xí)r石家莊市的正午日光入射角∠ABC約為28°,則立柱AC的高約為( )
A.asin 28° B.acs 28°
C.atan 28° D.atan28°
6.【項目式學(xué)習(xí)試題】(2023陜西榆林府谷月考)某校九年級數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)主題是“測量物體高度”.小聰所在小組想測量古塔的高度,經(jīng)研究得出一個測量方案如下:在點A處用距離地面高h(yuǎn)米的測角器測出古塔頂端的仰角為17°,然后沿AD方向前進a米到達(dá)點B,用同樣的測角器測出古塔頂端的仰角為45°,小聰所在小組計算出的古塔高度為( )
A.a·tan17°1+tan17°+h米
B.a·sin17°1-sin17°+h米
C.a·tan17°1-tan17°米
D.a·tan17°1-tan17°+h米
7.【主題教育·社會主義先進文化】(2023吉林長春八十七中月考)長泰大橋是長春市“兩橫三縱”快速路的關(guān)鍵節(jié)點工程,大橋建筑類型為斜拉式高架橋,其主塔高BD=96.9米,主塔處橋面距地面CD=7.9米,小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角為31°,則拉索AB的長約為 米.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin 31°≈0.515,cs 31°≈0.857,tan 31°≈0.601)
8.【國防教育·國防形勢與任務(wù)】(2022吉林長春汽開區(qū)模擬)我國某驅(qū)逐艦在海上執(zhí)行任務(wù),剛返回到港口A,接到上級指令,發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向上有一艘可疑船只C,與此同時在港口A北偏東60°方向,距離10 km處的另一艘驅(qū)逐艦B也收到了相關(guān)指令,驅(qū)逐艦B恰好在可疑船只C的南偏東30°方向上,則可疑船只C到港口A的距離為 km.
9.【教材變式·P122T15】【新獨家原創(chuàng)】山東煙臺蓬萊閣建筑群素有“人間仙境”之稱,是國家重點文物保護單位. 某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量蓬萊閣主樓高度,進行了如下操作:用一架無人機在樓基A處起飛,沿直線飛行34米到點B,在此處測得樓基A的俯角為60°,再將無人機沿水平方向向右飛行7米到點C,在此處測得樓頂D的俯角為30°,試求蓬萊閣主樓AD的高度.(精確到0.1米,2≈1.41,3≈1.73)
10.【主題教育·生命安全與健康】(2023湖南衡陽南岳月考)如圖,四邊形ABCD是某水庫大壩的橫截面示意圖,壩高8米,背水坡的坡角為45°,現(xiàn)需要對大壩進行加固,使上底加寬2米,且加固后背水坡的坡度i=1∶2,求加固后壩底增加的寬度AF的長.
11.【教材變式·P117T4】【國防教育·國防形勢與任務(wù)】(2023重慶一中期末)如圖,某天我國一艘海監(jiān)船巡航到B港口正東方向的A處時,發(fā)現(xiàn)在A的北偏西60°方向,相距300海里的C處有一可疑船只正沿CB方向行駛,點C在B港口的北偏西30°方向上,海監(jiān)船向B港口發(fā)出指令,執(zhí)法船立即從B港口駛出,沿BC方向行駛,在D處成功攔截可疑船只,此時點D與點A的距離為150 2海里.
(1)求點A到直線CB的距離;
(2)若執(zhí)法船的速度是50海里/小時,則執(zhí)法船從B出發(fā)經(jīng)過多久攔截到可疑船只?(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù): 3≈1.732)
能力提升全練
12.【新情境·起重機】(2022吉林長春中考,5,★☆☆)如圖所示的是長春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場的一臺起重機的示意圖,該起重機的變幅索頂端記為點A,變幅索的底端記為點B,AD垂直于地面,垂足為點D,BC⊥AD,垂足為點C.設(shè)∠ABC=α,下列關(guān)系式正確的是( )
A.sin α=ABBC B.sin α=BCAB
C.sin α=ABAC D.sin α=ACAB
13.【閱讀理解試題】(2022河南駐馬店汝南模擬,8,★★☆)閱讀理解:為計算tan 15°的三角函數(shù)值,我們可以構(gòu)建Rt△ACB(如圖),使得∠C=90°,∠ABC=30°,延長CB使BD=AB,連結(jié)AD,可得到∠D=15°,設(shè)AC=1,所以AB=BD=2,BC=3,所以tan 15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3.類比這種方法,請你計算tan 22.5°的值為( )
A.2+1 B.2-1
C.2 D.12
14.【主題教育·社會主義先進科技】(2022寧夏中考,16,★★☆)2022年4月16日9時56分,神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸,如圖,某一時刻在觀測點D測得返回艙底部C的仰角∠CDE=45°,降落傘底面A點處的仰角∠ADE=46°12'.已知半徑OA長14米,拉繩AB長50米,返回艙高度BC為2米,這時返回艙底部離地面的高度CE約為 米.(精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin 46°12'≈0.72,cs 46°12'≈0.69,
tan 46°12'≈1.04)
15.【易錯題】【無圖題】(2023吉林長春東北師大附中期末,17,★★☆)已知△ABC中,
tan B=23,BC=6. 過點A作BC邊上的高,垂足為點D,且滿足BD∶CD=2∶1,則△ABC的面積為 .
16.【國防教育·國家安全】(2022貴州黔西南州中考,19,★★☆)如圖,我國海軍艦艇在某海域C島附近巡航,計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向,在B島的北偏西40°方向,A,B之間的距離為80 n mile,則C島到航線AB的距離約是 n mile.(參考數(shù)據(jù):2≈1.4,3≈1.7,結(jié)果保留整數(shù))
17.【主題教育·革命文化】(2022湖北襄陽中考,19,★☆☆)位于峴山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽市的標(biāo)志性建筑,是為紀(jì)念“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內(nèi)革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機測量烈士塔的高度.無人機在點A處測得烈士塔頂部點B的仰角為45°,烈士塔底部點C的俯角為61°,無人機與烈士塔的水平距離AD為10 m,求烈士塔的高度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin 61°≈0.87,cs 61°≈0.48,tan 61°≈1.80)
18.【新情境·車位鎖】(2023吉林長春凈月期末,21,★☆☆)圖1是一種三角車位鎖,其主體部分是由兩條長度相等的鋼條組成的.當(dāng)位于頂端的小掛鎖打開時,鋼條可放入底盒中(底盒固定在地面下),此時汽車可以進入車位;當(dāng)車位鎖上鎖時,鋼條按圖1所示的方式立在地面上,以阻止底盤高度低于車位鎖高度的汽車進入車位.圖2是其示意圖,經(jīng)測量,AB=AC=50 cm,∠ABC=47°.(參考數(shù)據(jù):sin 47°≈0.73,cs 47°≈0.68,tan 47°≈1.07)
圖1 圖2
(1)求車位鎖的底盒BC的長;
(2)若一輛汽車的底盤高度為35 cm,當(dāng)車位鎖上鎖時,這輛汽車能否進入該車位?通過計算說明理由.
19.(2022湖南株洲中考,22,★★☆)如圖1所示,某登山運動愛好者由山坡①的山頂點A處沿線段AC至山谷點C處,再從點C處沿線段CB至山坡②的山頂點B處.如圖2所示,將直線l視為水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM為0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=2千米.
(1)求∠ACB的度數(shù);
(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.
圖1 圖2
20.【主題教育·社會主義先進文化】(2022山西中考,21,★★☆)隨著科技的發(fā)展,無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活,如代替人們在高空測量距離和角度.某?！熬C合與實踐”活動小組的同學(xué)要測量AB,CD兩座樓之間的距離,他們借助無人機設(shè)計了如下測量方案:無人機在AB,CD兩樓之間上方的點O處,點O距地面AC的高度為60 m,此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°,樓CD上點E處的俯角為30°,沿水平方向由點O飛行24 m到達(dá)點F,測得點E處的俯角為60°,其中點A,B,C,D,E,F,O均在同一豎直平面內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓AB與CD之間的距離AC的長(結(jié)果精確到1 m.參考數(shù)據(jù):sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,3≈1.73).
素養(yǎng)探究全練
21.【運算能力】(2023重慶一中期末)去年暑假,媽媽帶著明明去草原騎馬.如圖,媽媽位于游客中心A正北方向的B處,其中AB=2 km.明明位于游客中心A西北方向的C處.烈日當(dāng)空,媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽帽給明明送去,于是媽媽向正西方向勻速步行,同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進.15分鐘后,他們在游客中心A的北偏西37°方向的點D處相遇.
(1)求媽媽步行的速度;
(2)求明明從C處到D處的距離.
(參考數(shù)據(jù):sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,3≈1.73,2≈1.41,結(jié)果保留兩位小數(shù))
22.【運算能力】(2022四川自貢中考)某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量,活動過程如下:
(1)探究原理:
制作測角儀時,將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處,另一端系小重物G.測量時,使支桿OM、量角器90°刻度線ON以及鉛垂線OG重合(如圖①),繞點O轉(zhuǎn)動量角器,使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點A、B共線(如圖②),此時目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON,請說明這兩個角相等的理由;
圖① 圖②
(2)實地測量:
如圖③,公園廣場上有一棵樹,為測樹高,同學(xué)們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ=60°,觀測點與樹的距離KH為5米,點O到地面的距離OK為1.5米,求樹高PH;(3≈1.73,結(jié)果精確到0.1米)
圖③
(3)拓展探究:
公園高臺上有一涼亭,為測量涼亭頂端P距地面的高度PH(如圖④),同學(xué)們經(jīng)過討論,決定先在水平地面上選取觀測點E、F(E、F、H在同一直線上),分別測得點P的仰角α、β,再測得E、F間的距離為m米,點O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米.求PH(用α、β、m表示).
圖④
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
1.B ∵選項C、D缺少邊的條件,選項A缺少銳角的條件,∴不能解直角三角形;
選項B中,由∠A的正弦可求出AB的長,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出∠B,然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC的長.
2.B ∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△BDC中,tan B=CDBD,∴CD=BD·tan B,選項A錯誤;∵sin B=CDBC,∴CD=BC·sin B,選項B正確;在Rt△ADC中,sin A=CDAC,∴CD=AC·
sin A,選項C錯誤;∵tan A=CDAD,∴CD=AD·tan A,選項D錯誤.
3.B ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,AD=23,∠B=30°,
∴BD=3AD=3×23=6,∵BC=10,∴CD=BC-BD=10-6=4,在Rt△ADC中,
tan C=ADCD=234=32.
4.解析 在△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,sin A=BCAB=45,
∴AB=BCsinA=845=8×54=10,∵D是AB的中點,∴CD=12AB=5,∴線段CD的長為5.
[變式1]解析 如圖,過點A作AE⊥BC于E,在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=34,設(shè)AE=3k,則BE=4k,∴AB=5k=15,∴k=3,∴AE=9,BE=12,
∴CE=BC-BE=15-12=3,在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理得
AC=AE2+CE2=92+32=310.
[變式2]解析 如圖,過點A作AD⊥BC,交CB的延長線于點D,則∠ADC=90°,在Rt△ADC中,∠C=45°,∴AD=DC,根據(jù)勾股定理得AD2+DC2=AC2,即 2AD2=AC2=122,
∴AD=DC=62,∵∠ABC=120°,∴∠ABD=60°,在Rt△ABD中,tan∠ABD=ADBD,
∴BD=623=26,∴BC=DC-DB=62-26.
5.C 在Rt△ABC中,BC=a,∠ABC=28°,∴tan 28°=ACBC,∴AC=BC·tan 28°=atan 28°.
6.D 如圖,過點E作EH⊥CD于H,易知點F在EH上,則四邊形ADHE是矩形,
∴DH=AE=h米,設(shè)CH=x米,在Rt△CHF中,∠CFH=∠FCH=45°,∴CH=FH=x米,
在Rt△CHE中,tan∠CEH=CHEH,∴xx+a=tan 17°,∴x=a·tan17°1-tan17°,即CH=a·tan17°1-tan17°米,
∴CD=CH+DH=a·tan17°1-tan17°+h米,即古塔CD的高度為a·tan17°1-tan17°+h米.
7.172.8
解析 由題意得BC=BD-CD=96.9-7.9=89(米),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin A=BCAB=
sin 31°≈0.515,∴AB≈BC0.515=890.515≈172.8(米),即拉索AB的長約為172.8米.
8.2033
解析 ∵可疑船只C在港口A的北偏東30°方向,驅(qū)逐艦B在港口A的北偏東60°方向,∴∠CAB=60°-30°=30°,∵驅(qū)逐艦B在可疑船只C的南偏東30°方向上,
∴∠ACB=30°+30°=60°,∴∠ABC=180°-30°-60°=90°,∴sin∠ACB=ABAC,∴AC=ABsin∠ACB =10sin60° =2033(km).
9.解析 由題意可知,在Rt△ABE中,AB=34米,∠ABE=60°,∴BE=AB·
cs 60°=34×12=17(米),AE=AB·sin 60°=34×32=173(米). 在Rt△CDE中,
∠DCE=30°,CE=BE+CB=17+7=24(米),∴DE=CE·tan 30°=24×33=83(米),
∴AD=AE-DE=173-83=93≈15.6(米),即蓬萊閣主樓AD的高度約為15.6米.
10.解析 如圖,分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H,
∵四邊形ABCD是梯形,且AB∥CD,∴DH∥EG,DH=EG,故四邊形EGHD是矩形,
∴ED=GH,在Rt△ADH中,AH=DHtan45°=8tan45°=8(米),在Rt△FGE中,i=1∶2=EG∶FG,
∴FG=2EG=16(米),∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10(米),即加固后壩底增加的寬度AF的長是10米.
11.解析 (1)過點A作AH⊥CB,交CB的延長線于點H,如圖.由題意得∠CAB=30°,
∠ABC=120°,∴∠C=180°-30°-120°=30°,∴AH=sin C×300=150(海里),故點A到直線CB的距離是150海里.
(2)在Rt△ADH中,AD=1502海里,AH=150海里,∴DH=AD2-AH2=150(海里),
∵∠C=30°,∠CHA=90°,∴∠CAH=60°,∴∠BAH=30°,∵tan∠BAH=BHAH=tan 30°=33,
∴BH150=33,∴BH=503海里,∴BD=DH-BH=(150-503)海里,
(150-503)÷50=3-3≈1.3(小時),故執(zhí)法船從B出發(fā)大約經(jīng)過1.3小時攔截到可疑船只.
能力提升全練
12.D 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=α,由銳角三角函數(shù)的定義可知sin α=
sin∠ABC=ACAB.
13.B 如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延長CB使BD=AB,連結(jié)AD,∴∠BAD=∠D=22.5°,設(shè)AC=BC=1,則AB=BD=2AC=2,∴CD=BC+BD=1+2,在Rt△ADC中,
tan 22.5°=ACCD=11+2=2-1.
14.1 614
解析 在Rt△AOB中,由勾股定理得OB=AB2-OA2=502-142=48(米),
∴AF=OE=OB+BC+CE=50+CE,∵∠CDE=45°,∠DEC=90°,∴DE=CE,設(shè)DE=CE=x米,則AF=(50+x)米,DF=(x-14)米,∵∠ADE=46°12',∴tan 46°12'=AFDF=50+xx-14≈1.04,解得x≈
1 614,∴CE約為1 614米.
15.8或24
解析 圖形未知,涉及高時,易忘分類討論而致錯.
本題分情況求解如下:
(1)如圖1所示,∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4,∵AD⊥BC,tan B=23,∴ADBD=23,
∴AD=23BD=83,∴S△ABC=12BC·AD=12×6×83=8;
(2)如圖2所示,∵BC=6,BD∶CD=2∶1,
∴BD=12,∵AD⊥BC,tan B=23,∴ADBD=23,
∴AD=23BD=8,∴S△ABC=12BC·AD=12×6×8=24.
綜上所述,△ABC的面積為8或24.
圖1 圖2
16.34
解析 如圖,過點C作CF⊥AB于F,設(shè)CF=x n mile.由題意得∠DAC=50°,∠DAB=80°,∠CBE=40°,AD∥BE,∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°,∠DAB+∠ABE=180°,
∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°,∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在Rt△ACF中,∠CAF=30°,∴AF=3CF=3x n mile.在Rt△CFB中,∠FBC=60°,
∴BF=33CF=33x n mile.
∵AF+BF=AB,∴3x+33x=80,解得x=203≈34,即C島到航線AB的距離約為34 n mile.
17.解析 由題意得∠BAD=45°,∠DAC=61°,∴在Rt△ABD中,BD=AD=10 m,
在Rt△ACD中,tan 61°=CDAD=CD10≈1.80,解得CD≈18 m,∴BC=BD+CD=10+18=28(m),
∴烈士塔的高度約為28 m.
18.解析 (1)如圖,過點A作AH⊥BC于點H,∵AB=AC,∴BH=HC=12BC,在Rt△ABH中,∠ABC=47°,AB=50 cm,∴BH=AB·cs B=50×cs 47°≈50×0.68=34(cm),∴BC=2BH=
68 cm.
(2)不能.理由:在Rt△ABH中,AH=AB·sin B=50×sin 47°≈50×0.73=36.5(cm),
∵36.5 cm>35 cm,∴當(dāng)車位鎖上鎖時,這輛汽車不能進入該車位.
19.解析 (1)∵山坡②的坡度i=1∶1,∴CN=BN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.
(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2(千米),
在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=2千米,∴BC=2CN=2(千米),
∴在此過程中該登山運動愛好者走過的路程為1.2+2=3.2(千米).
20.解析 如圖,延長AB,CD分別與直線OF交于點G,點H,則AG=CH=60 m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°,在Rt△AGO中,∠AOG=70°,∴OG=AGtan70°≈602.75≈21.8(m),∵∠HFE是△OFE的一個外角,∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°,∴∠FOE=∠OEF=30°,
∴OF=EF=24 m,在Rt△EFH中,∠HFE=60°,∴FH=EF·cs 60°=24×12=12(m),
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(m),
∴樓AB與CD之間的距離AC的長約為58 m.
素養(yǎng)探究全練
21.解析 (1)根據(jù)題意可知,AB=2 km,∠BAD=37°,∴在Rt△ABD中,BD=AB·
tan 37°≈2×0.75=1.5(km).1.5÷1560=6(km/h),故媽媽步行的速度約為6 km/h.
(2)如圖,過點C作CE⊥AB交直線AB于點E,∵∠CAE=45°,∠AEC=90°,∴△AEC是等腰直角三角形,∴AE=CE,設(shè)AE=CE=a km,過點D作DF⊥CE于點F,∴四邊形BEFD是矩形,∴EF=DB=1.5 km,DF=BE=AE-AB=(a-2)km,∴CF=CE-EF=(a-1.5)km,在Rt△CDF中,tan∠DCF=DFCF,
∴tan 30°=a-2a-1.5,∴a=9+34,∴DF=a-2=1+34 km,∴CD=2DF=1+32≈1.37(km),故明明從C處到D處的距離約為1.37 km.
22.解析 (1)∵∠COG=90°,∠AON=90°,∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON,
∴∠POC=∠GON.
(2)由題意可得KH=OQ=5米,QH=OK=1.5米,∠PQO=90°,∠POQ=60°,
∴tan∠POQ=PQOQ=PQ5=3,∴PQ=53米,∴PH=PQ+QH=53+1.5≈10.2(米),即樹高PH約為10.2米.
(3)由題意可得O1O2=m米,O1E=O2F=DH=1.5米,在Rt△O2PD中,tan β=PDO2D,在Rt△O1PD中,tan α=PDO1D,∴O2D=PDtanβ,O1D=PDtanα,∵O1O2=O2D-O1D,∴m=PDtanβ-PDtanα,∴PD=mtanαtanβtanα-tanβ米,∴PH=PD+DH=mtanαtanβtanα-tanβ+1.5米.

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

24.4 解直角三角形

版本： 華師大版

年級： 九年級上冊

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