第二十四章 解直角三角形24.3 銳角三角函數(shù)第2課時 余弦、正切函數(shù)1課堂講解余弦函數(shù) 正切函數(shù) 銳角三角函數(shù)間的關系2課時流程逐點導講練課堂小結作業(yè)提升 下面圖1和圖2中各有一個比較陡的梯子，你能把它們找出來嗎？說說你的理由。圖1圖21知識點余弦 余弦：∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cos A，即cos A＝ .知1－講【例1】（山東 棗莊）如圖1，直徑為10的⊙A經(jīng)過點 C(0，5)和點O(0，0)，B是y軸右側⊙A上一 點，則cos∠OBC的值為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：設⊙A與x軸的另一交點為D，連接CD，如圖2 所示．∵∠COD＝90°，∴CD為⊙A的直徑， ∴CD＝10.∵∠OBC與∠CDO為 所對的圓 周角，∴∠OBC＝∠CDO.∵C(0，5)，∴OC ＝5.在Rt△CDO中，CD＝10，OC＝5，根據(jù) 勾股定理得：OD＝ ∴cos∠OBC＝cos∠CDO＝ 故選B.知1－講B圖1圖2知1－講 本題運用構造法得到直角三角形，然后運用圓周角定理的推論，勾股定理以及三角函數(shù)的定義解答． 知1－練1 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么cos A的值等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.知1－練在△ABC中，若三邊BC,CA,AB滿足BC:CA:AB=5： 12：13，則cos B的值是(　　) A. B. C. D.知1－練3．如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點 上，則cos A的值為(　　) A. B. C. D.2知識點正切函數(shù)知2－導如圖，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度。你同意小亮的看法嗎？（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系？（2） 和 有什么關系？（3）如果改變B2在梯子上的位置呢？ 由此你能得出什么結論？知2－講 正切：∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切， 記做tan A，即tan A＝ ．知2－講【例2】如圖24.3.3，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC ＝15，BC＝8.試求出∠A的三個三角函數(shù)值. 解：【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對 邊分別為a，b，c，請根據(jù)下列條件分別求出∠A 的三個三角函數(shù)值：(1)a＝6，b＝8；(2)b＝2， c＝ .知2－講導引：銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形的三邊關系， 所以先利用勾股定理求出未知邊的長度，然 后根據(jù)定義求∠A的三角函數(shù)值．解：(1)如圖，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8， ∴ ∴ 知2－講 (2)如圖，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，b＝2，c= ∴ ∴ 知2－講知2－講 已知直角三角形的任意兩邊長求某個銳角的三角函數(shù)值時，運用數(shù)形結合思想，首先畫出符合題意的直角三角形，然后根據(jù)勾股定理求出未知邊長，最后結合銳角三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值．知2－練1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜邊AB 是直角邊BC的3倍，則tan B的值是(　　) A. B. 3 C. D.知2－練2. (中考·鄂州)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC于點D，若BD∶CD＝3∶2，則tan B＝ (　　) A. B. C. D.知2－練3．如圖，BD是菱形ABCD的對角線，CE⊥AB于點E，交BD于點F，且點E是AB的中點， 則tan ∠BFE的值是(　　) A. B. 2 C. D.3知識點銳角三角函數(shù)間的關系知3－講1.同角的正弦、余弦、正切的關系：同角的正弦與余弦值的比等于該角的正切值，即tan A= 在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，則sin A= cos A= ∴tan A=知3－講(1)“sin A”“cos A”“tan A”是整體符號，不能理解為 “sin·A”“cos ·A”“tan ·A”．(2)當銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母 表示時，它的三角函數(shù)習慣上省略角的符號，如sin A，cos α，tan B等；當銳角是用三個大寫英文字母 或數(shù)字表示時，它的三角函數(shù)不能省略角的符號， 如sin ∠ABC，sin ∠1等．(3)三角函數(shù)符號后面可以寫成度數(shù)，如sin 20°等．知3－講易錯警示：(1)在sin A，cos A，tan A中，三角函數(shù)的符號一定要 小寫，不能大寫．(2)正弦、余弦、正切函數(shù)是直角三角形中相對于銳角 而定義的，反映了直角三角形邊角之間的關系，是 兩條線段的比值，沒有單位．【例4】 如圖，在△ABC中，AC＝5，∠B＝45°，sin C ＝ ，則△ABC的面積是(　　) A. B．12 C．14 D．21知3－講A導引：如圖，過點A作AD⊥BC于點D. ∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD. ∵sin C ，∴ 解得AD＝BD＝3， ∴DC ∴BC＝BD＋DC＝7. ∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×7×3＝ .知3－講知3－講 銳角三角函數(shù)表示的是邊與角之間的關系，三者之間可以相互轉化．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，所以sin A＝ ，則a＝c·sin A，c＝ ；cos A＝ ，則b＝c·cos A，c＝ ；tan A＝ ，則a＝b·tan A，b＝ .這九個式子應該靈活運用．知3－練1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，則cos B的值是（ ） A. B. C. D.知3－練2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立 的是(　　) A．tan A＝ B．sin2 A＋cos2 A＝1 C．sin2 A＋sin2 B＝1 D．tan A·tan B＝1求銳角的三角函數(shù)值的三種方法：1．在直角三角形里，確定各個邊，根據(jù)定義直接求 出．2．利用相似、全等等關系，尋找與所求角相等的角 (若該角的三角函數(shù)值知道或者易求)．3．利用互余的兩個角間的特殊關系求．

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