狀元隨筆　(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量；(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．
要點二　空間中點、線、面的位置關(guān)系的符號表示
要點三　平面的基本事實與推論
狀元隨筆　(1)基本事實1的作用：①用直線檢驗平面(常被應(yīng)用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿)；②判斷直線是否在平面內(nèi)(經(jīng)常被用于立體幾何的證明中).(2)基本事實2的作用：①確定平面；②證明點、線共面. 基本事實2中要注意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的．同時要注意經(jīng)過一點、兩點或在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面；過不在同一條直線上的四點，不一定有平面．因此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性．(3)基本事實3的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點問題．基本事實3強(qiáng)調(diào)的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面．
基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)有一個平面的長是50 m，寬是20 m，厚20 cm.(　　)(2)一條直線和一個點可以確定一個平面．(　　)(3)空間不同的三點可以確定一個平面．(　　)(4)四邊形是平面圖形．(　　)
2．如果a?α，b?α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列關(guān)系成立的是(　　)A．l?α　　　B．l?α C．l∩α＝A　　D．l∩α＝B
3．如果空間四點A、B、C、D不共面，那么下列判斷正確的是(　　)A．A、B、C、D四點中必有三點共線B．A、B、C、D四點中不存在三點共線C．直線AB與CD相交D．直線AB與CD平行
解析：A、B、C、D四點中若有三點共線，則必與另一點共面；直線AB與CD既不平行也不相交，否則A、B、C、D共面．
題型 1　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化例1　(1)若A，B表示點，a表示直線，α表示平面，則下列敘述中正確的是(　　)A．若A?α，B?α，則AB?αB．若A∈α，B∈α，則AB∈αC．若A?a，a?α，則AB?αD．若A∈a，a?α，則A∈α
解析：點與面的關(guān)系用符號∈，而不是?，所以選項A錯誤；直線與平面的關(guān)系用?表示，則AB∈α表示錯誤；點A不在直線a上，但只要A，B都在平面α內(nèi)，也存在AB?α，選項C錯誤；A∈a，a?α，則A∈α，所以選項D正確．故選D.
(2)如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．
方法歸納(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．(3)根據(jù)已知符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線，P為空間中一點．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點P與直線l的位置關(guān)系用符號表示為________．
(2)根據(jù)下列條件畫出圖形：α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB.
題型 2　點、線共面問題例2　已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．
方法歸納證明點線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．
跟蹤訓(xùn)練2　如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面．
解析：方法一　(輔助平面法)因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.因為A∈a，B∈b，所以a∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.因為C∈l，所以C∈α，所以直線a與點C同在平面α內(nèi)．又a∥c，所以直線a，c確定一個平面β.因為C∈c，c?β，所以C∈β，即直線a與點C同在平面β內(nèi)．由推論1，可得平面α和平面β重合，則c?α.所以a，b，c，l共面．
方法二　(納入平面法)因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，所以l?α.則a，b，l都在平面α內(nèi)，即b在a，l確定的平面內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面內(nèi)．因為過a與l只能確定一個平面，所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面．
題型 3　三點共線、三線共點問題例3　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．
方法歸納(1)證明三點共線的方法
(2)證明三線共點的步驟
跟蹤訓(xùn)練3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．
易錯辨析　忽略基本事實的重要條件致誤例4　已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點的位置關(guān)系是(　　)A．共面　 B．不共面C．共線　 D．不確定
解析：分兩類進(jìn)行討論．(1)若B，C，D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A，B，C，D共面，所以點A在平面α內(nèi)．因為B，C，D，E共面，所以點E在平面α內(nèi)．所以點A，E都在平面α內(nèi)，即A，B，C，D，E五點一定共面．(2)若B，C，D三點共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點一定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一個在l上，則A，B，C，D，E五點一定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能共面，也可能不共面．
課堂十分鐘1．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是(　　)
解析：畫兩個相交平面時，被遮住的部分用虛線表示．
2．空間中，可以確定一個平面的條件是(　　)A．三個點 B．四個點C．三角形 D．四邊形
解析：由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A項中，不共線的三個點能確定一個平面，共線的三個點不能確定一個平面，故A項錯誤；在B項中，不共線的四個點最多能確定四個平面，故B項錯誤；在C項中，由于三角形的三個頂點不共線，因此三角形能確定一個平面，故C項正確；在D項中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個平面，故D項錯誤．
3．如果A點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在α內(nèi)，可以表示為(　　)A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α
解析：A點在直線a上，而直線a在平面α內(nèi)，點B在α內(nèi)，表示為：A∈a，a?α，B∈α.
4．三條平行直線最多能確定的平面的個數(shù)為________．
解析：當(dāng)三條平行直線在一個平面內(nèi)時，可以確定1個平面；當(dāng)三條平行直線不在同一平面上時，可以確定3個平面．綜上最多可確定3個平面．

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊電子課本

4.2 平面

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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