教材要點要點一　平面與平面之間的位置關(guān)系
狀元隨筆　(1)判斷面面位置關(guān)系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型．(2)畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行．
要點二　平面與平面平行的判定定理
狀元隨筆　(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．
基礎自測1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)已知平面α，β和直線m、n，若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β .(　　)(2)一個平面內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一個平面，則兩平面平行．(　　)(3)平行于同一條直線的兩個平面平行．(　　)(4)平行于同一平面的兩個平面平行．(　　)
2．在正方體中，相互平行的面不會是(　　)A．前后相對側(cè)面 B．上下相對底面C．左右相對側(cè)面 D．相鄰的側(cè)面
解析：由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行．
3．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是(　　)A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對
解析：可借助于長方體判斷兩平面對應平行或相交．
4．如圖，已知在三棱錐P-ABC中D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．
題型 1　平面與平面位置關(guān)系的判定例1　已知在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．以上都不對
解析：如圖，可能會出現(xiàn)以下兩種情況：故選C.
變式探究1　在本例中，若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關(guān)系如何？
解析：如圖，a?α，b?β，a，b異面，則兩平面平行或相交．
變式探究2　在本例中，若將條件改為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關(guān)系是什么？
解析：如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行．由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．
方法歸納平面與平面的位置關(guān)系的判定方法(1)平面與平面相交的判定，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點；(2)平面與平面平行的判定，主要依據(jù)面面平行的判定定理．
跟蹤訓練1　(1)已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有(　　)A．1條或2條 B．2條或3條C．1條或3條 D．1條或2條或3條
解析：當三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線．故選D.
(2)兩個平面將空間分成________部分．
解析：兩個平面平行時，將空間分成三部分；兩個平面相交時，將空間分成四部分．
題型 2　面面平行判定定理的應用例2　如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點．證明：平面BDGH∥平面AEF.
方法歸納平面與平面平行的判定方法(1)定義法：兩個平面沒有公共點．(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．(3)利用線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
跟蹤訓練2　如圖所示，在三棱錐S--ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AC，BC，SC的中點，求證：平面DEF∥平面SAB.
題型 3　線面平行與面面平行的綜合應用例3　如圖所示，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點．求證：(1)E、F、B、D四點共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.
方法歸納線線平行、線面平行與面面平行可以相互轉(zhuǎn)化．要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此，“面面平行”問題最終轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．?
跟蹤訓練3　如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
易錯辨析 受思維定式的影響出錯例4　如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD--A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點，且AE＝C1F.求證：四邊形EBFD1是平行四邊形．
證明：如圖，在棱BB1上取一點G，使B1G＝C1F＝AE，連接A1G，GF，則GF綊B1C1綊A1D1，所以四邊形GFD1A1為平行四邊形，所以A1G綊D1F.因為A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，所以A1E綊BG，所以四邊形EBGA1為平行四邊形，所以A1G綊EB.所以D1F綊EB，所以四邊形EBFD1是平行四邊形．
課堂十分鐘1．若M∈平面α，M∈平面β，則不同平面α與β的位置關(guān)系是(　　)A．平行　 B．相交C．重合 D．不確定
解析：由基本事實3可知，平面α與平面β相交．
2．α、β是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同的直線，則在下列條件下，可判定α∥β的是(　　)A．α、β都平行于直線a、bB．α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等C．a(chǎn)，b是α內(nèi)兩條直線，且a∥β，b∥βD．a(chǎn)，b是兩條異面直線且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
解析：若a∥b，則不能斷定α∥β，A錯；若三點不在β的同一側(cè)，α與β相交，B錯；若a∥b，則不能斷定α∥β，C錯．
3．六棱柱ABCDEF--A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有(　　)A．1對　 B．2對C．3對　 D．4對
解析：由圖知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4對．
4.如圖所示，設E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是長方體ABCD--A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是________．
5．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E、F、H分別為AB、CD、PD的中點．求證：平面AFH∥平面PCE.

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4.4 平面與平面的位置關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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