教材要點要點　斜二測畫法的規(guī)則(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所確定的平面表示水平平面．(3)已知圖形中平行于x軸，y軸，或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成________于x′軸，y′軸或z′軸的線段．(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度________，平行于y軸的線段，長度______________．
狀元隨筆　(1)平面圖形用其直觀圖表示時，一般說來，平行關(guān)系不變；(2)點的共線性不變，線的共點性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)；(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化．因此圖形的形狀發(fā)生變化．斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變．
基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行．(　　)(2)兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線．(　　)(3)用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，垂直的線段在直觀圖中仍垂直．(　　)(4)正方形的直觀圖為平行四邊形．(　　)
2．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(　　)A．①② B．①②③C．②⑤ D．③④⑤
解析：由斜二測畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．故選C.
3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　)A.正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四邊形
4．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實際長度為________．
解析：由于在直觀圖中∠A′C′B′＝45°，則在原圖形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB邊上的中線為2.5.
題型 1　畫水平放置的平面圖形的直觀圖例1　如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，試畫出它的直觀圖．
解析：畫法步驟：(1)如圖甲所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖乙所示，畫出對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.
方法歸納平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段平行性不變，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．
跟蹤訓(xùn)練1　畫邊長為1 cm的正三角形的水平放置的直觀圖．
題型 2　空間幾何體直觀圖的畫法例2　用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD--A′B′C′D′的直觀圖．
(3)畫側(cè)棱．過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖②)．
方法歸納(1)畫空間幾何體的直觀圖，可先畫出底面的平面圖形，然后畫出豎軸．此外，坐標(biāo)系的建立要充分利用圖形的對稱性，以便方便、準(zhǔn)確的確定頂點；(2)對于一些常見幾何體(如柱、錐、臺、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以又快又準(zhǔn)的畫出．
跟蹤訓(xùn)練2　畫底面半徑為2，高為5的圓柱的直觀圖．
解析：畫法：(1)畫軸．畫出x軸，y軸，z軸．(2)在z軸上取點O′，使OO′等于5個單位長度，過O′作x軸的平行線O′x′，過O′作y軸的平行線O′y′.在x軸，x′軸上分別取點A，B，A′，B′，使OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2個單位長度，在y軸，y′軸上分別取C，D，C′，D′，使OC＝OD＝O′C′＝O′D′＝1個單位長度，畫兩個圓(橢圓形)，即底面圓O和底面圓O′.(3)連線．連接AA′，BB′，并擦去輔助線，則得到圓柱OO′.
題型 3　平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例3　如圖所示，四邊形ABCD是一個梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點，試求水平放置的梯形ABCD的直觀圖的面積．
易錯辨析　忽略斜二測畫法的規(guī)則致誤例4　如圖是水平放置的四邊形ABCD的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是________．
課堂十分鐘1．(多選)利用斜二測畫法得到的直觀圖有以下結(jié)論，其中正確的是(　　)A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形
解析：由斜二測畫法規(guī)則知：A項正確；平行性不變，故B項正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，C項錯誤；因為平行于y′軸的線段長減半，平行于x′軸的線段長不變，故D項錯誤．
2．如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項中的(　　)
解析：設(shè)直觀圖中與x′軸和y′軸的交點分別為A′和B′，如圖①，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則在直角坐標(biāo)系中先作出對應(yīng)的A點和B點，再由平行于x′軸的線段在原圖中平行于x軸，且長度不變，作出原圖如圖②所示，故選C.
4．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，∠A′＝___________．
解析：因為∠A的兩邊平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.

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4.1 空間的幾何體

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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