教材要點要點一　旋轉體
狀元隨筆　(1)以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉成的曲面圍成的旋轉體不是圓錐．(2)圓臺也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體．(3)球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．
要點二　簡單組合體1．簡單組合體的定義由柱體、錐體、臺體、球等簡單幾何體組合而成的幾何體叫作簡單組合體．2．簡單組合體的兩種基本形式(1)由簡單幾何體________而成；(2)由簡單幾何體____________一部分而成．?狀元隨筆　要描述簡單幾何體的結構特征，關鍵是仔細觀察組合體的組成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，對原組合體進行分割．
基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐．(　　)(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺．(　　)(3)用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．(　　)(4)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形．(　　)
2．(多選)下列說法正確的是(　　)A．圓柱的側面展開圖是一個矩形B．圓錐的側面展開圖是一個扇形C．圓臺的側面展開圖是一個梯形D．過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑
解析：A、B、D項正確，C項不正確，因為圓臺的側面展開圖是一個扇環(huán)．
3．如圖所示，其中為圓柱體的是(　　)
解析：B、D項不是旋轉體，首先被排除．又A項不符合圓柱體的定義，只有C項符合，所以選C.
4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個組合體，其結構特征是_____________________________．
一個正六棱柱中挖去一個等高的圓柱
解析：由簡單組合體的基本形式可知，該組合體是一個正六棱柱中挖去一個等高的圓柱．
題型 1　旋轉體的結構特征例1　(1)(多選)下列命題中正確的有(　　)A．在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線B．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線C．在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線D．圓柱的任意兩條母線相互平行
解析：A中所取的兩點與圓柱的軸OO′的連線所構成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符合；C項中所取兩點連線的延長線不一定與軸交于一點，不符合圓臺母線的定義；BD項符合圓錐、圓柱母線的定義及性質．故選BD.
(2)下列說法正確的是(　　)A．球是以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體B.球的直徑是球面上任意兩點間的連線C．用一個平面截一個球，得到的是一個圓D．空間中到一定點距離等于定長的點的集合是球
解析：球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉形成的，A項正確；如果球面上的兩點連線經(jīng)過球心，則這條線段就是球的直徑，B錯誤；球是一個幾何體，平面截它應得到一個面而不是一條曲線，C錯誤；空間中到一定點距離相等的點的集合是一個球面，而不是一個球體，D項錯誤．
方法歸納1．判斷簡單旋轉體結構特征的方法(1)明確由哪個平面圖形旋轉而成．(2)明確旋轉軸是哪條直線．2．簡單旋轉體的軸截面及其應用(1)簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉體結構特征的關鍵量．(2)在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉化思想．
跟蹤訓練1　(多選)下列說法正確的是(　　)A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺B．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓C．以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
解析：A項以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；B項它們的底面為圓面；C、D正確．
題型 2　簡單組合體的結構特征例2　請描述如圖所示的幾何體是如何形成的．
解析：①是由一個圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體；②是由一個長方體截去一個三棱錐后得到的幾何體；③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體．
方法歸納判斷組合體構成的方法(1)判定實物圖是由哪些簡單幾何體組成的問題時，首先要熟練掌握簡單幾何體的結構特征；其次要善于將復雜的組合體“分割”為幾個簡單的幾何體．(2)組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構成的．要仔細觀察組合體的構成，結合柱、錐、臺、球的結構特征，先分割，后驗證．?
跟蹤訓練2 (1) 一個直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉360°形成的空間幾何體是(　　)A．一個圓錐 B．一個圓錐和一個圓柱C．兩個圓錐 D．一個圓錐和一個圓臺
解析：一個直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉360°得到的旋轉體為兩個同底的圓錐的組合體．
(2)如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐而得到的．現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是________．(填序號)
解析：當截面過底面直徑時，截面如圖①；當截面不過底面直徑時，截面如圖⑤.
題型 3　空間幾何體中的計算問題角度1　有關旋轉體的側面展開圖的計算例3　如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？
方法歸納解此類題的關鍵要清楚幾何體的側面展開圖是什么樣的平面圖形，并進行合理的空間想象，且記住以下常見幾何體的側面展開圖：
角度2　簡單幾何體中的有關計算例4　如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3 cm，求圓臺O′O的母線長．
方法歸納(1)畫出圓錐的軸截面．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關系，求解便可．
角度3　球的截面問題例5　已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側，且距離等于1，求這個球的半徑．?
方法歸納利用球的截面，將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵．
跟蹤訓練3　已知一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面的面積分別為4π cm2和25π cm2，求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．
易錯辨析　對旋轉體的結構特征理解不到位致錯例6　(多選)下列結論中正確的是(　　)A．半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球B．直角三角形繞一條直角邊旋轉得到的旋轉體是圓錐C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體D．圓錐截去一個小圓錐后剩余的部分是圓臺
解析：半圓弧以其直徑為軸旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的幾何體叫作球，故A錯誤；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉時，其余各邊旋轉形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故B正確；當兩個平行截面不平行于上、下兩個底面時，兩個平行截面間的幾何體不是旋轉體，故C錯誤；將圓錐截去小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是圓臺，故D正確．
課堂十分鐘1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是(　　)A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體
2．旋轉后形成的幾何體如圖所示的平面圖形是(　　)
3．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上下底面的半徑之比為1∶4.若截去的圓錐的母線長為3 cm，則圓臺的母線長為(　　)A．1 cm B．3 cmC．12 cm D．9 cm
4．兩相鄰邊長分別為3 cm和4 cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉所成的圓柱中，母線長和底面半徑分別為________．
答案：3 cm，4 cm或4 cm，3 cm
解析：當以3 cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，母線長為3 cm，底面半徑為4 cm；當以4 cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，母線長為4 cm，底面半徑為3 cm.

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4.1 空間的幾何體

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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