教材要點要點一　空間兩直線的位置關(guān)系1．空間中兩條直線的位置關(guān)系
2．異面直線：把不同在________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．狀元隨筆　　(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤認(rèn)為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．
狀元隨筆　等角定理實質(zhì)上是由如下兩個結(jié)論合成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行且方向都相同（或方向都相反），則這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對應(yīng)邊方向相同，另一組對應(yīng)邊方向相反，則這兩個角互補．
基礎(chǔ)自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩條直線無公共點，則這兩條直線平行．（　?。?）分別平行于兩條異面直線的兩條直線一定是異面直線．（　?。?）若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d.（　?。?）如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等．（　　）
2.三棱錐A-BCD中，E、F、M、N分別是AB、AD、BC、CD的中點，求EF與MN的位置關(guān)系（　?。〢．平行　 B．相交C．異面　 D．都有可能
解析：∵E，F(xiàn)是AB、AD中點，∴EF∥BD∵M，N是BC，CD中點∴MN∥BD∴EF∥MN.
3.如圖，在直三棱柱ABC--A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1為異面直線的條數(shù)為（　?。〢．1 B．2C．3 D．4
解析：與直線BC1成異面直線的有A1B1，AC，AA1，共3條．
4.在空間中，若直線a與b無公共點，則直線a，b的位置關(guān)系是　　　　?。?br/>解析：a與b無公共點，a與b可能平行，可能異面．
題型 1　兩直線的位置關(guān)系辨析例1　（1）若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。〢．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交
解析：由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．
（2）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是　　　?。虎谥本€A1B與直線B1C的位置關(guān)系是　　　??；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是　　　??；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是　　　?。?br/>解析：經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以②④應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以③應(yīng)該填“相交”．
方法歸納判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．（2）重視正方體等常見幾何體模型的應(yīng)用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練1（多選）如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，下列結(jié)論中正確的是（　?。〢．直線AM與CC1是相交直線B．直線AM與BN是平行直線C．直線BN與MB1是異面直線D．直線AM與DD1是異面直線
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以AB錯誤．點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．故選CD.
題型 2　基本事實4的應(yīng)用例2　在棱長為a的正方體ABCD--A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．
方法歸納證明兩條直線平行的兩種方法（1）利用平行線的定義：證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點．（2）利用基本事實4：尋找第三條直線，然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行，根據(jù)基本事實4，顯然這兩條直線平行．若題設(shè)條件中含有中點，則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點．求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形．
證明：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．
題型 3　等角定理及其應(yīng)用例3　如圖所示，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.
證明：如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，F(xiàn)1M，則BF＝A1M.又∵BF∥A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.而F1，M分別為C1D1，A1B1的中點，則F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形．∴BM∥CF1.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理，取A1D1的中點N，連接DN，E1N，則有A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.
方法歸納（1）空間等角定理實質(zhì)上是由以下兩個結(jié)論組成的：①若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反，那么這兩個角相等；②若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，有一組對邊方向相同，另一組對邊方向相反，那么這兩個角互補．（2）證明角相等，一般采用三種途徑①利用等角定理及推論；②利用三角形相似；③利用三角形全等．
跟蹤訓(xùn)練3　在三棱柱ABC--A1B1C1中，M，N，P分別為A1C1，AC和AB的中點．求證：∠PNA1＝∠BCM.
證明：因為P，N分別為AB，AC的中點，所以PN∥BC.①又因為M，N分別為A1C1，AC的中點，所以A1M綊NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應(yīng)邊方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
易錯辨析　對兩直線的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)致誤例4　分別和兩條異面直線相交的兩條不同直線的位置關(guān)系是　　　　　?。?br/>解析：分兩類進行討論．（1）若兩條直線與兩異面直線的交點有4個，如圖（1），直線AB與異面直線a，b分別相交于點A，B，直線CD與異面直線a，b分別相交于點C，D，那么A，B，C，D四點不可能共面，否則與a，b異面矛盾，故直線AB與CD異面；（2）若兩條直線與兩異面直線的交點有3個，如圖（2），兩條直線相交．
課堂十分鐘1.若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（　　）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面　 D．相交、平行或異面
解析：異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．故選D.
2.如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（　?。〢．3條 B．4條C．5條 D．6條
解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.正方體ABCD--A1B1C1D1中，P，Q分別為AA1，CC1的中點，則四邊形D1PBQ是（　?。〢．正方形 B．菱形C．矩形 D．空間四邊形
4.空間中一個∠A的兩邊和另一個∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝　　　　　?。?br/>解析：①若∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且方向相同，則∠A與∠B相等，此時∠B＝∠A＝70°；②當(dāng)∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，且一邊方向相同另一邊方向相反，則∠A與∠B互補，此時∠B＝180°－∠A＝110°.
5.如圖，在正方體ABCD--A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中點．求證：四邊形EFF′E′為平行四邊形．

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高中數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修 第二冊電子課本

4.3 直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系

版本： 湘教版（2019）

年級： 必修 第二冊

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