1．拋物線的概念
把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；
(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；
(7)通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2p.
考點(diǎn)1 ******
[名師點(diǎn)睛]
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[典例]
1.(2023·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
2.設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
3.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
[舉一反三]
1．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( )
A．3 B.eq \f(3,2) C．5 D.eq \f(5,2)
2．(2023·濟(jì)南模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)．若直線AB的斜率為eq \f(\r(3),3)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq \f(3,2)，則p的值為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
3.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________.
4.(2023·廣州模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P(4，y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|＝eq \r(2)|PF|，則y0＝________，p＝________.
考點(diǎn)2 拋物線的幾何性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性
[典例]
1.(2023·新高考全國Ⅱ)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為eq \r(2)，則p等于( )
A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4
2.(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
3.設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________.
[舉一反三]
1．拋物線y2＝2px(p>0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)A與拋物線上的點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，線段AB的垂直平分線OM與拋物線交于點(diǎn)M，若直線MB經(jīng)過點(diǎn)N(4,0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(1,0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
2．(多選)(2023·唐山模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，經(jīng)過r上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延長AO交直線x＝－eq \f(1,4)于點(diǎn)C，則C，B，Q三點(diǎn)共線
3.(2023·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________．
考點(diǎn)3 直線與拋物線
[名師點(diǎn)睛]
(1)求解直線與拋物線問題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則可用弦長公式．
[典例]
(2023·湖州模擬)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(3,2))).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
[舉一反三]
已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq \f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦點(diǎn)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
對稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
(0,0)
離心率
e＝1
第53講 拋物線
1．拋物線的概念
把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)
常用結(jié)論
拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，則|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；
(6)過焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；
(7)通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2p.
考點(diǎn)1 ******
[名師點(diǎn)睛]
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[典例]
1.(2023·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為12，即x＋eq \f(p,2)＝12.
又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，
所以9＋eq \f(p,2)＝12，解得p＝6.
2.設(shè)拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)在直線2x＋3y－8＝0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案 A
解析 直線2x＋3y－8＝0與x軸的交點(diǎn)為(4,0)，∴拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為(4,0)，∴準(zhǔn)線方程為x＝－4.
3.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析 根據(jù)拋物線的定義可得|AD|＝|AF|＝4，
又∠DAF＝60°，
所以|AD|－p＝|AF|cs 60°＝eq \f(1,2)|AF|，
所以4－p＝2，解得p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
[舉一反三]
1．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M，N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．若|MF|＋|NF|＝5，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( )
A．3 B.eq \f(3,2) C．5 D.eq \f(5,2)
答案 B
解析 由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1，分別過點(diǎn)M，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，N′(圖略)，
根據(jù)拋物線的定義得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
所以線段MN的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2).
2．(2023·濟(jì)南模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)．若直線AB的斜率為eq \f(\r(3),3)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq \f(3,2)，則p的值為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
答案 C
解析 由題意得，拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在y軸上，準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(p,2)，
設(shè)A(xA，yA)，則|AF|＝y(tǒng)A＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，設(shè)直線AB的傾斜角為α，則tan α＝eq \f(\r(3),3)，
因?yàn)棣痢蔥0，π)，所以α＝eq \f(π,6)，所以|AF|＝eq \f(yA－\f(p,2),sin α)＝eq \f(\f(3,2)－\f(p,2),sin α)＝eq \f(3－p,2sin α)＝eq \f(3－p,2×\f(1,2))＝3－p，
所以3－p＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，解得p＝1.
3.如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________.
答案 y2＝3x
解析 如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，連接A1F，則△AA1F為等邊三角形，過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝eq \f(1,2)|AA1|＝eq \f(1,2)|AF|，即p＝eq \f(3,2)，∴拋物線方程為y2＝3x.
4.(2023·廣州模擬)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P(4，y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點(diǎn)，且|PK|＝eq \r(2)|PF|，則y0＝________，p＝________.
答案 2 4
解析 作PM⊥l，垂足為M，由拋物線定義知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝eq \r(2)|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝eq \f(|PM|,|PK|)＝eq \f(|PF|,|PK|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK為等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知點(diǎn)P在拋物線x2＝2py(p＞0)上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(py0＝8，,y0＋\f(p,2)＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝4，,y0＝2.))
考點(diǎn)2 拋物線的幾何性質(zhì)
[名師點(diǎn)睛]
應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性
[典例]
1.(2023·新高考全國Ⅱ)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝x＋1的距離為eq \r(2)，則p等于( )
A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 B
解析 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，其到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq \r(2)，
解得p＝2(p＝－6舍去)．
2.(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq \r(3)且經(jīng)過點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是( )
A．p＝4 B.eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案 ABC
解析 如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p.因?yàn)橹本€l的斜率為eq \r(3)，所以其傾斜角為60°.
因?yàn)锳E∥x軸，所以∠EAF＝60°，
由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，
則△AEF為等邊三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
則∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正確；
因?yàn)閨AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F為AD的中點(diǎn)，則eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，故B正確；
因?yàn)椤螪AE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正確；
因?yàn)閨BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，故D錯(cuò)誤．
3.設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________.
答案 eq \r(5)
解析 如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為eq \r([1－（－1）]2＋（0－1）2)＝eq \r(5).
[舉一反三]
1．拋物線y2＝2px(p>0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)A與拋物線上的點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，線段AB的垂直平分線OM與拋物線交于點(diǎn)M，若直線MB經(jīng)過點(diǎn)N(4,0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(1,0) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
答案 C
解析 設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，M(x2，y2)，
則點(diǎn)A(－x1，－y1)，可得－x1＝－eq \f(p,2)，
則x1＝eq \f(p,2)，
設(shè)直線MB的方程為x＝my＋4，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,y2＝2px，))可得y2－2mpy－8p＝0，
所以y1y2＝－8p，
由題意可知，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＋y1y2
＝eq \f(64p2,4p2)－8p＝16－8p＝0，解得p＝2.
因此，拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)．
2．(多選)(2023·唐山模擬)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線r：y2＝x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，經(jīng)過r上的點(diǎn)A(x1，y1)反射后，再經(jīng)r上另一點(diǎn)B(x2，y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延長AO交直線x＝－eq \f(1,4)于點(diǎn)C，則C，B，Q三點(diǎn)共線
答案 BCD
解析 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
因?yàn)镻eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))，且l1∥x軸，故A(1,1)，
故直線AF：y＝eq \f(1－0,1－\f(1,4))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,3).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x))可得y2－eq \f(3,4)y－eq \f(1,4)＝0，故y1y2＝－eq \f(1,4)，故A錯(cuò)誤；
又y1＝1，故y2＝－eq \f(1,4)，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，故|AB|＝1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,2)＝eq \f(25,16)，故B正確；
直線AO：y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝－\f(1,4)))可得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y(tǒng)2，
所以C，B，Q三點(diǎn)共線，故D正確；
因?yàn)閨AP|＝eq \f(41,16)－1＝eq \f(25,16)＝|AB|，
故△APB為等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正確．
3.(2023·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析 方法一 (解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以eq \f(|OF|,|PF|)＝eq \f(|PF|,|FQ|)，即eq \f(\f(p,2),p)＝eq \f(p,6)，
解得p＝3，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(3,2).
方法二 (應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(3,2).
考點(diǎn)3 直線與拋物線
[名師點(diǎn)睛]
(1)求解直線與拋物線問題，一般利用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則可用弦長公式．
[典例]
(2023·湖州模擬)如圖，已知拋物線x2＝y(tǒng)，點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x＜\f(3,2))).過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.
(1)求直線AP斜率的取值范圍；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解 (1)設(shè)直線AP的斜率為k，k＝eq \f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq \f(1,2)，因?yàn)椋璭q \f(1,2)＜x＜eq \f(3,2)，
所以直線AP斜率的取值范圍是(－1，1).
(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ＝eq \f(－k2＋4k＋3,2（k2＋1）).
因?yàn)閨PA|＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝eq \r(1＋k2)(k＋1)，
|PQ|＝eq \r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq \f(（k－1）（k＋1）2,\r(k2＋1))，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因?yàn)閒′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)k＝eq \f(1,2)時(shí)，|PA|·|PQ|取得最大值eq \f(27,16).
[舉一反三]
已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq \f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
解 設(shè)直線l：y＝eq \f(3,2)x＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由題設(shè)得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2).
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))
可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
則x1＋x2＝－eq \f(12?t－1?,9).
從而－eq \f(12?t－1?,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程為y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，從而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，
即A(3,3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－1)).
故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦點(diǎn)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
對稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
(0,0)
離心率
e＝1

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