解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置．
例1、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式1、（2022·江蘇海門·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（ ）
A．16πB．C．8πD．
變式2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（ ）
A．B．C．D．
變式3、（2022·廣東羅湖·高三期末）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線BD折起，使得平面平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A．B．四面體ABCD的體積為
C．存在點(diǎn)E使得的面積為D．四面體ABCD的外接球表面積為
變式4、（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnà）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（ ）
A．平面
B．為三棱錐的外接球的直徑
C．三棱錐的外接球體積為
D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等
變式5、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_________，該三棱錐的外接球的體積為_________.
變式6、（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為_________．
變式7、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體中，，，，則其外接球的體積為______.
變式8、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.
題型二、幾何體的內(nèi)切球
求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．
例2、（2021·山東高三其他模擬）如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為_________．
變式1、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______
變式2、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______
變式3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
變式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（ ）
A．
B．BE與平面DCE所成角的余弦值為
C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為
D．四面體ABCD的外接球表面積為
變式5、（2022·江蘇通州·高三期末）將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則________；O1O2＝__________.

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