題型一 、展開問題
例1、（2022·廣東佛山·高三期末）長方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
變式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（ ）
A．
B．BE與平面DCE所成角的余弦值為
C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為
D．四面體ABCD的外接球表面積為
變式2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cs∠FCB=______________.
，
題型二、折疊問題
例2、（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過程中（ ）
A．B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1
變式1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（ ）
A．在該多面體中，
B．該多面體是三棱錐
C．在該多面體中，平面平面
D．該多面體的體積為
變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4 dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）
變式3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.
題型三、折疊的綜合性問題
例3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（ ）
A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BM
B．若，則在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61π
D．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為
變式1、（2021·山東濱州市·高三二模）已知正方形的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．四面體的外接球的表面積為
B．四面體體積的最大值為
C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為
D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為
變式2、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.
（1）求證：平面平面；
（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.

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