題型選講
題型一 由數(shù)列公共項構(gòu)成新數(shù)列
例1、（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為，滿足，等差數(shù)列中.
(1)求和的通項公式；
(2)數(shù)列與的共同項由小到大排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前20的積.
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1），，當(dāng)時，，兩式相減得：，
即，而，解得，因此數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，，
在等差數(shù)列中，由，得，解得，
則公差，，
所以和的通項公式分別為，.
（2）令數(shù)列的第m項與數(shù)列的第k項相同，即，
于是，
顯然是4的正整數(shù)倍，要成立，
當(dāng)且僅當(dāng)為正偶數(shù)，因此數(shù)列與的共同項為，即，
所以.
變式1、（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點在直線上.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項的和.
【答案】(1)，
(2)341
【解析】
【分析】
(1) 由與的關(guān)系式可得通項公式，再由點與直線的關(guān)系可得的通項公式；
(2) 找出滿足條件的共同項再求和即可.
(1)
，，，
①，，，滿足①，
所以是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，
所以.
因為點在直線上，
所以，，是首項為1公差為3的等差數(shù)列，所以.
(2)
且滿足的中項一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，
同時滿足，所以，，，，
數(shù)列{cn}所有項的和為：.
變式2、（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項，其前四項中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)中不包含的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意求出，從而求出通項公式；（2）先求出的前25項和，再減去前25項中含有數(shù)列中的項的和，求出答案.
(1)
等差數(shù)列中，，，其前四項，，，中刪去某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項.
根據(jù)題意，當(dāng)刪去數(shù)列中第三項時，
滿足，解得；
刪去時，滿足，此方程無解，不滿足題意，同理可證，刪除與時，均不滿足題意；
故；
所以，
(2)
已知等差數(shù)列中，，
數(shù)列中的項為：4，8，16，32，64，128，256，…，
所以.
故數(shù)列的前25項和為，
數(shù)列的前25項中含有數(shù)列中的項的和為，
所以.
題型二 由給定數(shù)列的項數(shù)構(gòu)成新數(shù)列
例2、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據(jù)，，得到為等差數(shù)列，根據(jù)通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差，得到的通項公式，再利用等比數(shù)列通項公式基本量計算出和公比，求出的通項公式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】（1），，，
即，，，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
故，，
解得：，，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
因為，成等差數(shù)列，所以，
即，與聯(lián)立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由題意得：為中的整數(shù)個數(shù)，
故，
所以
.
變式1、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．
(1)求b的值和數(shù)列的通項公式；
(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；
【詳解】（1）解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，
若的首項、公比分別為、，則，
∴且，所以，
故的通項公式為．
當(dāng)時，；
（2）解：令，，解得，所以
數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，
∵，①
∵②
兩式相減得∴．
∴
變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個數(shù)為．
(1)求，的值；
(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．
【答案】(1)，；；(2)11
【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得公差，得通項公式，寫出時的集合可得元素個數(shù)，即；
（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時和小于2022，時和大于2022，由數(shù)列的單調(diào)性得結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，
，解得，所以，
時，集合中元素個數(shù)為，
時，集合中元素個數(shù)為；
（2）由（1）知，
，
時，=20012022，
記，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以所求的最小值是11.
題型三 由數(shù)列的插入項構(gòu)成新數(shù)列
例3、（2022·山東煙臺·一模）己知等差數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；
(2)保持?jǐn)?shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．
【解析】 (1)設(shè)的公差為d，由已知，．
解得，d＝2．所以；
(2)因為與之間插入個1，
所以在中對應(yīng)的項數(shù)為
，
當(dāng)k＝6時，，當(dāng)k＝7時，，
所以，，且．
因此
.
變式1、(2022·青島期初考試)已知等差數(shù)列{An}的首項A1為4，公差為6，在{An}中每相鄰兩項之間都插入兩個數(shù)，使它們和原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{an}．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…是從{an}中抽取的部分項按原來的順序排列組成的一個等比數(shù)列，eq k\s\d(1)＝1，k\s\d(2)＝5，令eq b\s\d(n)＝2nk\s\d(n)＋2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【解析】
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由題意可知，eq a\s\d(1)＝A\s\d(1)＝4，a\s\d(4)＝A2＝4＋6＝10，
所以eq a\s\d(4)＝4＋(4－1)×d＝10，
解得d＝2，
所以eq a\s\d(n)＝a\s\d(1)＋(n－1)d＝4＋(n－1)×2＝2n＋2；
(2)設(shè)等比數(shù)列EQ a\S\DO(k\S\DO(1))，EQ a\S\DO(k\S\DO(2))，…，EQ a\S\DO(k\S\DO(n))，…的公比為q，
則q＝EQ \F(a\S\DO(k\S\DO(2)),a\S\DO(k\S\DO(1)))＝EQ \F(a\S\DO(5),a\S\DO(1))＝EQ \F(12,4)＝3，所以EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 4·3\s\up6(n－1)，
又EQ a\S\DO(k\S\DO(n))＝eq 2k\s\d(n)＋2，
所以eq 2k\s\d(n)＋2＝4·3\s\up6(n－1)，k\s\d(n)＝2·3\s\up6(n－1)－1，
eq ∴b\s\d(n)＝2nk\s\d(n)＋2n＝4n·3\s\up6(n－1)，
因為eq T\s\d(n)＝4×3\s\up6(0)＋8×3\s\up6(1)＋12×3\s\up6(2)＋…＋4n·3\s\up6(n－1)，
所以eq 3T\s\d(n)＝4×31eq ＋8×3\s\up6(2)＋12×3\s\up6(3)＋…＋4(n－1)·3\s\up6(n－1)＋4n·3\s\up6(n)，
相減得：eq －2T\s\d(n)＝4×3\s\up6(0)＋4×3\s\up6(1)＋4×3\s\up6(2)＋…＋4·3\s\up6(n－1)－4n·3\s\up6(n)
eq ＝\f(4(1－3\s\up6(n)),1－3)－4n·3\s\up6(n)＝－2(2n－1)·3\s\up6(n)－2
eq ∴T\s\d(n)＝(2n－1)·3\s\up6(n)＋1
變式2、（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在任意相鄰兩項和之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求解；
（2）方法一：由題意得到，的各項為，再確定數(shù)列的項求解；方法二：由在數(shù)列中，前面（包括）共有項，令，確定數(shù)列的項求解.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題得，即，
整理得，
解得.
所以.
(2)
方法一：由題意可知，的各項為
即，
因為，
且，
所以，，，，，，會出現(xiàn)在數(shù)列的前200項中，
所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，
所以，
方法二：在數(shù)列中，前面（包括）共有項，
令，則，
所以，，，，，，會出現(xiàn)在數(shù)列的前200項中，
所以前面（包括）共有126+7=133項，所以后面（不包括）還有67個1，
所以，

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