1. 直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
2. 空間位置關(guān)系的向量表示
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m,
l∥α,n⊥m?
l⊥α,n∥m?
平面α，β的法向量分別為n，m,
α∥β,n∥m?n＝
α⊥β,n⊥m?
3. 異面直線所成的角
3.設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
4. 求直線與平面所成的角
設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
5. 求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉
①
②
③
(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足
|cs θ|＝ ，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．
1、【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（ ）
A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面
2、【2018年新課標(biāo)2卷理科】在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
3、【2022年全國甲卷】在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．
(1)證明：BD⊥PA；
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．
4、【2022年全國乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
5、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為22．
(1)求A到平面A1BC的距離；
(2)設(shè)D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．
6、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點．
(1)證明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．
1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
2、.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α或l∥α D．l與α斜交
3、已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
4、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
考向一 運用向量研究異面直線所成的角
例1、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．已知AB＝2，AD＝2 eq \r(2)，PA＝2，求異面直線BC與AE所成的角的大小．
變式1、（山東省煙臺市高三上期末）如圖，在正方體中，點在線段上運動，則 （ ）
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
變式2、如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為________．
方法總結(jié)：利用向量法求異面直線所成角的方法：(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．
考向二 運用向量研究直線與平面所成的角
例2、（2022年廣州附屬中學(xué)高三模擬試卷）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值．
變式1、如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1) 求證：AC⊥B1D；
(2) 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
變式2、（山東省臨沂市高三上期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點，AC與BE相交于點O.
（1）證明：平面ABCD.
（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
方法總結(jié)：利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．
考向三 運用向量研究二面角
例3、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點為棱的中點，為邊的中點.（1）求證：平面；
（2）若側(cè)面底面，且，，求平面與平面的夾角的余弦值.
變式1、（山東省煙臺市高三上期末）如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點，且.
（1）證明：直線平面；
（2）求二面角的余弦值.
變式2、（山東省濰坊市高三上期中）如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點．（1）求證：；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
方法總結(jié)：利用向量法計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?br>1、（2022年河北省承德市高三模擬試卷）已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝，E為PD中點，AF⊥PC，垂足為F．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求異面直線AB與CE所成的角；
（3）求證：PD⊥EF．
2、 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面,于點，連接.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
3、（2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，.（1）證明： ；
（2）若三角形AED為等邊三角形，PA=AD=6，F(xiàn)為PB上一點，且，求直線EF與平面PAE所成角的正弦值.
4、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，平面，
（1）求與所成的角
（2）平面與平面所成的銳二面角余弦值位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
l1⊥l2
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
求法
csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)
csθ＝|cs β|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)

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