2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第46講數(shù)列中的奇偶項問題（學(xué)生版）+教師版-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一、分段函數(shù)的奇偶項求和
例1、（深圳市羅湖區(qū)期末試題）已知數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)求數(shù)列的前100項和.
【解析】
【小問1詳解】
，
所以是常數(shù)列，即；
【小問2詳解】
由（1）知，是首項為2，公差為3等差數(shù)列，
由題意得，，
設(shè)數(shù)列，的前50項和分別為，，
所以，，
所以的前100項和為；
綜上，，的前100項和為.
變式1、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是一個等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時，可得，
當(dāng)時，由，
則，
上述兩式作差可得，
因為滿足，所以的通項公式為，所以，
因為（常數(shù)），
所以是一個等差數(shù)列．
（2），
所以，
所以數(shù)列的前項和．
變式2、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足的前n項和為．
(1)求，，并判斷1024是數(shù)列中的第幾項；
(2)求．
【答案】(1)，；1024是數(shù)列的第342項
(2)
【詳解】（1）由可得，．
令，解得：為偶數(shù)，不符合題意，舍去；
令，解得：，符合題意．
因此，1024是數(shù)列的第342項．
（2）
．
另解：由題意得，又，
所以數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．
，又，
所以數(shù)列是以4為首項，6為公差的等差數(shù)列．
為數(shù)列的前n項和與數(shù)列的前項和的總和．
故.
變式3、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題意,
所以,
因為,所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以,即,
而,
所以
（2）方法一：由得
方法二：因為
所以
變式4、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）記為等差數(shù)列{}的前n項和，已知，數(shù)列{}滿足.
(1)求數(shù)列{}與數(shù)列{}的通項公式；
(2)數(shù)列{}滿足，n為偶數(shù)，求{}前2n項和.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
，即，，.
，①
，②
所以①-②得，，
.當(dāng)時，，符合.
.
（2），依題有：
.
記，則.
記，
則
.
所以
變式5、（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
；
當(dāng)n為奇數(shù)時；
綜上所述：.
題型二、含有（-1）n類型
例2、【2020年新課標(biāo)1卷文科】數(shù)列滿足，前16項和為540，則 _____________
【答案】
【解析】，
當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.
設(shè)數(shù)列的前項和為，
，
.
故答案為：.
變式1、（2021·山東濟寧市·高三二模）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足是、的等差中項，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為是、的等差中項，所以，即，
因為，所以，解得或，
因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以．
因為，即，解得，所以；
（2）解法一：（分奇偶、并項求和）
由（1）可知，，
所以，，
①若為偶數(shù)，
；
②若為奇數(shù)，當(dāng)時，，
當(dāng)時，適合上式，
綜上得（或，）；
解法二：（錯位相減法）
由（1）可知，，
所以，，
，
所以
所以
，
所以，
變式2、【2022·廣東省深圳市福田中學(xué)10月月考】已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，，.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）設(shè)，求{bn}前n項和Tn.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，列方程即可求得首項和公差，再利用公式求通項公式和前項和即可；
（2）根據(jù)（1）中所求即可求得，對分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】（1）由得.
又因為，所以，
則，解得；
故，
.
（2）.
當(dāng)為偶數(shù)時：
.
當(dāng)為奇數(shù)時：
.
綜上得
題型三、an+an+1 類型
例3、（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）記，為數(shù)列的前n項和，已知，．
(1)求，并證明是等差數(shù)列；
(2)求．
【解析】（1）已知，
當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以．
因為①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常數(shù)），，
所以是首項為6，公差為4的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，，，．
當(dāng)n為偶數(shù)時，；
當(dāng)n為奇數(shù)時，．
綜上所述，
變式1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項和為，且，.
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求前項和.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進行求解即可；
（2）利用錯位相減法進行求解即可.
(1)
，，∴，又，，
（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,
∴，，（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.
∴，∴，∴，
∵，∴時，，∴，
又，∴時，，，∴；
(2)
由（1）得，
設(shè) ①
則 ②
①②得，
，∴
變式2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項和為，且，.
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求前項和.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進行求解即可；
（2）利用錯位相減法進行求解即可.
(1)
，，∴，又，，
（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,
∴，，（為正整數(shù)）時，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.
∴，∴，∴，
∵，∴時，，∴，
又，∴時，，，∴；
(2)
由（1）得，
設(shè) ①
則 ②
①②得，
，∴

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