空間角與距離的計(jì)算 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(探索性問(wèn)題\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(探點(diǎn)得位置關(guān)系,探點(diǎn)得角)),最值問(wèn)題))
1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
【解析】（1）[方法一]：幾何法
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，
過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，
易證，則．
又因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋云矫妫?br>又因?yàn)槠矫?，所以?br> [方法二] 【最優(yōu)解】：向量法
因?yàn)槿庵侵比庵?，底面?br>，，，又，平面．所以兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
，．
由題設(shè)（）．
因?yàn)椋?br>所以，所以．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br>所以，即．
令，則
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br>設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，
則．
當(dāng)時(shí)，取最小值為，
此時(shí)取最大值為．
所以，此時(shí)．
[方法二] ：幾何法
如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．
作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．
設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
則，
所以，當(dāng)時(shí)，．
2、【2020年新高考1卷（山東卷）】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【解析】【詳解】
（1）證明： 在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)椋云矫妫?br>（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
因?yàn)椋O(shè)，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則
根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
［方法二］：定義法
如圖2，因?yàn)槠矫妫?，所以平面?br>在平面中，設(shè)．
在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．
設(shè)，在中，易求．
由與相似，得，可得．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
1、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；
（2），分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角的平面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.
【答案】（1）證明見解析；（2）為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為
【分析】
（1）先通過(guò)線面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
（2）分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系，即可計(jì)算出的坐標(biāo)從而位置可確定.
【詳解】
（1）證明：因?yàn)?，，?br>所以，即.
又因?yàn)?，，所以?br>，所以平面.
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）解：連接，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.
由（1）知，平面平面，所以平面.
以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則平面的一個(gè)法向量是，，，.
設(shè)，，
，，
代入上式得，，，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
由，得.
令，得.
因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮椋?br>所以，即，解得.
所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為.
2、 (2022·青島二模)如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB＝4，母線PH＝2 eq \r(2)，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形．
(1) 設(shè)平面POH∩平面PBC＝l，求證：l∥BC；
(2) 設(shè)D為OH的中點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)MN與平面PAB所成的角最大時(shí)，求MN的長(zhǎng)．
【解析】 (1) 因?yàn)樗倪呅蜲BCH為正方形，
所以BC∥OH.
因?yàn)锽C?平面POH，OH?平面POH，
所以BC∥平面POH.
因?yàn)锽C?平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，
所以l∥BC.
(2) 因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為2 eq \r(2)，AB＝4，
所以O(shè)B＝2，OP＝2.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)H，OB，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P(0，0，2)，B(0，2，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，M(0，1，1)，
所以 eq \(DC,\s\up6(→))＝(1，2，0).
設(shè) eq \(DN,\s\up6(→))＝λ eq \(DC,\s\up6(→))＝(λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，
則 eq \(ON,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))＋ eq \(DN,\s\up6(→))＝(1＋λ，2λ，0)，
eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(ON,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))＝(1＋λ，2λ－1，－1).
易知 eq \(OD,\s\up6(→))＝(1，0，0)為平面PAB的一個(gè)法向量．
設(shè)MN與平面PAB所成的角為θ，則
sin θ＝|cs 〈 eq \(MN,\s\up6(→))， eq \(OD,\s\up6(→))〉|＝| eq \f((1＋λ，2λ－1，－1)·(1，0，0),\r((1＋λ)2＋(2λ－1)2＋1))|＝ eq \f(1＋λ,\r(5λ2－2λ＋3)).
令1＋λ＝t∈[1，2]，
則sin θ＝ eq \f(t,\r(5t2－12t＋10))＝ eq \f(1,\r(5－\f(12,t)＋10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))\s\up12(2)))＝ eq \f(1,\r(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－\f(3,5)))\s\up12(2)＋\f(7,5)))，
所以當(dāng) eq \f(1,t)＝ eq \f(3,5)時(shí)，即λ＝ eq \f(2,3)時(shí)，sin θ最大，即θ最大，此時(shí)MN＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(1,3)，－1))，
所以MN＝| eq \(MN,\s\up6(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋(－1)2)＝ eq \f(\r(35),3).
考向一 利用空間向量解決探索性問(wèn)題
例1、（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)P在底面的射影為點(diǎn)O，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)在線段上，是否存在點(diǎn)N，使二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見解析;
(2)在線段上存在點(diǎn)N，且N是線段靠近的一個(gè)三等分點(diǎn).
（1）連接，
因?yàn)槠矫?，平? 平面，
所以.
又，，所以.又，所以為等腰直角三角形.
設(shè)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)M是的中點(diǎn)，底面為正方形，所以,
又平面，平面,所以,又，
所以平面，平面,所以
（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
假設(shè)存在點(diǎn)N在線段上滿足條件，設(shè)，，則
，
，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則
，即，
令，則，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則
，即，
令，則，，
設(shè)二面角所成角為，則
.
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
解得或（舍）.
所以在線段上存在點(diǎn)N，且N是線段靠近的一個(gè)三等分點(diǎn).
變式1、（2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷）如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心，點(diǎn)在棱上，且的面積為1.
（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面平面；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】【小問(wèn)1詳解】
證明：∵點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，∴平面，
∵四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，∴，
∵，∴，即：，∴，又∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，同理可得：，又∵，且平面，
∴平面，又∵平面，∴平面平面.
【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，易知，，兩兩互相垂直，
分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
假設(shè)存在點(diǎn)使得直線與平面所成的角的正弦值為，
∵點(diǎn)在棱上，不妨設(shè)，，
又，∴，∴，
∵，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，∴，
又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，
∴，
即，解得：或（不合題意，舍去），
∴存在點(diǎn)符合題意，點(diǎn)為棱上靠近端點(diǎn)的三等分點(diǎn).
變式2、 (2022·湖南長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA1＝2.
(1) 求證：A1B⊥B1C；
(2) M，N分別為棱CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1B1上，是否存在點(diǎn)P，使平面PMN與平面ABC所成角的余弦值為 eq \f(4\r(21),21)，若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】 (1) 由題意可得AB，AC，AA1兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C(0，2，0)，
所以 eq \(A1B,\s\up6(→))＝(2，0，－2)， eq \(B1C,\s\up6(→))＝(－2，2，－2)，
所以 eq \(A1B,\s\up6(→))· eq \(B1C,\s\up6(→))＝－4＋0＋4＝0，
所以 eq \(A1B,\s\up6(→))⊥ eq \(B1C,\s\up6(→))，即A1B⊥B1C.
(2) 假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，由(1)的建系條件可設(shè) eq \(A1P,\s\up6(→))＝λ eq \(A1B1,\s\up6(→))＝λ(2，0，0)＝(2λ，0，0)，0≤λ≤1，
所以P(2λ，0，2)，N(1，1，0)，M(0，2，1)，
所以 eq \(NP,\s\up6(→))＝(2λ－1，－1，2)， eq \(NM,\s\up6(→))＝(－1，1，1).
設(shè)平面PMN的法向量為n1＝(x，y，z)，
則 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(NP,\s\up6(→))·n1＝0，,\(NM,\s\up6(→))·n1＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((2λ－1)x－y＋2z＝0，,－x＋y＋z＝0，))
令x＝3，得n1＝(3，2λ＋1，2－2λ).
又平面ABC的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，
則|cs 〈n1，n2〉|＝| eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)|＝ eq \f(|2－2λ|,\r(9＋(2λ＋1)2＋(2－2λ)2))＝ eq \f(2－2λ,\r(8λ2－4λ＋14))＝ eq \f(4\r(21),21)，
化簡(jiǎn)并整理，得11λ2＋26λ＋35＝0.
又Δ

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