(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面)．
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2、 空間中兩直線的位置關系
(1)空間中兩直線的位置關系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直線\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內))
(1)兩條異面直線不能確定一個平面．
(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內的兩條直線.
(2)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
(4)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．
(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．
(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．
知識點三 空間中直線與平面、平面與平面的位置關系
(1)直線與平面的位置關系有相交、平行、在平面內三種情況．
(2)平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況．
3、知識必備
1．唯一性定理
(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的兩個結論
(1)平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線．
(2)分別在兩個平行平面內的直線平行或異面．
1、【2022年新高考1卷】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則（ ）
A．直線BC1與DA1所成的角為90°B．直線BC1與CA1所成的角為90°
C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
【答案】ABD
【解析】如圖，連接B1C、BC1，因為DA1//B1C，所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角，
因為四邊形BB1C1C為正方形，則B1C⊥ BC1，故直線BC1與DA1所成的角為90°，A正確；
連接A1C，因為A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，則A1B1⊥BC1，
因為B1C⊥ BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1C，
又A1C?平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，故B正確；
連接A1C1，設A1C1∩B1D1=O，連接BO，
因為BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O?平面A1B1C1D1，則C1O⊥B1B，
因為C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角，
設正方體棱長為1，則C1O=22，BC1=2，sin∠C1BO=C1OBC1=12，
所以，直線BC1與平面BB1D1D所成的角為30°，故C錯誤；
因為C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠C1BC=45°，故D正確.
故選：ABD
2、(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【答案】 D
【解析】 如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \r(2)，BC1＝2eq \r(2)，sin ∠PBC1＝eq \f(PC1,BC1)＝eq \f(1,2)，所以∠PBC1＝eq \f(π,6).
3、(2019·全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【答案】B
【解析】 過E作EQ⊥CD于Q，連接BD，QN，BE，易知點N在BD上．∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，設CD＝2，易知EQ＝eq \r(3)，QN＝1，則EN＝eq \r(EQ2＋QN2)＝eq \r(3＋1)＝2，BE＝eq \r(BC2＋CE2)＝eq \r(4＋4)＝2eq \r(2).易知BE＝BD，又∵M為DE的中點，∴BM⊥DE，∴BM＝eq \r(BE2－EM2)＝eq \r(8－1)＝eq \r(7)，∴BM＝eq \r(7)>2＝EN.∴BM≠EN.
又∵點M，N，B，E均在平面BED內，∴BM，EN在平面BED內，又BM與EN不平行，∴BM，EN是相交直線，故選B.
1、a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是( )
A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面
B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交
C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c
【答案】C
【解析】 若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，
則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；
由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.
2、如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是( )
A．直線AC
B．直線AB
C．直線CD
D．直線BC
【答案】C
【解析】 由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，
又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以點D在平面ABC與平面β的交線上．
又因為C∈平面ABC，C∈β，
所以點C在平面β與平面ABC的交線上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
3、如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是( )
A．A，M，O三點共線
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
【答案】A
【解析】 連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四點共面，
∴A1C?平面ACC1A1，
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．
∴A，M，O三點共線．
4、 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
【答案】C
【解析】 如圖，因為AB∥CD，
所以AE與CD所成角為∠EAB.
在Rt△ABE中，設AB＝2，
則BE＝eq \r(5)，
則tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2)，
所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq \f(\r(5),2).
考向一 平面的基本性質及應用
例1、以下四個命題中，正確命題的個數是( )
①不共面的四點中，任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ①顯然是正確的，可用反證法證明；②若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構造長方體或正方體，如圖，顯然b，c異面，故不正確；④空間四邊形中四條線段不共面．故正確命題的個數為1.
【答案】 B
變式1、平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定______個平面．
【解析】 若過四點中任意兩點的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；
否則確定四個平面．
【答案】 1或4
變式2、如圖，已知空間四邊形ABCD，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝ eq \f(1,3)BC，CH＝ eq \f(1,3)DC.求證：
(1) E，F，G，H四點共面；
(2) 直線FH，EG，AC共點．
【解析】 (1) 因為E，F分別是AB，AD的中點，
所以EF∥BD.
又CG＝ eq \f(1,3)BC，CH＝ eq \f(1,3)DC，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四點共面．
(2) 易知直線FH與直線AC不平行，但共面，
所以設FH∩AC＝M，
所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又因為平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，所以FH，EG，AC共點
變式2、 如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB和BC上的點，G，H分別是CD和AD上的點.若EH與FG相交于點K.
求證：EH，BD，FG三條直線相交于同一點.
證明 因為K∈EH，EH?平面ABD，
所以K∈平面ABD，同理K∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，
因此K∈BD，所以EH，BD，FG三條直線相交于同一點.
方法總結：1．證明點或線共面問題的2種方法
(1)首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；
(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
2．證明點共線問題的2種方法
(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；
(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上．
3．證明線共點問題的常用方法
先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點
考向二 判斷空間直線的位置關系
例2、若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題中正確的是________．(填序號)
①l與l1，l2都不相交；
②l與l1，l2都相交；
③l至多與l1，l2中的一條相交；
④l至少與l1，l2中的一條相交．
【解析】 若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，所以l至少與l1，l2中的一條相交．
【答案】 ④
變式1、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷中錯誤的是________．(填序號)
①MN與CC1垂直；
②MN與AC垂直；
③MN與BD平行；
④MN與A1B1平行．
【解析】 如圖，連接B1C，B1D1，則M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，所以MN∥B1D1.又BD∥B1D1，所以MN∥BD.因為CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，所以MN⊥CC1，MN⊥AC.又因為A1B1與B1D1相交，所以MN與A1B1不平行．故①②③正確，④錯誤．
【答案】 ④
變式2、 (1)(多選)(2022·福州質檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是( )
A.MN與PD是異面直線
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【答案】 ABD
【解析】 如圖所示，取PB的中點H，連接MH，HC，
由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.
若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，
事實上AC∩CH＝C，C說法不正確；
因為PC＝BC，H為PB的中點，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關系是( )
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.異面 D.平行
【答案】 D
【解析】 連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點，
連接BF并延長，交AD于點N，因為CF＝2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq \f(ME,ED1)＝eq \f(1,2)，eq \f(MF,BF)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(ME,ED1)＝eq \f(MF,BF)，所以EF∥BD1.
方法總結：1.異面直線的判定方法：
(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面.
(2)定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線.
2.點、線、面位置關系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系.
考向三 異面直線所成的角
例3、如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【答案】 D
【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補角為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，故cs∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq \f(4,5).
變式、 (1)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
【答案】 C
【解析】 法一 如圖，補上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角.因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，所以DE1＝eq \r(DE2＋EEeq \\al(2,1))
＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2，
DB1＝eq \r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq \r(5)，B1E1＝eq \r(A1Beq \\al(2,1)＋A1Eeq \\al(2,1))＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，
得cs∠B1DE1＝eq \f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq \f(\r(5),5).
法二 如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角.因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，AD1＝eq \r(AD2＋DDeq \\al(2,1))＝2，DM＝eq \r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)，
DB1＝eq \r(AB2＋AD2＋DDeq \\al(2,1))＝eq \r(5)，所以OM＝eq \f(1,2)AD1＝1，OD＝eq \f(1,2)DB1＝eq \f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cs∠MOD＝eq \f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq \f(\r(5),5).
(2)(2022·湖北重點高中聯(lián)考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，且斜邊BC＝2，D是BC的中點，若AA1＝eq \r(2)，則異面直線A1C與AD所成角的大小為( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】 C
【解析】 如圖，取B1C1的中點D1，連接A1D1，則AD∥A1D1，∠CA1D1(或其補角)就是異面直線A1C與AD所成的角.
連接D1C.
∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C?平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1D1C為直角三角形，
在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝eq \r(3)，
∴∠CA1D1＝60°.
方法總結：方法總結：用平移法求異面直線所成的角的三步驟
(1)一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角；
(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角
1、(2022·廈門模擬)下列說法正確的是( )
A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面
B．和同一條直線異面的兩直線一定共面
C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行
D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交
【答案】 C
【解析】 兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；
如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，同樣DD1與B1C1也是異面直線，故B錯誤；
如圖2，設直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則若AC∥BD，有AC與BD確定一個平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與假設矛盾，故C正確；
如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤．

圖1 圖2
2、(2022·渭南模擬)在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為________．(填序號)
①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；
②若平面β內有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；
③若直線l與平面α內的任意一條直線垂直，則l⊥α；
④兩條異面直線在同一平面內的射影一定是兩條相交直線．
【答案】 ①②④
【解析】 對于①，當平面α外兩點的連線與平面α垂直時，此時過兩點有無數個平面與平面α垂直，所以①不正確；
對于②，若平面β內有不共線三點到平面α的距離都相等，平面α與β可能平行，也可能相交，所以②不正確；
對于③，直線l與平面內的任意直線垂直時，得到l⊥α，所以③正確；
對于④，兩條異面直線在同一平面內的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以④不正確．
3、已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A. eq \f(\r(3),2) B. eq \f(\r(15),5) C. eq \f(\r(10),5) D. eq \f(\r(3),3)
【解析】 如圖，將直三棱柱ABC-A1B1C1補成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角．因為∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝ eq \r(5)，AD1＝ eq \r(2).在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝ eq \r(12＋22－2×1×2×cs 60°)＝ eq \r(3)，所以cs ∠B1AD1＝ eq \f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝ eq \f(\r(10),5)，即異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 eq \f(\r(10),5).
【答案】 C
4、如圖，A是△BCD所在平面外的一點，E，F分別是BC，AD的中點．
(1) 求證：直線EF與BD是異面直線；
(2) 若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角的大小．
【解析】 (1) 假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以點A，B，C，D在同一平面內，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．
故直線EF與BD是異面直線．
(2) 取CD的中點G，連接EG，FG，
則AC∥FG，BD∥EG，
所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，所以FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝ eq \f(1,2)AC，得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.

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高中人教版新課標A2.1 空間點、直線、平面之間的位置關系導學案

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第十五講 點線面的位置關系學案

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