【解題思路】解答此類問(wèn)題的基本思路:(1)結(jié)合題意尋找數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律,分別求出它們的通項(xiàng)公式.在求通項(xiàng)公式時(shí),要注意把數(shù)列的項(xiàng)數(shù)間隔開.(2)將數(shù)列分成奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)兩組,分組進(jìn)行求和.(3)將所得的結(jié)果匯總、化簡(jiǎn),便可求得數(shù)列的和.
視角一 含有(-1)n的遞推公式
[例1] (多選題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則( )
A.a48+a50=100 B. a50-a46=4
C.S48=600 D. S49=601
【解析】選BCD.因?yàn)閍1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+2=an=a1=1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+an+2=2n.
對(duì)于A,由an+an+2=2n,所以a48+a50=96,A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)閍46+a48=92,a48+a50=96,兩式相減可得a50-a46=4,B正確;對(duì)于C,S48=a1+a3+a5+…+a47+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a46+a48)]=24×1+2×(2+6+…+46)
=24+2×(2+46)×122=600,C正確;
對(duì)于D,S49=S48+a49=600+1=601,D正確.
思維升華：含有(-1)n類型問(wèn)題的解法
(1)通項(xiàng)公式中含有(-1)n:
①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式乘(-1)n,可用并項(xiàng)求和法求數(shù)列前n項(xiàng)的和;
②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有(-1)n,其前n項(xiàng)和可寫成分段的形式,考查最值問(wèn)題,如等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·32n,則其前n項(xiàng)和為Sn,求Tn=Sn-1Sn的取值范圍,n分奇偶討論,求出取值范圍;
③裂項(xiàng)相消法求和
如an=(-1)n·4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n·(12n-1+12n+1),求和時(shí)通過(guò)(-1)n實(shí)現(xiàn)正負(fù)交替.
(2)遞推公式中有(-1)n:尋找間隔兩項(xiàng)之間的關(guān)系,如an+1+(-1)nan=2n→n為奇數(shù)時(shí),an+1-an=2nan+2+an+1=2n+2→an+2+an=2;n為偶數(shù)時(shí),an+1+an=2nan+2-an+1=2n+2→
an+2+an=4n+2→得到相鄰兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系.
遷移應(yīng)用
數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,數(shù)列{bn}滿足bn=an+1+(-1)nan,n∈N*.
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和S100;
【解析】(1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,且a1=1,a2=2,
所以公差d=1,所以an=n.
所以bn=an+1-an=1,n為奇數(shù),an+1+an=2n+1,n為偶數(shù),
即bn=1,n為奇數(shù),2n+1,n為偶數(shù),
所以bn的前100項(xiàng)和
S100=(b1+b3+…+b99)+(b2+b4+…+b100)
=50+(5+9+13+…+201)
=50+50×5+50×(50-1)2×4=5 200.
(2)若數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】(2)由題意得,b1=a2-a1=1,公差d=2,
所以bn=2n-1.
所以b2n-1=a2n-a2n-1=4n-3,①b2n=a2n+1+a2n=4n-1,②
由②-①得,a2n+1 +a2n-1 =2,
所以a2n+1 =2-a2n-1 ,
又因?yàn)閍1=1,所以a1=a3=a5=…=1,
所以a2n-1 =1,所以a2n =4n-2,
綜上所述,an=1,n為奇數(shù),2n-2,n為偶數(shù).
視角二 已知條件明確的奇偶項(xiàng)問(wèn)題
[例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,an=n,n為奇數(shù),(12) n2,n為偶數(shù),求Sn.
【解析】方法一:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=a1+a2+…+an=(a1+a3+…+an-1 )+(a2+a4+…+an)
=(1+3+…+n-1)+[(12)1+(12)2+…+(12) n2]=[1+(n-1)]·n22+12[1-(12) n2]1-12=n24+1-(12) n2.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n-1是偶數(shù),
Sn=Sn-1 +an=(n-1)24+1-(12) n-12+n=(n+1)24+1-(12) n-12.
綜上,Sn=(n+1)24+1-(12) n-12,n為奇數(shù),n24+1-(12) n2,n為偶數(shù).
方法二:因?yàn)閍n=n,n為奇數(shù),(12) n2,n為偶數(shù),
所以a2n-1 =2n-1,a2n =(12)n,
所以S2n =a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1 )+(a2+a4+…+a2n )=(1+3+…+2n-1)+
[(12)1+(12)2+…+(12)n]=(1+2n-1)·n2+12[1-(12) n]1-12=n2+1-(12)n.
S2n-1 =S2n -a2n =n2+1-(12)n-(12)n=n2+1-(12)n-1.
綜上所述,
Sn=(n+1)24+1-(12) n-12,n為奇數(shù),n24+1-(12) n2,n為偶數(shù).
思維升華
形如an=f(n),n為奇數(shù)g(n),n為偶數(shù)的結(jié)構(gòu),可分為兩種情況:(1)鄰項(xiàng)等差、等比數(shù)列,如已知a1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),2an,n為偶數(shù)的解題思路:
將n用2k-1或2k替代,當(dāng)n=2k-1時(shí),a2k=a2k-1+1;
當(dāng)n=2k時(shí),a2k+1=2a2k=2(a2k-1+1)?a2k+1+2=2(a2k-1+2)?構(gòu)造出以a1+2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列,先求出a2k-1的通項(xiàng)公式,再求出a2k的通項(xiàng)公式.
(2)數(shù)列{an}與其他數(shù)列的關(guān)系,如an=bn,n為奇數(shù),lg2bn,n為偶數(shù)的解題思路:先求出其他數(shù)列的通項(xiàng)公式,再求出{an}的通項(xiàng)公式.
遷移應(yīng)用
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,它的前n(n∈N*)項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,bn>0,a1=3,b1=1,b3+S2=12,a5-2b2=a3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則由b3+S2=12,a5-2b2=a3,得q2+6+d=12,3+4d-2q=3+2d,
解得d=2,q=2或d=-3q=-3(舍去),
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)若cn=2Sn,n為奇數(shù)bn,n為偶數(shù),設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求T2n.
【解析】(2)由a1=3,an=2n+1,得Sn=n(n+2),
則cn=2n(n+2),n為奇數(shù).2n-1,n為偶數(shù).
即cn=1n-1n+2,n為奇數(shù).2n-1,n為偶數(shù).
所以T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)=[ (1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]+
(2+23+…+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n)1-4=1+22n+13-12n+1.
視角三 數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(an+an+1 =f(n)或an·an+1 =f(n))
[例3]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1+an=4n.
(1)求數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和S100;
【解析】(1)因?yàn)閍1=1,an+1+an=4n,
所以S100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)
=4×1+4×3+…+4×99
=4×(1+3+5+…+99)
=4×502=10 000.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】(2)由題意,an+1+an=4n,①
an+2+an+1=4(n+1),②
由②-①得,an+2-an=4,
由a1=1,a1+a2=4,得a2=3.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=a1+(n+12-1)×4=2n-1,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=a2+(n2-1)×4=2n-1.
綜上所述,an=2n-1.
思維升華
遞推公式為an+1+an=f(n)或an+1·an=f(n)的形式,求通項(xiàng)公式或數(shù)列求和的方法
(1)求通項(xiàng)公式:由an+2+an+1=f(n+1)與上式作差可得隔項(xiàng)遞推公式an+2-an=f(n+1)-f(n),對(duì)于后一種可由an+2·an+1=f(n+1)與上式作商可得隔項(xiàng)遞推公式an+2an=f(n+1)f(n),然后求解.
(2)求前n項(xiàng)和Sn:求出通項(xiàng)公式,則Sn=S奇+S偶;或者利用an+1+an=f(n),可直接并項(xiàng)求和.
遷移應(yīng)用
在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an·an+1 =(12)n,記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,bn=a2n +a2n-1 ,n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式;
【解析】 (1)因?yàn)閍n·an+1 =(12)n,
所以an+1·an+2=(12)n+1,所以an+2an=12,
即an+2=12an.
因?yàn)閎n=a2n+a2n-1,
所以bn+1bn=a2n+2+a2n+1a2n+a2n-1=12a2n+12a2n-1a2n+a2n-1=12,
所以數(shù)列{bn}是公比為12的等比數(shù)列.
因?yàn)閍1=1,a1·a2=12,
所以a2=12,b1=a1+a2=32,
所以bn=32×(12)n-1=32n,n∈N*.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
【解析】(2)由(1)可知an+2=12an,所以a1,a3,a5,…是以a1=1為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列;a2,a4,a6,…是以a2=12為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列,
所以a2n-1=(12)n-1,a2n=(12)n,
所以an=(12) n-12,n為奇數(shù),(12) n2,n為偶數(shù).
(3)求Sn.
【解析】(3)因?yàn)镾2n=(a1+a3+…+a2n-1 )+(a2+a4+…+a2n )=1-(12) n1-12+12[1-(12) n]1-12=3-32n,
又S2n-1 =S2n -a2n =3-32n-12n=3-42n,
所以Sn=3-32n2,n為偶數(shù),3-42n+12,n為奇數(shù).

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