1、正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式．
(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時(shí)，采用累乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)．
2、避免2種失誤
(1)利用累乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是在連乘的式子中只寫到eq \f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立．
(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定最后一個(gè)式子的形式．
1、（2023?北京）數(shù)列滿足，下列說(shuō)法正確的是
A．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)，
B．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)，
C．若，則是遞減數(shù)列，，使得時(shí)，
D．若，則是遞增數(shù)列，，使得時(shí)，
【答案】
【解析】對(duì)原式進(jìn)行變形，得，
當(dāng)，則，，
設(shè)，則，所以是遞減數(shù)列，
當(dāng)，，錯(cuò)誤，同理可證明錯(cuò)誤，
當(dāng)，則，即，又因?yàn)椋裕?br>假設(shè)，則，即，又因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，，正確，
對(duì)于，當(dāng)，代入進(jìn)去很明顯不是遞減數(shù)列，錯(cuò)誤，
故選：．
2、（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
為遞減數(shù)列，
又，且，
，
又，則，
，
，
，則，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
綜上，．
故選：．
3、（2023?甲卷（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
，，
當(dāng)時(shí)，可得，
，
當(dāng)或時(shí)，，適合上式，
的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
4、（2021?乙卷（理））記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，，代入，
消去，可得，所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
（2）由題意，得，
由（1），可得，
由，可得，
當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足該式，
所以．
5、（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求的前20項(xiàng)和．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，，，
所以，，
，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以．
另由題意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
則，，
當(dāng)時(shí)，也適合上式，
所以，，
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，
則的前20項(xiàng)和為
1、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷）已知數(shù)列{an}中的首項(xiàng)a1＝2，且滿足，則此數(shù)列的第三項(xiàng)是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，且?br>令，得，
令可得,
故此數(shù)列第三項(xiàng)為.
故選：A
2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題目所給條件以及等比數(shù)列的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】依題意，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
3、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1) a1＝2，an＋1＝an＋3n；
(2) a1＝2，an＋1＝2an＋3n.
【解析】 (1) 由題意，得a2－a1＝31，a3－a2＝32，…，an－an－1＝3n-1，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an－a1＝31＋32＋…＋3n-1，
所以an＝2＋ eq \f(3(1－3n-1),1－3)＝ eq \f(3n＋1,2).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也符合上式，
所以an＝ eq \f(3n＋1,2).
(2) 因?yàn)閍n＋1－2an＝3n，
所以 eq \f(an＋1,2n+1)－ eq \f(an,2n)＝ eq \f(3n,2n+1)＝ eq \f(1,2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)，
所以 eq \f(a2,22)－ eq \f(a1,21)＝ eq \f(1,2)× eq \f(3,2)，
eq \f(a3,23)－ eq \f(a2,22)＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)，
……
eq \f(an,2n)－ eq \f(an－1,2n-1)＝ eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)， eq \f(an,2n)－ eq \f(a1,21)＝ eq \f(1,2)· eq \f( \f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n－1))),1－\f(3,2) )＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(3,2)，
所以 eq \f(an,2n)＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(3,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(n)－ eq \f(1,2)，
所以an＝2n eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n)－\f(1,2)))＝3n－2n-1.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3－1＝2符合上式，
所以an＝3n－2n-1.
考向一 有an遞推關(guān)系研究數(shù)列的通項(xiàng)
例3、根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1) a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2) a1＝1，an＝ eq \f(n－1,n)·an－1(n≥2)；
(3) a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.
【解析】 (1) 因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即 eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，
所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3.
又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n-1，
所以an＝2·3n-1－1.
(2) 因?yàn)閍n＝ eq \f(n－1,n)·an－1(n≥2)，
所以an－1＝ eq \f(n－2,n－1)·an－2，…，a2＝ eq \f(1,2)a1，
以上(n－1)個(gè)式子相乘，得an＝a1· eq \f(1,2)· eq \f(2,3)·…· eq \f(n－1,n)＝ eq \f(a1,n)＝ eq \f(1,n).
又a1＝1也符合上式，故an＝ eq \f(1,n).
(3) 因?yàn)閍n＋1－an＝3n＋2，
所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ eq \f(n(3n＋1),2)(n≥2).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝ eq \f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合上式，
所以an＝ eq \f(3,2)n2＋ eq \f(n,2).
變式1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則下列說(shuō)法確的是（ ）
A. 為單調(diào)遞增數(shù)列
B.
C.
D. 當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足
【答案】BCD
【解析】
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>若，則，故是各項(xiàng)為的常數(shù)列，與矛盾，
所以，，則，故，即，
所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>若，則，故是各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的數(shù)列，與矛盾，所以，
又因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以是數(shù)列中最大的項(xiàng)，所以，
綜上：，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，
所以，
上述各式相加得，
又，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)：，滿足，
所以，故C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
變式2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷） 已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】由條件可知，,
得，
當(dāng)時(shí)，

，
當(dāng)時(shí)，成立，
所以；
變式3、（2021年八省適應(yīng)性考試）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，，求的通項(xiàng)公式．
【解析】（1）解法一：由題設(shè)得，
且．
因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列．
（2） 解法一：由（1）知，
于是．
又，故．
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
解法二：由（1）知，
所以．
令，，從而．
又，所以．
從而，即．
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
說(shuō)明另一種設(shè)法：
令，則，從而．又，
所以．從而，即．
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
解法三：由（1）知，
所以．
令，則．
從而

又，所以．
即．
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
說(shuō)明也可以在“”兩邊同時(shí)乘以“”，得到
，然后累加．
解法四：因?yàn)椋裕?br> 因?yàn)?，，所以?br> 從而，即．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
解法五：因?yàn)椋裕?br> 因?yàn)?，，所以?br> 從而．
由（1）知．
因此，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
方法總結(jié)：給出了兩種不同形式的遞推關(guān)系，經(jīng)常采取其它方法：取倒數(shù)后，相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)等比數(shù)列，迭加即可；變形為eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n－2,3n＋2)，再用累乘處理，累加、累乘是遞推數(shù)列的基本而常用的方法，考查我們的觀察、變形和轉(zhuǎn)化的能力，需要牢固掌握．
考向二 由Sn與an的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
例2、（2022年廣州番禺高三模擬試卷）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】（1）由兩式相減，得：
，
又，，
當(dāng)時(shí)，且，
故，得（舍去），
，
數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，
所以 ．
變式1、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列，通項(xiàng)公式；
【解析】
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，所以，即，
所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以；
設(shè)數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，
所以.
變式2、 （2022年福建省永泰縣高三模擬試卷）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且和滿足：.
（1）求的通項(xiàng)公式；
【解析】
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，①
當(dāng)時(shí)，解得，
∴，②
①－②得，
∴，化簡(jiǎn).
∵，∴.
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
∴.
變式3、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】（1）已知①，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，②
①-②得：，
即.
又，所以，.
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
所以.
方法總結(jié)：an與Sn關(guān)系的應(yīng)用
(1)僅含有Sn的遞推數(shù)列或既含有Sn又含有an的遞推數(shù)列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實(shí)施消元法，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含an的關(guān)系式或僅含Sn的關(guān)系式，即“二者消元留一象”．
(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數(shù)式經(jīng)過(guò)恒等變形后能否得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，如等差數(shù)列關(guān)系或等比數(shù)列關(guān)系，若消去an留Sn可以得到簡(jiǎn)單可求的數(shù)列關(guān)系，那么就應(yīng)當(dāng)消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰(shuí)更好，變形易把關(guān)系找”．
(3)值得一提的是：數(shù)列通項(xiàng)公式an求出后，還需要驗(yàn)證數(shù)列首項(xiàng)a1是否也滿足通項(xiàng)公式，即“通項(xiàng)求出莫疏忽，驗(yàn)證首項(xiàng)滿足否”。
考向三 構(gòu)造等差、等比數(shù)列研究通項(xiàng)
例3、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列，，使得成立．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，①，
又∵由第（1）問(wèn)，，②，
∴②①得，，∴存在，，兩個(gè)等比數(shù)列，， 使得成立
變式1、（2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷）已知數(shù)列，滿足，，且，
（1）求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．
【答案】（1），，證明見(jiàn)解析
（2），
【解析】
∵
∴，.
∵，∴＝
∴
∴是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
∴，∴
∵，∴
∴當(dāng)時(shí)，
.
當(dāng)時(shí)，也適合上式
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
變式2、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷） 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
【解析】
由，得，則，
又，則，
所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
則，則時(shí)，
．
方法總結(jié)：構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)，常見(jiàn)形式一：an＋1＝pan＋q(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1)，常利用待定系數(shù)構(gòu)造，可化為an＋1＋x＝p(an＋x)，從而解出x＝eq \f(q,p－1).
常見(jiàn)形式二：an＋1＝pan＋qn(p，q為常數(shù)，p≠0，p≠1，q≠0)，可以通過(guò)兩邊同時(shí)除以qn＋1，得eq \f(an＋1,qn＋1)＝eq \f(p,q)·eq \f(an,qn)＋eq \f(1,q)，換元bn＝eq \f(an,qn)，即轉(zhuǎn)化形式一．
1、（2022·福建省詔安縣高三模擬試卷） 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式________，滿足下面兩個(gè)條件：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
根據(jù)前n項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，可以判定數(shù)列的各項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)都是大于零的，由數(shù)列本身為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合各項(xiàng)的值的要求，可以考慮公比在0到1之間的等比數(shù)列的例子，就是符合條件的例子，
故答案為：（答案不唯一)
2、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知數(shù)列中，，則_______________．
【答案】-3
【解析】
由題意得，，，，，，，所以數(shù)列的周期為6，.
故答案為：-3.
3、（2022·福建省高三模擬試卷）已知數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
數(shù)列滿足，整理得：，
所以，
又，
故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以的前項(xiàng)和
故答案為：
4、（2022年江蘇省淮安市高三模擬試卷） 南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【詳解】由題意知：，故，
∴，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，，顯然，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
5、（2022年廣東省高三大聯(lián)考模擬試卷）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（ ）
A. B.
C. D. 數(shù)列的前項(xiàng)和為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，，可得；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，
累加可得
，時(shí)也符合；
當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，
累加可得
；則，C正確；
對(duì)于D，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，
又，，D正確.
故選：BCD.
6、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，由，
得，
兩式相除得：，即，
當(dāng)時(shí)，也滿足，
所以.
7、（2022年福建省德化一中高三模擬試卷） 數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】
：當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)棰伲?br>所以當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，
所以，
所以，
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以；當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，的通項(xiàng)公式為．

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這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第46講 數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問(wèn)題（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。學(xué)案主要包含了分段函數(shù)的奇偶項(xiàng)求和，含有n類型，an+an+1 類型等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第45講 數(shù)列的綜合運(yùn)用（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第45講 數(shù)列的綜合運(yùn)用（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第47講 數(shù)列中的新數(shù)列問(wèn)題（學(xué)生版）+教師版：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)案第47講 數(shù)列中的新數(shù)列問(wèn)題（學(xué)生版）+教師版，共2頁(yè)。學(xué)案主要包含了由數(shù)列公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，由數(shù)列的插入項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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