1、數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題的主要類(lèi)型及求解策略
(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題．
(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性．
數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
2、現(xiàn)實(shí)生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)、產(chǎn)品產(chǎn)量等問(wèn)題，常?？紤]用數(shù)列的知識(shí)去解決．
1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型
(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差；
(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比；
(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮是第n項(xiàng)an與第n＋1項(xiàng)an＋1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n＋1項(xiàng)和Sn＋1之間的遞推關(guān)系．
1、（2023?北京）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則 ，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為 ．
【答案】48；384．
【解析】數(shù)列的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，，
，
，
公比．
，
又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，
數(shù)列的所有項(xiàng)的和為．
故答案為：48；384．
2、（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，為的前項(xiàng)和，，，
則，即，解得，
故；
（2）證明：由（1）可知，，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，
，
故原式得證．
3、（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，
所以，整理得，①，
故當(dāng)時(shí)，，②，
①②得：，
故，
化簡(jiǎn)得：，，，，；
所以，
故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．
所以．
證明：（2）由于，
所以，
所以．
4、（2021?乙卷（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足，已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．
【解析】（1），，成等差數(shù)列，，
是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
則，，
，
．
（2）證明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
1、 甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第一分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分
鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m．甲、乙開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，相遇的時(shí)間為_(kāi)_______分鐘．
A. 3B. 7C. 11D.14
【答案】：B
【解析】：設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意得2n＋eq \f(n（n－1）,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)．
2、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）定義，已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【答案】C
【詳解】依題意得，
又，所以．
故選：C．
3、對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．
【答案】：－2
【解析】：利用導(dǎo)數(shù)求得曲線y＝xn＋1在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為y＝(n＋1)(x－1)＋1，
即y＝(n＋1)x－n，它與x軸交于點(diǎn)(xn，0)，則有(n＋1)xn－n＝0xn＝eq \f(n,n＋1)，∴ an＝lgxn＝lgeq \f(n,n＋1)＝lgn－lg(n＋1)，∴ a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2．
4、(2022·江蘇南京市二十九中學(xué)高三10月月考)(多選題)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱(chēng)為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由題意知：，故，
∴，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，，顯然，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
考向一 數(shù)列在數(shù)學(xué)文化與實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
例1、（1）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）黃山市歙縣三陽(yáng)鎮(zhèn)葉村歷史民俗“疊羅漢”已被列入省級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)保護(hù)項(xiàng)目，至今已有500多年的歷史，表演時(shí)由二人以上的人層層疊成各種樣式，魅力四射，光彩奪目，好看又壯觀.小明同學(xué)在研究數(shù)列時(shí)，發(fā)現(xiàn)其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來(lái)處理，即 ，如果該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為，其前項(xiàng)和記為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：由得，
所以
，
.
故選：D.
（2）（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種方法是依次寫(xiě)出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng)，剔除掉所有3的倍數(shù)；接下來(lái)，再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為（ ）
A．130B．132C．134D．141
【答案】B
【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為，
2到20的全部素?cái)?shù)和為，
所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為.
故選：B.
（3）（2023·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（ ）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
所以為奇數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
所以為偶數(shù)數(shù)；
所以，
故選:B.
變式1、（1）(2022·青島期初考試)《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問(wèn)題中，這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為
A．8 B．11 C．14 D．16
【答案】B
【解析】由題意可知，這位公公9個(gè)兒子的年齡從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，則可設(shè)年齡最小的兒子年齡為a1，則公差為d＝3，由題意，eq S\s\d(9)＝9a\s\d(1)＋\f(9×8,2)×d＝9a\s\d(1)＋36×3＝207，求得a1＝11，即這位公公最年幼的兒子的歲數(shù)為11，故答案選B．
（1）、(2022·湖北華中師大附中等六校開(kāi)學(xué)考試聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》是我國(guó)古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書(shū)中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)影子的長(zhǎng)度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有晷長(zhǎng)之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)之和為10.5尺，則立秋的晷長(zhǎng)為（ ）
A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)題意列出方程組求解即可.
【詳解】∵夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其晷長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，根據(jù)題意，∴立秋的晷長(zhǎng)為.
故選：D
（3）、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問(wèn)題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（ ）
A．6天B．7天C．8天D．9天
【答案】C
【解析】設(shè)該女子第一天織布尺，
則，
解得，
前天織布的尺數(shù)為：，
由，得，
解得的最小值為8．
故選：．
考向二 數(shù)列中的含參問(wèn)題
例2、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式，可得，則；
，
，
代入不等式，可得，整理可得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式為，
令，，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
由于，故，此時(shí)；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式為，
令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時(shí)，
綜上所述，.
故答案為：
變式1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，其前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br>所以，即，解得：或.
因?yàn)?，所?
（2）法一：由（1）得，，
，
時(shí)；
時(shí)；
時(shí)；
時(shí)（舍），
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
滿(mǎn)足條件的有三組.
法二：由（1）得，，
故，
所以，且，
所以，所以，，.
存在滿(mǎn)足條件的有三組.
變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．
(1)求，的值；
(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，
，解得，所以，
時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，
時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為；
（2）由（1）知，
，
時(shí)，=20012022，
記，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，
所以所求的最小值是11.
考向三 數(shù)列中的“定義型問(wèn)題”
例3、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）定義：對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在數(shù)列與不是同一數(shù)列，且滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：
（1）是的一個(gè)排列；
（2）數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱(chēng)數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.給出下面三個(gè)數(shù)列：
①數(shù)列的前項(xiàng)和；
②數(shù)列：1，2，3，4，5；
③數(shù)列：1，2，3，4，5，6.
具有“性質(zhì)”的為_(kāi)_______；具有“變換性質(zhì)”的為_(kāi)________.
【答案】 ① ②
【詳解】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，
，
，2，3，為完全平方數(shù)
數(shù)列具有“性質(zhì)”；
對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為3，2，1，5，4，具有“性質(zhì)”， 數(shù)列具有“變換性質(zhì)”；
對(duì)于③，，1都只有與3的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，，2，3，4，5，6，不具有“變換性質(zhì)”．
故答案為：①；②．
變式1、(2022·江蘇如皋中學(xué)高三10月月考)已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，定義使為整數(shù)叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得，，進(jìn)而分奇、偶數(shù)項(xiàng)求通項(xiàng)公式，再合并即可得答案；
（2）根據(jù)題意得，故設(shè)，，則，再解不等式即可得區(qū)間內(nèi)的“幸福數(shù)”，再求和即可得答案.
【詳解】（1）∵①，∴，②
當(dāng)時(shí)，①﹣②得，
∴的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，且公差均為2，，
∴(為奇數(shù))
(為偶數(shù))
∴
（2）
設(shè)，，∴，
令，，∴
∴區(qū)間內(nèi)的“幸福數(shù)”為，，…，
∴所有“幸福數(shù)”的和為.
變式2、(2022·江蘇蘇州市八校聯(lián)盟第一次適應(yīng)性檢測(cè))若數(shù)列{an}中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m∈N*)，則稱(chēng)數(shù)列{bm}是數(shù)列{an}的生成數(shù)列，稱(chēng)相應(yīng)的函數(shù)f(m)是數(shù)列{an}生成{bm}的控制函數(shù)．已知an＝2n，且f(m)＝m，數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm，若Sm＝30，則m的值為( )
A．9 B．11 C．12 D．14
【答案】B
【解析】由題意可知，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可得2n≤m，則bm＝eq \f(m,2)；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可得2n≤m－1，則eq b\s\d(m)＝\f(m－1,2)，所以bm＝EQ \B\lc\{(\a\al(\F(m－1,2)(m為奇數(shù)),\F(m,2)(m為偶數(shù))))，則當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋m)－eq \f(1,2)×eq \f(m,2)＝EQ \F(m\S(2),4)，則EQ \F(m\S(2),4)＝30，因?yàn)閙∈N*，所以無(wú)解；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝Sm＋1－bm＋1＝EQ \F((m＋1)\s\up3(2),4)－eq \f(m＋1,2)＝EQ \F(m\S(2)－1,4)，所以EQ \F(m\S(2)－1,4)＝30，因?yàn)閙∈N*，所以m＝11，故答案選B．
考向四 數(shù)列與不等式等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合
例4（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，
所以，則，得（），
兩式相減得：，則，
（），
又適合上式，故．
另解：由得（），
故為常數(shù)列，
則，故．
（2）由（1）得，
所以，
則.
變式1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，由，得，
兩式相減可得，，又，
，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
因此，的通項(xiàng)公式為；
（2）證明：由可知，所以，
，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>又因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，所以，
綜上可得．
1、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）傳說(shuō)國(guó)際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國(guó)王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國(guó)王讓人在他發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤(pán)上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八粒……依此規(guī)律，放滿(mǎn)棋盤(pán)的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（ ）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【解析】64個(gè)格子放滿(mǎn)麥粒共需，
麥子大約20000粒，1噸麥子大約粒，
，
故選：C.
2、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┬±钤?022年1月1日采用分期付款的方式貸款購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值元的家電，在購(gòu)買(mǎi)1個(gè)月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內(nèi)還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為．按復(fù)利計(jì)算，則小李每個(gè)月應(yīng)還（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】A
【解析】設(shè)每月還元，按復(fù)利計(jì)算，則有
即
解之得，
故選：A
3、（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考三模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān).” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數(shù)字作答）.
【答案】6
【解析】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列，
，其公比，令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
則，而，
因此，解得，
所以此人在第六天行走的路程（里）.
故答案為：6
4、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，， ．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）
(1)請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．
【解析】（1）由題意知，，，，
選①，由題意知，，
，
所以，，即：，.
選②，由題意知，，
,
所以，，即：，.
（2）證明：由（1）得，
∴①，
②，
①②得：，
∴．
又∵對(duì)，恒成立，
∴．
5、（2023·云南·統(tǒng)考一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，故，
且不滿(mǎn)足上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7．
6、（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；
(2)若，記的前項(xiàng)和，求證.
【解析】（1）解：由題意，選出3個(gè)數(shù)字組成的等差數(shù)列的前三項(xiàng)為：，，，
所以，，
所以.
（2）證明：
.
因?yàn)?，所以?br>所以
7、（2023·安徽安慶·?？家荒＃?shù)列中，，且滿(mǎn)足
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求；
(3)設(shè)，是否存在最大的；正整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）令，，令，，
解得：,
由知數(shù)列為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為，則.
故
（2）由，解得.故
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),.
（3）由于
從而
故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，又因是數(shù)列中的最小項(xiàng)，
要使恒成立，故只需成立即可，
由此解得，由于，
故適合條件的的最大值為7.第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8

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